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定义 若正三角形的三个顶点分别在已知三角形的三条边上 ,则称这个正三角形为(已知三角形的 )内接正三角形 .对于任意给定的一个三角形 ,它是否存在内接正三角形 ?若存在 ,有多少个 ?本文回答了这些问题 ,同时还给出了内接正三角形的边长公式等重要结论 .定理 任意三角形都存在内接正三角形 .已知 :△ABC是任意三角形 .求作 :正三角形 EFG.其中 E,F,G分别在三边 BC,CA,AB上 .图 1分析 假设正三角形 EFG已经作出 (如图 1) ,则由正弦定理知BEsin y=EGsin B,ECsin x=EFsin C,由此得 BEEC=sin Csin ysin Bsin x. (* )可见△ E… 相似文献
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在ΔABC 中任取一点 P,P 到三边 BC,AC,AB 的距离分别记为 P,q,r;PA,PB,PC 的长分别记为 x,y,z,则x+y+z≥2(p+g+r).当且仅当ΔABC 为正三角形,且 P 为其中心时,等号成立.这就是著名的 相似文献
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数学力学系试卷工1.解方程:(3 sxctg‘x)·275xctg“=9“tg“‘.2.解不等式:(109两一:(Zx一i))(109:(1+Zx一x,))异0.长葱‘。经过三角形的顶点A与平行AC边的中位线的中点的直线,将△ABC的面积分成怎样的比 例?4 .a取何值时,表达式(x:一5x,)(x:一5x:)取得最大值?其中x:、x:为二次三项式x’+ ax+‘一啥的实根.5。三棱锥S一ABC的底△ABC是边长为4的正三角形。 AS二BS=侧西,CS二3。 求外接球的表面积。6.对于任意的b值,求这样的‘值,使方程组{(1+3x2)宁+(乙2一4西+5),=2x,夕,一(2一b)x,+c,+Zc=3至少为一组解(x,妇。试卷五7.解方程:1+2!… 相似文献
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唐录义 《中学数学教学参考》2004,(9)
由文 [1 ]知 ,三角形的内心、重心、界心共线 ,谓之“新欧拉线” .设△ABC为不等边三角形 ,BC =a,如图 ,以BC为x轴 ,BC的中垂线为 y轴 ,建立坐标系 ,则有定理 △ABC的新欧拉线平行于BC边的充要条件 ,是顶点A在以B、C为焦点的椭圆 x2a2 4 y23a2 =1 (除去四个顶点 )上 .证明 :考虑新欧拉线上两点 :内心I和重心G ,则IG∥BC r =13 ha |AB| |AC | a =3a |AB| |AC|=2a A在以B、C为焦点的椭圆x2a2 4 y23a2 =1上 .“新欧拉线”的一个性质$安徽省枞阳县牛集综合高中@唐录义1 唐录义.新“欧拉线”.中学数学教学参考,2003,10(编者注… 相似文献
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题目:一个凸十一边形,它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成,求此凸十一边形各个内角的大小,并画出一个这样的凸十一边形的草图。这是87年全国部分省市数学通讯赛的最后一题,认真思考一番,不难得到答案。解答:因为凸十一边形是由正三角形和正方形拼成的,所以各内角的大小只可能是60°、90°、120°、150°,设这四个角的个数分别为x、y、z、w,则 (2)式化简得:2x 3y 4z 5w=54 (3) (1)×5-(3)得:3x 2y z=1。因x、y、z都是非负整数,所以x=y=0,z=1,再代入(1)得w=10。这说明,所求凸十一边形一个内角是120°,它由两个正三角形的内角拼成;其余十个内角都是150°,是由一个正三角形的内角和一个正 相似文献
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先看下面这个经典双正三角形几何题:如图1所示,点O是线段AD上(不同于A、D)任意一点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E.本题有几个常规的结论:三角形全等:△ODB△OCA,△DOM≌△CON,△OMB≌△ONA.线段相等:DB=AC,OM=ON.角相等:∠BDO=∠ACO, 相似文献
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在各地中考试卷中,常出现一类形如a·bc·d=ef的比例式的证明问题,这里谈谈证明这类比例式的策略.策略一“裂项”法.欲证a·bc·d=ef,只需证ac=ex且bd=xf.例1在直角ABC中,AD为斜边BC上的高,以AD为直径的圆交AB于E.求证:AC2AB2=AEBE.分析欲证AC2AB2=AEBE,只要找出线段x,使ACAB=AEx且ACAB=xBE.证明连结DE.∵AD是直径,∴DE⊥AB.又AB⊥AC,AD⊥BC,∴ABC∽ABD∽AED∽BDE.∴ACAB=AEED,ACAB=EDBE,∴AC2AB2=AEED·EDBE=AEBE.策略二“升幂”法.欲证a·bc·d=ef,只需证a·b=e·x,且c·d=f·x.例2设AD是RtAB… 相似文献
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刘长军 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):19-19
三角形全等是几何的基础知识,判定三角形全等应注意以下几点.1.要注意“边角边”公理中的角是指两条对应边的夹角.例1如图1,BC=CD,∠B=∠ACD,试问△ABC和△ACD是否全等.有些同学说是全等并这样证明:在△ABC和△ACD中,∵AC=AC(公共边),∠B=∠ACD(已知),BC=CD(已知),∴△ABC≌△ACD.上述证明是错误的,因为∠B不是AC和BC的夹角,故这两个三角形不一定全等.评注:例1说明,在判定三角形全等时,要注意判定条件的顺序性.如在例1的△ACD和△ABC中,其条件分别是“SAS”与“SSA”,即条件是分别相等,并非对应相等.2.要注意分清“角… 相似文献
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孙显武 《数理化学习(初中版)》2004,(6)
例1 如图1,AB=AC,∠C=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数. 解:因为AB=AC, 所以∠ABC=∠C, 设∠A=x,则∠ABC=∠C=2x. 由三角形内角和定理: x+2x+2x=180. 解得x=36°, 相似文献
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数学课本中许多例题、习题都具有典型性,不仅知识的连贯性强,而且内涵丰富。在复习时,为了帮助学生深刻理解知识,体现综合应用中的综合性,可适当进行一些一题多变练习。现以九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册的第68页例2为例进行一题多变,供参考。 题目:如图,已知:在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求三角形各角的度数。解:∵AB=AC,BD=BC=AD,DCBA∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C=∠ABC。设∠A=x,则∠BDC=2x,∠C=∠ABC=2x。∴x 2x 2x=180°,∴x=36°,∠ABC=∠C=72°。这是一道内涵丰富的好题,由边的相等关系可… 相似文献
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本文给出两个关于三角形边的命题 .命题 1 到三边不等的三角形三边距离之和最小的点是此三角形最大边所对顶点 .命题 2 到三角形三边距离的平方和最小的点是此三角形重心的等角共轭点 .注 :△ABC内两点D、E互为等角共轭点的充分必要条件是 ,∠DAB =∠EAC ,∠DBC=∠EBA ,∠DCA =∠ECB .先证明命题 1 .证明 :设△ABC内一点P到三边BC、AC、AB的距离分别为x、y、z,并设BC =a ,AC =b ,AB =c ,S△ABC=S .则有ax by cz=2S .①不妨设a >b >c,则2S =ax by cz≤ax ay az=a(x y z) .所以 ,x y z≥2Sa .上式等号成立的条… 相似文献
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一、关于黄金分割如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB=图1BCAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.由于ACAB=BCAC可以写成AC2=AB·BC,所以黄金分割也可以说成是“点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项”.如果设AB=1,AC=x,则BC=1-x.于是 x2=1×(1-x),即 x2+x-1=0.∴x=-1±52.∵x>0,∴x=5-12≈0.618.∴AC=5-12,BC=1-5-12=3-52.我们可以在单位长的线段AB上作出黄金分割点.实际上就图2是要作出长为5-12的线段.作法如下(图2):1过点B作B… 相似文献
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1 忽视等腰三角形或直角三角形顶点的变换性 例 1 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,P在直线AC上,△ABP是等腰三角形,求PC. 错解:∴△ABP是等腰三角形, ∴AP=AB=13 ∴PC=PA十AC=18 或PC=PA-AC=8. 评析:本题只考虑A为等腰三角形顶点,忽然了B、P也可以作为顶点.当B为顶点时,BP=BA,∴PC=CA=5;当P为顶点时,设PC=x,则PB=PA=PC CA=5 x, “∵PB2=PC2 CB2 ∴(x 5)2=x2 122 相似文献
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题目 如图1,在Rt△ABC中,∠CAB =90°,AC=3,AB=4,点P是线段AB上任意一动点,以AP为直角边作等腰直角三角形APQ,PQ交BC于点E,线段AQ交BC于点D,设AP=x,DQ=y.（1）求y关于x的函数关系式及DQ的最大值;（2）如图2,连结CQ,当△CDQ和△ADB相似时,求x的值;（3）当以点C为圆心,CQ为半径的⊙C和以点B为圆心,BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时,求AP的长. 相似文献
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一、填空题 (每小题 8分 ,共 4 0分 )1.若 (2x - 1) 5=a5x5 a4x4 a3 x3 a2 x2 a1x a0 ,则a2 a4= .2 .在△ABC中 ,M是边AC的中点 ,P为AM上一点 ,过P作PK∥AB交BM于X ,交BC于K .若PX=2 ,XK =3,则AB = .3.a、b、c是非负实数 ,并且满足 3a 2b c =5 ,2a b - 3c=1.设m =3a b - 7c ,记x为m的最小值 ,y为m的最大值 .则xy = .4 .在△ABC中 ,AD是边BC上的中线 ,AB =2 ,AD =6 ,AC =2 6 .则∠ABC = .5 .已知xyz=1,x y z =2 ,x2 y2 z2 =16 .则 1xy 2z 1yz 2x 1zx 2y= .二、(15分 )若正数a… 相似文献
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凌枫林 《数理天地(高中版)》2002,(3)
“相似三角形”的主要性质是对应边成比例,对应角相等.在物理中,一般地,当涉及到矢量运算,又构建了三角形时,可考虑用相似三角形.下面以静力学为例说明其应用. 例1 如图1所示,支架ABC,其中AB=2.7m,AC=1.8m,BC=3.6m,在B点挂一重物,G=500N,求AB、BC上的受力. 相似文献
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(本讲适合初中) 很多平面几何难题,通过构造正三角形可以找到新颖、简捷、巧妙的证法. 例1 在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,D为形内一点,且∠DAB=∠DBA=10°.求∠ACD的度数. 相似文献