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命题 z.w∈C,且z±w≠0, 则(z w)/(z-w)为纯虚数 |z|=|w|. 证明 ∵z±w≠0, ∴(z w)/(z-w)为虚数 相似文献
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1 问题的提出文 [1]有命题 :设 z,w∈ C且 z± w≠ 0 ,则 z wz- w为纯虚数 | z| =| w| .文 [2 ]利用文[3]的方法将其推广为 :设 z,w1 ,w2 ∈ C,且 z≠ w1 ,w2 ,则 z- w1 z- w2 为纯虚数 z- w1 w22 =| w1 - w2 |2 ,这里提出的问题是 :文 [3]的方法中隐含着什么 ?2 结论及解释经研究 ,文 [3]用的是文 [4]的命题 ,即文[1]推论 4:z∈C,a∈R,且 az≠ 0 ,则| z a| =| z- a| z为纯虚数 .其实 ,该命题还可作如下深化 :定理 1 设 z,w∈C,w不为纯虚数且 z· w≠ 0 ,则 | z w| =| z- w| z为纯虚数 .证明 | z w| =| z- w| | z w|… 相似文献
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题 已知z∈C,且|z|=1,求|(z 1)(z-i)|的最大值。(《中学数学》1995第3期第28页例7)将原解改进后有如下特解: 设-1,i,z对应的点分别是A,B和P,显然这三点在同一单位圆|z|=1上,且|AP|=|z 1|,|BP|=|z-i|,要使|AP|·|BP|取到最大值,P必在圆弧(?)上运动,这 相似文献
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一、坐标系、坐标平移例1 平行四边形ABCD中,|BC|=2|AB|,若将AB向两方延长使|AE|=|AB|=|BF|,求证:CE⊥DF. 证明:取A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,使|AB|=α,∠BAD=θ,则|CB|=|AD|=2α,各点坐标为:A(0,0),E(- 相似文献
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陈静 《数理化学习(高中版)》2006,(11)
新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求… 相似文献
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例1 解方程 arcsec|(x~2+1)/(x~2-1)|+arc csc|(x~2+1)/2x| +arcctg|(x~2-1)/2x|=π解:∵ |2x|~2+|x~2-1|~2=(x~2+1)~2 构造Rt△ABC(图1) 令a=arc csc|(x~2+1)/2x|,则 arcsec|(x~2+1)/(x~2-1)|=a, arcsec|(x~2+1)/(x~2-1)|=a, arcctg|(x~2-)/2x|=a, a+a+a=π, 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(5)
<正>在广东省惠州市第一中学的一次期末考试中有一道这样的试题:例设函数f(x)=x2-|x-a|,x∈R,a∈R。(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)已知a≥0,若对任意x∈R都有f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围。命题人给出的答案是这样的:解法1:(1)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),f(x)=x2-|x-a|,x∈R,a∈R。(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)已知a≥0,若对任意x∈R都有f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围。命题人给出的答案是这样的:解法1:(1)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),f(x)=x2-|x-a|,f(-x)=(-x)2-|x-a|,f(-x)=(-x)2-|-x-a|=x2-|-x-a|=x2-|x+ 相似文献
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设三角形 ABC外心为 O,重心为 W,垂心为 H ,则 O,W,H三点共线 ,且 |OH |=3|OW|,这便是著名的欧拉线问题 .但平面几何证法较麻烦 ,笔者用向量坐标法去证 ,感觉过程较为简洁 .证 以外心 O为原点 ,过 O平行于 BC的直线为 x轴 ,BC的中垂线为 y轴 ,建立直角坐标系 .设 AD是 BC上的高 ,并设各点坐图 1标如下 :A(a,b) ,B(- c,d) ,C(c,d) ,H (a,y) ,则 BH =(a+c,y- d) ,AC=(c- a,d- b) ,因为 BH⊥ AC,有 BH· AC=0 ,即 (a+c) (c- a) +(y- d) (d- b) =0 ,解之得 y=- a2 +c2 +bd- d2- d+b .因为 O是外心 ,所以|OA|=|OB|=|OC|,即 a… 相似文献
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我们知道 ,解有关复数的命题大体有三大策略 :(1)化归思想 ;(2 )整体思想 ;(3)数形结合 .本文以数形结合的解题思想为中心 ,探讨复平面上圆方程的若干等价命题 ,供同行参考和指正 .定理 1 下列六个命题彼此等价 :1.虚数 z满足 |z|=r(r是正实数 ) .2 .虚数 z满足 |z2 |+(1- r) |z|- r=0(r是正实数 ) .3.虚数 z满足 zz=r2 (r是正实数 ) .4 .虚数 z满足 - 2 r相似文献
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初中《代数》(第一册)给出了绝对值的定义,并给出如下两个定理:设a、b为实数,则 (1)|ab|=|a|·|b|, (2)|a/b|=|a|/|b|。 其中(1)还可以推广到多个实数情况。 显而易见,绝对值的概念与性质,是初中数学的重要概念。准确地使用这一概念,往往能十分简捷地解决问题。本文介绍应用这一概念巧解绝对值方程 相似文献
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一、忽视或错用绝对值符号忽视或错用绝对值符号 ,会使所求动点轨迹与实际轨迹不符 .例 1 一动圆外切于已知圆ｘ2 +ｙ2 =2ａｘ(ａ>0 ) ,并与ｙ轴相切 ,求动圆圆心Ｍ的轨迹 .解 :如图 ,设已知圆圆心为Ｑ ,Ｍ在ｘ轴上的射影为Ｎ ,依题意得 |ＭＮ |2 +|ＮＱ|2 =|ＭＱ|2 . ①设动圆圆心的坐标为Ｍ (ｘ ,ｙ) ,则 |ＯＮ|=|ｘ|,从而|ＮＱ|=ａ- |ｘ|.又 |ＭＱ|=|ｘ|+ａ ,|ＭＮ|=|ｙ|,代入①式得ｙ2 +(ａ - |ｘ|) 2 =( |ｘ|+ａ) 2 .化简 ,得圆心Ｍ的轨迹方程为 ｙ2 =4ａｘ (ｘ≥ 0 ) ,ｙ2 =- 4ａｘ (ｘ <0 ) .②剖析 :这个结论是错误的… 相似文献
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(17)已知复数 z的幅角为 6 0°,且 |z- 1|是 |z|和 |z- 2 |的等比中项 .求 |z|.解法 1 由“|z- 1|是 |z|和 |z- 2 |的等比中项”,得 |z- 1|2 =|z|· |z- 2 |.式子 |z- 1|2 =|z|· |z- 2 |左、右两边是二次齐次式 ,同除以 |z|2 ,得 1- 1z2 =1· 1- 2z ,若把 1z看作一个整体 ,且 argz=6 0°,arg 1z=30 0°,可设 1z=a- 3ai(a>0 ) ,代入上式得 |1- a+3ai|2 =|1- 2 a+2 3ai |,即 (1- a) 2 +3a2 =(1- 2 a) 2 +12 a2 .两边平方并整理得 4 a2 -4 a- 1=0 ,a=1+22 ,即 1z =2 a=1+2 ,则 |z|=12 a=11+2 =2 - 1.(楼可飞 供稿 )解法 2 设 z=r2 +32 ri,… 相似文献
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设z∈C,则|z|~2=zz;z=z←→z∈R. 例1.已知|α|=|β|=|γ|=1,α,β,γ∈C.求证: z=((α β)(β β)(β γ))/(αβγ)∈R. 证由αα=|α|~2=1,知α=1/α.同样,β=1/β,γ=1/γ专代入z表达式,即知z=z,故z∈R. 可类似证|αβ βγ γα|=|α β γ|. 相似文献
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周作杰 《数理天地(高中版)》2002,(2)
第十二届高二第2试,有一题是: 已知复数z,ω满足:|z-1-i|-|z|=2~(1/2),|ω+3i|=1,则|z-ω|的最小值为( ) (A)2.(B)17~(1/2)(C)-1 (D)不能确定的. 解此题,若是考虑设z=a+bi,w=x+yi(a,b,x,y∈R)如此下去,则推算很艰难!最好的方法是从几何背景去想,则很容易破解.方程 相似文献
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课时一 复数的概念及其向量表示 基础篇 诊断练习一、填空题1.正整数集 N*、自然数集 N、整数集 Z、有理数集Q、实数集 R、复数集 C之间有包含关系 .2 .复数 z =a +bi( a、b∈ R) ,当且仅当时 ,z为实数 ;当且仅当时 ,z为虚数 ;当且仅当时 ,z为纯虚数 .3.如果 a、b、c、d∈ R,那么 a +bi =c +di .两个复数不全为实数时 ,不能比较它们的大小 ,只能为 .4 .建立了复平面后 ,复数 z =a +bi( a,b∈ R)与复平面上的点 Z( a,b) ,与复平面内以原点 O为起点 ,点 Z( a,b)为终点的向量 OZ .向量 OZ的长度叫做 ,记为 |z|,故有 |z|=|OZ|=.二、选… 相似文献