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周庆军 《中学数学教学参考》1999,(11)
在近年的初三数学复习中,我们确立了“把握大纲、用好课本、侧重双基、发展能力”的指导思想．认真研究课本例题与习题,挖掘其潜力,通过改造结论、添设条件、转化图形、逆向思考等方法,增强课本例题的幅射功能．真正做到了举一反三,触类旁通,取得了很好的复习效果．现举课本一例来说明之．题目：若⊙Ｏ１与⊙Ｏ２外切于Ａ,ＢＣ是⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的外公切线,Ｂ、Ｃ为切点．求证：∠ＢＡＣ＝９０°．（图１）（人教版《几何》第三册Ｐ．１４４例４）一、条件不变,可挖掘的结论：（１）∠ＣＡＯ２＝∠ＡＢＣ．（２）ＢＣ是两圆直径的比… 相似文献
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本文利用文〔１〕中给出的不等式：ｃｔｇＡ＋ｃｔｇＢ＋ｃｔｇＣ≥２Ｒｒ－１,（１）（式中Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆和内切圆的半径,等号成立当且仅当△ＡＢＣ是正三角形）轻巧地导出了Ｗｅｉｓｎｂｏｃｋ不等式和Ｋｏｏｉｓｔｒａ不等式的新的下界．定理１若△Ａ... 相似文献
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一般来说,对n阶矩阵A、B、C,等式tr（ABC）＝tr（BAC）是不成立的．本文讨论了等式tr（ABC）＝tr（BAC）及等式tr［（AB）、C］＝tr[（BC）、C]成立的条件,得到了它们成立的充要条件． 相似文献
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初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５… 相似文献
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证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ… 相似文献
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有关定义任意一个正整数ｎ和质数２,如果存在一个与２互质的正整数ｑ,使得等式ｎ＝ｑ２ｋ（ｋ∈Ｎ）（１）成立,就把２ｋ中的指数ｋ叫做ｎ含２的因数个数,记作〔ｎ〕２＝ｋ;如果（１）里的正整数ｑ不存在,就是ｎ不含２的因数,记作〔ｎ〕２＝０．由定义明显可得下面... 相似文献
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等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合．这就是等腰三角形的“三线合一”定理．这个定理可分解为下面三个定理：（１）在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是顶角平分线，则ＡＤＢＣ，ＢＤ＝ＤＣ．（２）在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是底边上的高，则ＢＤ＝ＤＣ，∠ＤＡＢ＝∠ＤＡＣ．（３）在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是底边上的中线，则ＡＤ上ＢＣ，∠ＤＡＢ＝∠ＤＡＣ．由此可知，等腰三角形“三线合一”定理有三个基本功能：（１）利用“三线合一”定理可以证明两条线段相等．（２）利用“三线合一”定理… 相似文献
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勾股定理是几何中一个极为重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．应用它，不仅可以解竞赛计算题，而且可以解竞赛证明题．例１若直角三角形的两直角边的长分别为１和２，则斜边上的高为（）（Ａ）；（Ｂ）（Ｃ）；（Ｄ）．（１９９５年昆明市初中数学竞赛试题）解如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１，ＢＣ＝２，例２在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝１５°，ＡＢ＝１０，则△ＡＢＣ的面积为（）（Ａ）１０；（Ｂ）１０；（Ｃ）１２．５；（Ｄ）１５．（１９９３年吉林省初中数学竞赛试题）解如图２，作… 相似文献
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一、填空题 １．ＡＢ是Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ．若ＡＰ：ＰＢ＝３：１，，则ＣＤ等于 ２．如图１，ＣＤ是Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，如果ＣＥ＝２，ＡＢ＝８，那么ＥＤ＝＿，Ｏ的半径ｒ＝＿．（江苏省徐州市） ３．如果Ｏ的半径为５ｃｍ，一条弦长为８ ｃｍ，那么这条弦的弦心距为 ｃｍ（安徽省） ４．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，如果∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，那么∠Ｄ＝ （吉林省） ５．如图 ２，ＢＡ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ在Ｏ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠Ａ＝ （吉林省） ６．如图３，ＡＢ是Ｏ的直径… 相似文献
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一个应用广泛的不等式 总被引：1，自引：1，他引：0
设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证 注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１ 在△ＡＢＣ… 相似文献
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阎建德 《中学数学教学参考》1999,(11)
题目 已知点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ顺次在⊙Ｏ上,ＡＢ＝ＢＤ,ＢＭ垂直于ＡＣ,垂足为Ｍ．证明：ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．（１９９７年江苏省初中竞赛题,著名的“阿基米德折弦定理”）．贵刊１９９９年第３期第３２页张昕老师《一道初中竞赛题的证法探讨》给出了多种证题思路,读后受益非浅．但张老师认为“证明本题必须通过截长补短的辅助线将证ＡＭ＝ＣＭ＋ＤＣ转化为证两线段相等”．而我对本题的特征又进行了分析．得出了下面的代数证法,以供参考．解法探索：因欲证ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ,而ＡＭ、ＤＣ、ＣＭ都为线段的长,即均为正值．故只要证明Ａ… 相似文献
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圆中添加辅助线的几种思路兰州市三十五中刘晓娟一、解决题目中与弦、弧有关的问题，可考虑作半径、弦心距例１．如图（１），已知：ＡＢ是⊙０的直径，ＣＤ是弦，ＡＥ⊥ＣＤ，ＢＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｅ，Ｆ。求证：ＣＥ＝ＤＦ。题目给出圆的弦ＣＤ，可作弦心距ＯＧ⊥ＣＤ... 相似文献
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“三线合一”指的是《几何》第二册第６７页上的一个推论：“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合．”这是等腰三角形的重要性质之一,运用时应作如下理解：如图１,△ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＡＣ,Ｄ为ＢＣ上一点,在下列三个条件中：（１）∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ;（２）ＡＤ⊥ＢＣ;（３）ＢＤ＝ＤＣ,满足其中任意一个条件时,都能立刻推出其余两个成立．下面举例说明它的应用．一、证明线段相等例１如图２,△ＡＢＣ中,Ｄ、Ｅ在ＢＣ边上,ＡＢ＝ＡＣ,ＡＤ＝ＡＥ．求证：ＢＤ＝ＣＥ．证明作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ,则由“三线合… 相似文献