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20 0 3年江苏省盐城市中考数学试卷中有这样一道试题 :已知关于x的方程x2 + 2 ( 2 -m)x + 3- 6m =0 .( 1 )求证 :无论m取什么实数 ,方程总有实数根 ;( 2 )如果方程的两个实数根x1、x2 满足x1=3x2 ,求实数m .这是一道考查学生一元二次方程根的判别式、配方法、非负数性质、一元二次方程的根与系数关系以及方程思想、分类讨论思想水平的好题 .其解法灵活多样 ,有助于学生数学能力的提高 .( 1 )证法一 :由Δ =4 ( 2 -m) 2 - 4( 3- 6m)=1 6 - 1 6m + 4m2 - 1 2 + 2 4m=4m2 + 8m + 4=4 (m + 1 ) 2≥ 0 ,可知无论m取何实数 ,方程必有实数根 .说明 … 相似文献
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《数学通报》2005年7月号问题1561为:已知函数y=f(x)=ax2+bx+c,其中a>b≥0>c,a+b+c=0.(1)试证:方程f(x)=-a有实数根;(2)设方程f(x)=-a的两实根为x1,x2,问能保证f(x1+m)和f(x2+m)中至少有一个为正数的实数m是否存在?若存在,确定m的取值范围.贵刊2006年第6期《也谈对一个数学问题的质疑与另解》一文,对以前的解答作出了修正,得出了m的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞),其解法新颖巧妙.但笔者认为此文只是刻画了该问题的一个方面,还可以对这个问题从以下几个方面进行发问,即:1保证f(x1+m)与f(x2+m)全部为正数的实数m是否存在?若存在,确定m的取值范… 相似文献
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余红丹 《河北理科教学研究》2007,(2):51-53
题目:关于x的方程(x~2-1)~2-|x~2-1| k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根,其中假命题的个数是A.0B.1C.2D.3分析:从方程的整体来看,可通过参数替换,将其转换为二次方程的结构t2-|t| k=0(令t=x2-1),但其含有绝对值,若采用分类讨论来去绝对值,再由二次方程实根分布的知识来处理,势必很烦琐,倘若考虑方程实根的几何意义,采取数形结合,便可迅速获解.图1解:令t=x2-1(t≥-1),则原方程可化为t2-|t|… 相似文献
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先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个… 相似文献
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解答数学问题,讨论是常有的,但是有时巧妙地利用相关数学思想方法,可以规避分类讨论,从而快速解题.一、分离参数法例1已知ax~2-2x+2>0对于1相似文献
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代数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型 .近几年的中考大题多以代数综合题的形式出现 .解代数综合题必须要有科学的分析问题的方法 ,一般分为认真审题、理解题意 ,探求解题思路 ,正确解答等三个步骤 .而在解题中常用的转化、数形结合、分类讨论、方程等数学思想是解代数综合题的灵魂 .1 方程与不等式的综合例 1 已知关于x的方程x2 + 2x + m2 - 1x2 + 2x - 2m=0 ,其中m为实数 .(1)当m为何值时 ,方程没有实数根 ?(2 )当m为何值时 ,方程恰有三个互不相等的实数根 ?求出这三个实数根 .分析 :第 (1)问需用一元二次方程根的判别式… 相似文献
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同学们学过全日制普通高中数学(人教版)第一章1.6逻辑联结词之后,会对“非”、“或”的某些问题感到迷惑不解.如:(1)命题p:方程x2+x+1=0有两个相等的实根.(假命题)P:方程x2+x+1=0有两个相等的虚根.(假命题)(2)命题P:x为实数,若x≠1,则x2≠1.(假命题)P:x为实数,若x≠1,则x2=1.(假命题) 相似文献
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在中考复习中,注意某些公式、法则的适用范围以及它的限制条件,是很有必要的.在本文中,我们一起探讨数学中考中容易失分的几个问题.希望能引起同学们的重视,避免摔倒在别人多次绊倒的地方.一、忽视根的判别式例1设x1,x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个根.当m为何值时,x12+x22有最小值?求出这个最小值.错解:已知方程的两根是x1,x2,∴x1+x2=2m,x1·x2=2m2+3m-22 .∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2×2m2+3m-22=2m2-3m+2=2(m-34)2+78.(1)∴当m=34时,x12+x22有最小值78.分析:∵x1,x2是原方程的两实根,∴Δ=(-4m)2-4×2(2m2+3m-2)≥0.解得:m≤23.… 相似文献
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王路 《中学课程辅导(初三版)》2003,(8):8-9
关于解两个一元二次方程有公共根的问题,有些同学感到困难.下面提供一例题的几种解法,供同学们参考. 例:m为何值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根. 解法一:利用根与系数的关系设公共实根为a,则方程x2+mx-3=0的两根为a,-m-a. 相似文献
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贾元红 《山西教育(综合版)》2005,(6)
在解答某些数学问题时,会有多种情况,需对各种情况加以分类,并逐类求解,然后再综合得解,这就是分类讨论.分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想.它实质上是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练思维的条理性和概括性,所以在近年来的高考试题中占有重要的位置.1.引起分类讨论的因素.(1)涉及的数学概念是分类定义的.如a的绝对值,就是按a>0,a=0,a<0三种情况给出的.(2)运用的数学定理、公式和法则有范围和条件限制.如直线的截距式方程xa by=1,只适用于截距非… 相似文献
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综观近年来全国各省市中考数学试题 ,不难发现 ,为了培养学生的探索精神和创新能力 ,出现了一类存在性问题的试题 .这类试题在命题中常以适合某种性质的结论“存在”及“是否存在”等形式出现 .常见的有肯定型和讨论型两类 . 1 .肯定型这类问题就是有适合某种已知条件或符合某种性质的对象 .解答这类问题 ,无论用什么方法 ,只需找出一个 ,问题就解决了 .例 1 已知二次函数y =x2 -2 (m - 1 )x +m2 - 2m - 3,其中m为实数 .(1 )求证 :不论m取何实数 ,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点 ;(2 )设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0 )… 相似文献
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有学生问了这样一道题目:题已知函数f(x)=4x+ax2-32x3(x∈R)在区间[-1,1]上单调递增.(Ⅰ)求实数a的集合A;(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=2x+13x3的两个非零实根为x1,x2,问是否存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A以及t∈[-1,1]恒成立.若存在,试求出m的范围;若不存在,试说明理由.这道题主要考查集合、方程、不等式、导数函数极值等知识,以及分离系数、换元等思想方法.学生感到难以下手,主要原因是:缺乏一定的综合能力,难以熟练运用类比联想的思想将其化归为几个简单问题.因此,笔者不直接给出解答,而是设置学生熟悉的背景题,让学生在理解… 相似文献
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二次方程、二次函数无疑是初中数学的重中之重,而一元二次方程根的讨论能融汇方程、函数和不等式的知识,对强化数形结合能力,培养思维的严密性与灵活性,都是很好的课题,值得我们重视.本文相对集中有关内容,使读者便于比较和掌握.例1当m是怎样的值时,方程x2-(m+1)x+m=0的根分别满足:(1)两根都是正根;(2)两根互为相反数;(3)两根异号,且负根的绝对值大于正根的绝对值;(4)两根都大于-1.分析注意观察方程的特点,不要贸然动用求根公式、判别式和韦达定理.解原方程即(x-1)(x-m)=0,有x1=1,x2=m,因此(1)只要x2>0,即m>0;(2)已知x1=1,只要m=-1;(3)因为x… 相似文献
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分类讨论是数学解题的重要思想 ,绝大多数数学题 ,其解答都要涉及到分类讨论思想 ;用分类讨论解题 ,最困难的是分类标准的确定 ,即如何进行分类讨论。本文通过对 2 0 0 2年高考理科试题中蕴含的分类讨论思想的挖掘 ,谈谈如何进行分类讨论 .1 蕴含概念型分类讨论问题所谓概念型分类讨论题 ,是指含有数学概念 (例如绝对值等 ) ,而且必须分类讨论的问题 .2 0 0 2年高考试题中蕴含着概念型分类讨论题 .例题 1 不等式 (1 ｘ) (1 -｜ｘ｜) >0的解集是 ( ) .Ａ {ｘ｜ 0 ≤ｘ <1 }Ｂ {ｘ｜ｘ<0且ｘ≠ -1 }Ｃ {ｘ｜-1 <ｘ<1 }Ｄ {ｘ｜ｘ<1且ｘ… 相似文献
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张健 《中学课程辅导(初三版)》2003,(7):11-11
一元二次方程根的判别式是历年来各地中考必考的知识之一,其主要题型有: 一、判断一元二次方程根的情况倒1 已知关于x的方程(n-1)x3+mx+1=0①有两个相等的实根.求证:关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根. 相似文献
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《中学课程辅导(初三版)》2005,(8)
在实数范围内,一元二次方程ax2 bx c=0 (a≠0)有两个实根x1、x2,则x1 x2=-b/a,x1x2=c/a. 注意在实数范围内应用根与系数关系的前提条件是a≠0且△≥0.它的应用主要体现在不解方程或无法解方程的情况下,直接沟通方程系数与根之间的关系.现举例如下: 一、由根的性质求方程中未知数的值例1 已知关于x的方程2x2-mx-2m 1=0的两实根的平方和等于29/4,求m的值. 解:设方程的两实根为x1、x2则得x1 x2=m/2, 相似文献
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在方程ax~2 bx c=0中,a的作用至关重要,在解一元二次方程有关习题时,有的学生往往由于忽视对二次项系数的讨论,而导致不必要的失误。因此,这个问题应予以注意。 例1.关于x的方程(m~2-4)x~2 (2m-1)x 1=0(m为实数)的两实根的倒数和为S,试确定S的取值范围。 相似文献