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证明两个自然数互质,通常是用反证法,本文介绍另一种重要方法——辗转相除法。下面通过几个例子说明。例1,求证:相邻两个自然数必定互质。证明:设相邻的两自然数为n、n+1, 用n除n+1得余数r_1=1,再用1除n得余数r_2=0,∴(n,n+1)=r_1=1故相邻故相邻两个自然数必定互质。例2,求证:相邻两个自然数的平方和与这两个数的和互质(杭州大学编,《中学数 相似文献
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相邻两整数之积具有如下的简单性质: (1)两相邻整数之积必为偶数; (2)两相邻整数之积的末位数只能是0,2,6中的一个; (3)若M是两相邻整数之积,则当且仅当4M+1为完全平方数. 性质(1)是显然的.性质(2)容易验证.下面给出性质(3)的证明. 相似文献
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解数学题时,若思路受到阻碍或无计可施,常考虑把一个命题化成与之等价的另一命题,往往可收到化难为易,化繁为简之功效,下举数例,以示说明。例1 求证:没有整数a、b、c,满足a~2+b~2-8c=6。分析:这个命题已知条件很少,不便于利用。若将其结论式等价变形成:a~2+b~2=8c+6,则问题转化为:证明没有两个整数的平方和被8除余6,至此,可由整数性质获得巧妙证明。∵任一整数都可表示成下列形式之一:4n.4n+1,4n+2,4n+3,它们的平方分别为:16n~2,16n~2+8n+1,16n~2+16n+4,16n~2+24n+9,它们被8除的余数是:0,1,4,而0、1、4中的任意两个(包括重复)之和都不等于6,故任意两个整数的平方和被8 相似文献
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一问题问题一试举例检验并证明:任意两个自然数的和差及积中,至少总有一个数能被3整除。问题二试证明任一自然数和它的五次方的末位数字相同. 问题三若某一偶数是两个完全平方数的和,试证明它的一半也是两个完全平方数的和。问题四 3~2=9,5~2=25,7~2=49,9~2=81数9,25,49,81,中的每一个除以8时都余1,试问一般说来,是否所有奇数的平方都具有以上的性质。问题五任取一个两位数,颠倒它的数字顺序就又得一两位数,从它们中较大的减去较小的,试证明所得的差将总是9的倍数。问题六设整数A和B的后k个数字相同,试证明数A~n和B~n(n为任意自然数)的后k个数字也相同。 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(14)
对于任意自然数 n,n~2与(n 1)~2之间没有自然数的完全平方数,这是一个非常明显的数学事实.在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时,这一结论有着不可低估的作用.下面以各地数学竞赛试题为例来说明.例1 对于任意自然数 n,试说明,数 n~4 2n~3 2n~2 2n 1不可能是完全平方数. 相似文献
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本文给出一个自然数能分解为两个连续自然数乘积的充分条件,并举数例说明其应用。 [定理] 设n是大于1的任意奇数,则数1/4(n~2-1)可以分解成两个连续自然数的乘积。证明∵n是大于1的奇数,∴可设n=2m+1(m∈N) ∴ 相似文献
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几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数. 相似文献
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数单位质.之卜口表1。1}}…自然数可划分为单位数、质数、合数三类1称为自然数的单位数有且只有两个约数的自然数称为质数有两个以上约数的自然数的自然数称为合数表1.2整数可划分为奇数、偶数两类 ’卜’数’李表杀j’-’一’.ll’.l是’.’义奇数{豁王,(·。·){凡不能被2整除的整数称为奇数偶数…2·(刀‘·)…凡能被2整除的整数称为偶数表1.3有理数的基本性质 {内容有序性闭合性稠密性任意两个有理数可以比较大小a>b,。二b,a相似文献
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与自然数n有关的不等式的证明通常采用数学归纳法。这里我们给出可与数学归纳法相媲美的新方法——自然数函数单调性法。定理若n、n_0∈N,且n>n_0,f(n)是自然数n的单调递增(或单调递减)函数且f(n_0)≥m(或≤M),则f(n)≥m(或≤M)。由函数的单调性知上面的定理是显然的,下面举例说明它的应用。例1 求证:当n是不小于3的整数时,有n~(n+1)>(n+1)~n。证明设f(n)=((n+1)~n)/(n~(n+1)), 相似文献
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1985年上海市初中数学竞赛题: n为自然数,且9n~2 5n 26的值是两个相邻自然数之积,求n。一根据两相邻自然数相差1的特征构造等式及转化方程。解法一设这两个相邻自然数分别为x(x 1)则(x 1)-x=1,两边平方并整理,得 x(x 1)=1/2[(x~2 1)~2 x~2-1)] =9n~2 5n 26 =1/2[(3n 1)~2 (3n)~2 4n 51] =1/2[(3n 2)~2 (3n 1)~2-8n 47] =1/2[(3n 1)~2 (3n 2)~2-20n 39] 由此得关于n的一次方程:4n 51=-1; 相似文献
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1．相等关系转换为不等关系
例1n为自然数,且9n^2＋5n＋26等于相邻两个自然数的积,求n的值． 相似文献
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我们经常需要求通项公式为n的整式函数的数列的前n项和。如求下面的和:1~2+2~2+…+n~2 1~3+2~3+…+n~3 实际就是分别求通项公式为a_n=n~2,a_n=n~3的两个数列的前n项和。又如1989年高考第23题: 是否存在常数a,b,c使得等式: 1×2~2+2×3~2+…+n(n+1)~2=n(n+1)/12(an~2+bn+c)对一切自然数n都成立!并证明你的结论。这里如果能求出数列{a~n},其中a_n=n(n+1)~2的前n项和,此题也就解决了。 相似文献
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赵万里 《中学数学教学参考》2003,(9):61-61
定理 1 差为定值的两自然数之不同积 ,可排成二阶等差数列 ,二阶差为 2 .证明 :设定值为t,则数列 {an},an=n(n +t) ,于是an + 2 -2an+ 1+an=(n +2 ) 2 -2 (n +1 ) 2 +n2 +(n +2 )t-2 (n +1 )t+nt=2 .定理 2 商为定值t(t∈N)的两自然数的不同积 ,可排成二阶等差数列 ,二阶差为 2t.证明 :一数为n ,另一数为nt,通项公式为n2 t,计算即知结论正确 .(注 :本栏发表的短文 ,是由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编的初等数学研究未发表的新成果 ,摘录较少 ,不影响原文的全文发表 ,杨老师地址 :天津市宝坻区华苑 1 -2 -1 0 2 ,邮编 :3 0 1 … 相似文献
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大家知道,利用数学归纳法来证明某些与自然数n有关的数学命题,关键是证明归纳步骤,即利用n=k命题成立这个假设条件来证明n=k+1时命题也成立。笔者现提出如何证明归纳步骤的一些技巧,供参考。一、要从n=k后条件出发“进”到n=k+1结论。例1.实数列{R_n}中,设R_1=1,R_(n+1)=1+n/R~2。求证:n~(1/2)≤R_n≤n~(1/2)+1。根据归纳法假设,当n=k时,命题成立,即 K~(1/2)≤R_k≤k~(1/2)+1 (1)要证明n=k+1时,命题也成立,即 相似文献
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一、关于4、8的整数运算规律1．任意非零实数x(x≠0,不含无限数),只要其倒数第二位数为奇数(1、3、5、7、9),末位数为2或6,则x能被4整除；只要其倒数第二位数为偶数(2、4、6、8)或0,末位数为0或4或8。则x真能被4整除．论证如下：设有正整数(?)数字排列,其中(?)能被4整除,那么,c可取1-9中的任意数字,(?)能被4整除． 相似文献
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平方数是指能表示成某整数平方的那些数，又称完全平方数．它是国内外数学竞赛中的一种重要题型．这类问题，立意新颖，构思精巧，颇富思考情趣．本文初探求解有关平方数问题的金钥匙．一、从数的因子入手任何平方数都能分解成偶数个相同素因子的积．抓住这一点，便能解决一些平方数问题．例1（1988年第2届国际中学生友谊赛题）求征：不存在这样的自然数n，使数n~6 3n~5-5n~4-15n~2 4n~2 12n 3是自然数的完全平方．能被6！整除．∴A无偶数个3的因子，故b不是完全平方数．例2（第16届加拿大中学生数学竞赛题）证明1984个连续正整数的平方和… 相似文献
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胡韬 《延安教育学院学报》1994,(2)
一、引言：《卫星电视教育，小学教师培训教材》一书中，关于自然数能被11整除给出了两种判别方法。判别方法一，见教本P86，判别方法二，“一个自然数它的奇位上的数的和与偶位上的数的和之差（用两数中较大的数减较小的数）能被11整除，这个自然数就能被11整除”。两种判别方法各有其民，应用广泛。判别方法一，教本给出了证明，判别对法二。教本未给出证明，只拿一个四位自然数说明了一下，这个说明并不能保证对任何一个自然数判别方法二是成立的。由此本文给出判别方法二的证明如下，供中、小学教师及广大读者参阅。二、定理：如果一个… 相似文献