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《中学数学教学》1994,(3)
1.陕西省武功县普集高中刘康宁来稿 （邮编:712200）题 已知z∈C,且│z│=1,解方程z~7 z=1。解法一 设z=cosθ isinθ,则(cos7θ cosθ) (sin7θ sinθ)i=1,∴(cos7θ cosθ)=1 (sin7θ sinθ)=0 即 cos7θ=1-cosθ ① sin7θ=-sinθ ②①~2 ②~2得(1-cosθ)~2 (-sinθ)~2=1。 解得 cosθ=1/2,sinθ=±3~(1/2)/2。 故原方程的解是z=(1±3~(1/2)i)/2。解法二 原方程可化为z~7=1-z。对上式两边取模,得│z~7│=│1-z│。 相似文献
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于晓茹 《数理化学习(高中版)》2007,(Z1)
题目已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),则cotθ=·这是1994年的一道高考题·该题解法颇多,除了通常的平方法,求sinθ、cosθ值外,本文再给出其它几种转化法·解法1:(定义法)设sinθ=5y,cosθ=5x,则有y5+5x=51,(5y)2+(5x)2=1·化为y2-y-12=0·由θ∈(0,π),知y>0,x<0,可解得y=4,x=-3·从而cotθ=yx=-43·解法2:(辅助式)设sinθ-cosθ=m,与sinθ+cosθ=51联立,两式平方后相加,可得m2=4259·由题设可知θ∈(2π,34π),则sinθ>cosθ,故m=57·再将sinθ-cosθ=75与sinθ+cosθ=51相加减,得sinθ=54,cosθ=-53,从而cotθ=-43·解法3:(巧设等差数列)… 相似文献
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本刊87年7期《关于一道最小值问题的解法》一文指出了求3sinθ+12/sinθ (θ∈(0,π))的最小值的一种常见错误,并给出了三种初等解法,这些解法都较繁。其实这类问题有一种易于掌握的简便解法(见本文定理一证明)。本文在给出了这类问题的一般性结论后,又作了一点推广。 相似文献
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周作杰 《中学数学教学参考》1994,(9)
2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ)cos2θ=cos~2θ-sin~2θ=(cosθ sinθ)(cosθ-sinθ) =2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ) ·2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ-2~(1/2)/2sinθ), 则得cos2θ=2cos(θ π/4)cos(θ-π/4)或者cos2θ=2sin(π/4 θ)sin(π/4-θ). 应用上面的结论求解某些余弦函数或正弦函数的乘积时则显得简洁又明快,现举例如下. 例1 求证sin15°sin30°sin75°=1/8. 证明:sin15°sin30°sin75°=1/2sin15°sin75° 相似文献
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刘思启 《数理天地(高中版)》2002,(4)
题设关于x的方程x2-2xsinθ-(2cos2θ+3)=0,其中θ∈[0,π/2],则该方程实根的最大值为_______,最小值为______.(第12届“希望杯”高二第1试) 这道题内容丰富.本文给出各有特色的五种解法. 解法1 二次方程的实根分布原方程可化为 2sin2θ-2xSinθ+x2-5=0. 令t=sinθ,则2t2-2xt+x2-5=0, 相似文献
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贵刊2000年第11期第34页介绍了函数y(ac<0)值域的一种三角换元求法.但笔者认为,过程不简,运算量大,可改进为如下三角换元. 容易证明:若0≤x≤π/2,则 (1)当0<θ≤π/4时,sinθ≤sin(x+θ)≤1; (2)当π/4<θ<π/2时,cosθ≤sin(x+θ)≤1. 例1 求函数的值域. 解:所给函数化为 相似文献
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张全合 《中学生数理化(高中版)》2006,(4)
高中数学(人教版)第一册(下)第88页题19:已知sinθ+cosθ=2/3, 求sin2θ的值．现将sinθ+cosθ=2/3两边平方,易得sin2θ=-5/9．顺水推舟,由2sinθcosθ=-5/9两边乘以-1后再加1得(sinθ-cosθ)2=14/9,解方 相似文献
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《数学教学通讯》1983年第4期上“证明不等式的若干特殊方法”一文中的例9:若θ∈(0,π/2),求证:cos(sinθ)>sin(cosθ)。笔者认为条件“θ∈(0,π/2)”可以取消,没有必要。现证明如下: 设f(x)=cos(sinx)-sin(cosx) (x∈R) 则 f(x)=cos(sinx)-cos(π/2-cosx)=-2sin((sinx-cosx+π/2)/2)×sin((sinx+cosx-π/2)/2) 相似文献
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廖忠贵 《数学学习与研究(教研版)》2010,(1):77-77
有这样一道解答题：已知sinθ=-3/5,3π〈θ〈7π/2，求tanθ/2的值，许多同学采用下面的解法.
解 由sin=2sinθ/2cosθ/2/sin^2θ＋cos^2θ/2=2tanθ/2/1＋tan^2θ/2,得2tanθ/2/1＋tan^2θ/2=-3/5 相似文献
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毋绪道 《数理化学习(高中版)》2006,(20)
在高中数学中,求函数的值域是一种较为复杂的问题,往往方法较为灵活.现举一例,给出多种解法,同学们可从中受到启发.例题求函数y=sinx2-cosx的值域.解法一:(利用三角函数的有界性)去分母化为sinx+ycosx=2y,即y2+1sin(x+φ)=2y.因为|sin(x+φ)|≤1,所以|2y|≤y2+1,即3y2≤1.解得值域是[-33,33].解法二:(利用解析几何方法)函数变形为:y=0-(-sinθ)2-cosθ.联想到斜率公式,(如图1)可知y是连结A(2,0)与圆x2+y2=1上的点(cosθ,-sinθ)的斜率.所求值域就是这斜率的取值范围.设AB,AC为两切线,它们的斜率分别是-33,33.所以值域是[-33,33].解法三:(… 相似文献
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《中学数学研究(江西师大)》2005,(4):47-50
第一天 郑州1月22日上午8:00～12:30 (每题21分) 一、设θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4.证明:存在x∈R,使得如下两个不等式 cosθ1cosθ2-(sinθ1sinθ2-x)2≥0,① cosθ3cos2θ4-(sinθ3sinθ4-x)2≥0,② 相似文献
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在三角中,有一个三倍角正弦公式: (1/4)sin3θ=sinθ·sin(60°-θ)·sin(60° θ), 在具体的三角运算中,应用很广泛,且能派生出许多有趣结论,使许多三角题获得新颖解法。本文就此类公式进行一些初步探讨,供同行教学参考。 相似文献
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[例1]:求函数y=sinθ(1+2cosθ)的最大值。解:不妨限制0≤θ≤π/2,于是: y=sinθ(1+2cosθ)A为待定正常数1/A (Asinθ)(1+2cosθ) 相似文献
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《中学数学杂志》2016,(9)
<正>本刊2014年第11期发表了施元兰老师的文章"运用余弦定理解三角形的一类错误认识",[1]施老师对文中例3:在△ABC中,已知a=6,b=5,A=2B,则c的值是_.给出了以下的解法1和解法2.解法1:由正弦定理可求得cos B=3/5,然后求出sin B=4/5,sin A=2sin Bcos B=24/25,cos A=2cos[1]施老师对文中例3:在△ABC中,已知a=6,b=5,A=2B,则c的值是_.给出了以下的解法1和解法2.解法1:由正弦定理可求得cos B=3/5,然后求出sin B=4/5,sin A=2sin Bcos B=24/25,cos A=2cos2B-1=-7/25,所以sin C=sin(A+B),sin Acos B+cos Asin B=44/125,再由正弦定 相似文献
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思维的灵活性指思维活动的灵活程度,指善于根据事物的发展变化,及时地用新的观点看待已经变化了的事物,并指出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法.学生思维的灵活性主要表现于:(1)思维起点的灵活:能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向.(2)思维过程的灵活:能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径.(3)思维迁移的灵活:能举一反三,触类旁通.如何使更多的学生思维具有灵活特点呢?我在教学实践中作了一些探索.1以“发散思维”的培养提高思维灵活性1.1引导学生对问题的解法进行发散在教学过程中,用多种方法,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案,用一题多解来培养学生思维过程的灵活性.例1求证:1-cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=tanθ.证法1(运用二倍角公式统一角度)左=2sin22θ+2sinθcosθ2cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ(sinθ+cosθ)2cosθ(sinθ+cosθ)=右.证法2(逆用半角公式统一角度)左=1-cos2θsin2θ+11+cos2θsin2θ+1=tanθ+1cotθ+1=右.证法3(... 相似文献
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近年来一些数学资料里出现过这样一道题: 若cosθ+mtgθ=m,sinθ+nctgθ=n求sinθ·cosθ学生中的解法有这样几种, 解法一∵ cosθ+mtgθ=m ① sinθ+nctgθ=n ②由①得 cos~2θ+msinθ=mcosθ③由②得 sin~2θ+ncosθ=nsinθ④③+④得 (m-n)(cosθ-sinθ)=1 ∵ 相似文献
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于泳 《数理化学习(高中版)》2005,(17)
一、利用函数思想例1 (1999年全国高中数学联赛题)当x∈[0,1]时,不等式x2cosθ x(x-1) (1- x)2·sinθ>0恒成立,求θ的取值范围. 分析:因为x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ>0在x∈[0,1]时恒成立,令F (x)=x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ. 则只须当x∈[0,1]时,[F(x)]min>0. 解:由F(0)>0,得sin0>0, 相似文献
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《高中数学竞赛培训教材》[1](高一)P107,第6题:“已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos2θ=95,则sinθcosθ的值是().A.±!32B.!32C.-!32D.±13”.作为选择题,作者的本意是不用计算的:∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ>0,排除A、C、D,选B.但一些同学计算的结果是23,这是怎么回事呢?方法一:由sin4θ+cos2θ=95,得:sin2θ(1-cos2θ)+cos2θ=95,∴sin2θ+cos2θ-sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=94,∴sinθcosθ=±32,∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ=32.看来同学们做对了(命题人也希望这样做).再看下面的解法:方法二:由sin4θ+cos2θ=95,∴sin4… 相似文献