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反证法在代数、几何证题中的地位与作用,已广为人知。但作为数学的一个分支——三角,由于它有公式繁多、恒等变形十分灵活等特点,因此在三角证题中,学生往往只知道套用公式寻求直接证法,而易于忽视反证法在三角证题中的应用。一、证明等式或证明不等式问题。例1 设α、β为锐角,且sin~2α+sin~2β=sin(α+β),求证:α+β=π/2(1983年全俄中学生数学奥林匹克试题)。证明要证α+β=π/2,只须证α+β>π/2要α+β<π/2都不能成立。为此,将已知等式变形成: sinα(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ) (*) 假若α+β>π/2,则α>π/2-β,于是sinα>cosβ,cosα相似文献
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方长林 《中学数学研究(江西师大)》2013,(9):46-47
原题1在△ABC中,对λ≥1,求证:tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)≥6tan(π/6λ),当且仅当A=π/6,B=π/3时等号成立.原证明如下:当α>0,β>0且α+β<π时,有:tanα+tanβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)=(sin(α+β))/(cosαcosβ) 相似文献
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朱继红戴志祥 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):47-49
正题目已知α,β,γ∈(0,π/2),且sin~2α+sin~2β+sin~2γ=1,求sinα+sinβ+sinγ/cspα+cosβ+cosγ的最大值.这是一道第三届世界数学锦标赛(青年组)团体赛的第8题,本文先给出问题的解,然后从一题多变的角度给出问题的多种变式,给同学们参考. 相似文献
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坐标思想是一种通过坐标系实现数、形结合,并相互转化使问题获解的思想方法.它富有活力,应用广泛。本文就坐标思想解三角题作一例说. 先看高考理科数学试题90年第22题:已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3.求tg(α+β)的值 相似文献
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卢剑春 《数学大世界(高中辅导)》2000,(2):35-36
在90年高考数学理工农医类试卷中有这样一道三角题：已知sinα+sinβ=1/4(I)，cosα+cosβ=1/3(Ⅱ)，求tg(α+β)的值．此题解法很多，现归纳下面十种解法，供教学、学习时参考． 相似文献
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王淼生 《中学数学研究(江西师大)》2013,(6):45-46
文[1]中提出一个编号为2090号的数学问题(以下简称题1):题1设α、β、γ是长方体对角线和三个面所成的角,证明:(1+sin~2α)(1+sin~2β)(1+sin~2γ)/tan~2αtan~2βtan~2γ≥(8/3)~3.(《数学通报》2090号问题)在文[2]中,供题作者在数学问题解答栏目中为上述题1提供了解答,这道数学问题结构优美,笔者颇感兴趣,本文对此进行一些肤浅探究并提出一个疑惑, 相似文献
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<正>笔者今年参加南通市初中数学中考命题骨干教师培训活动,偶获一题:题目已知α、β均为锐角,且tanα=1/2,tanβ=1/3.求α+β的度数.本题利用高中的三角公式很快就能解决,但对于初中学生来说,则不那么简单.如 相似文献
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问题已知正数a,b(a≠b)与锐角α,β(α≠β)满足(a^2/a-b·(sin^2α/sin^2β-1))+b=b·tanα-a=√(a^2+b^ 2),求α+β的大小.分析题中给出关于正数a,b与锐角α,β的三角函数之间比较复杂的等量关系,根据其结构特点,直接求α+β的度数,往往使人感到束手无策,所以直接求解此题具有一定的难度. 相似文献
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“数”与“形”是数学研究的两大对象,在数学解题中以“形”研究“数”,会使问题直观形象,解法灵活简便,因此在解某些代数问题时,可依据题目的特征,构造出一些简单的几何图形,把所求的问题转化为几何问题,然后运用几何等知识去解决所求问题.笔者将对某些代数题构造几何图形妙解进行归类分析。 1 构造单位圆解三角题 例1 已知cosα cosβ-cos(α β)=3/2,α,β∈(0,π),求α,β的值. 解 由cosα cosβ-cos(α β)号得cosα cosβ-cosαcosβ sinαSinβ-3/2=0. (1-cosβ)cosα sinβsinα cosβ-3/2=0.(1) 相似文献
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高中《代数》第一册P181例3: 例3 设tgα、tgβ是一元二次方程ax~2+bx+c=0(b≠0)的两个根,求ctg(α+β)的值。解:在ax~2+bx+c=0中,a≠0,由一元二次方程根与系数之关系,得tgα+tgβ=-b/a,tgα·tgβ=c/a。而ctg(α+β)=1/tg(α+β)=(1-tgα·tgβ)/(tgα+tgβ)(＊)由题设b≠0。故tgα+tgβ≠0,代入 相似文献
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题:方程8x~2+6kx+2k+1=0的两个根是直角三角形两锐角的正弦,求k的值。解设直角三角形两锐角为α、β、根据一元二次方程根与系数的关系得: sinα+sinβ=-6k/8 ① sinα·sinβ=(2k+1)/8 ②∵α+β=90°∴sinβ=cosα∴①、②两式可变为:sinα+sinα=-3k/4 ③sinα·cosα=(2k+1)/8 ④③式平方,得 1+2sinαcosα=9k~2/16, 相似文献
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李歆 《数理天地(高中版)》2002,(8)
前苏联有一道三角竞赛题: 设锐角α、β满足sin2α+sin2β=sin(α+β). 求证:α+β=π/2. 一般学生容易从求sin(α+β)=1去入手,但经过一番苦思冥想之后,由条件无法求解出sin(α+β)=1这个结果.遇到这种情况,不妨改变一下解题方向,观察条件等式sin2α+sin2β=sin(α+β),即可从sin(α+β)≤1入手,可顺利地证明此题. 证明由sin(α+β)≤1得 sin2α+sin2β≤sin2α+cos2α① sin2α+sin2β≤cos2β+sin2β② 相似文献
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一、选择题11在下列关于直线l1,l2与平面α、β的命题中,真命题的是()(A)若l1<β且α⊥β,则l1⊥α.(B)若l1⊥β且α∥β,则l1⊥α.(C)若l1⊥β且α⊥β,则l1∥α.(D)若α∩β=l2,且l1∥l2,则l1∥α.(第2题)21如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点D、E分别是棱 相似文献
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陈红旗 《中学数学研究(江西师大)》2006,(7):40-42
在一些参考资料上,经常可以看到这样一道三角题:题目:已知 sinα sinβ=2~(1/2)/2,求 cosα cosβ的取值范围.其解法为:设 cosα cosβ=x,则(sinα sinβ)~2 (cosα cosβ)~2=1/2 x~2,即2 2cos(α-β)=1/2 x~2,∴x~2=3/2 2cos(α-β).∵-1 相似文献
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北师大版高中数学必修5(2007年5月第3版,2009年7月第3次印刷)第2章“解三角形”,其中的第2节“三角形中的几何计算”的习题2-2B组题第1题,题目如下:
如图1,有3点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点,设∠APC=α,∠BPC=β,求证
sin(α+β)/PC=siα/PB+sinβ/PA. 相似文献
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第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1 设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知… 相似文献