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命题 设D、E分别是△ABC的边BC上与顶点B、C不重合的任意两点 ,△ABD、△ACE、△ABE、△ACD、△ADE的内切圆半径分别记作r1、r2 、r3、r4 、r5.则图 1r1r2=r3-r5r4 -r5.引理[1] 已知△ABC ,边BC上的高为h ,N为边BC上一点 ,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r1、r2 .则△ABC的内切圆半径r满足r=r1+r2 - 2r1r2h .命题证明 :如图 1 ,不妨设△ABC的内切圆半径为r,边BC上的高为h ,则由引理可得r=r1+r4 - 2r1r4 h ,①r=r2 +r3- 2r2 r3h ,②r3=r1+r5- 2r1r5h ,③r4 =r2 +r5- 2r2 r5h .④把④代入①、③代入② ,化简整理得2r1r4… 相似文献
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定理设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC边上的任一内点,且△ABC,△ABD,△ACD的内切圆半径分别为r,r1,r2;对着∠BAC,∠BAD,∠CAD并与BC边相切的这些三角形的旁切圆半径依次是r',r1',r2'.则有 相似文献
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一个有趣平几公式的三角证法 总被引：1，自引：1，他引：1
《中学数学》(苏州)1996年第9期《一个有趣的平几公式》一文介绍了一个新发现的颇为有趣的平几公式,本文将巧用三角法提供一种别致的证明. 定理 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r_1,r_2,则△ABC的内切圆半径r满足 相似文献
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文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式 相似文献
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定理 设D、E是△ABC的边BC上任意两 (内 )点 ,ha 为BC边上的高 ,r ,r1,… ,r5依次为△ABC、△ABD、△AEC、△ADE、△ABE和△ADC的内切圆半径 ,则( 1 ) r1r2=r3-r4 r3-r5;( 2 )r =r1+r2 +r3-1ha·(r1r3+r1r5+r2 r3+r2 r4 ) .引理[1] D为△ABC的BC边上任一内点 ,h为BC边上的高 ,r、r1、r2 分别为△ABC、△ABD、△ADC的内切圆半径 ,则r =r1+r2 -2r1r2h .定理的证明 :由引理得①r =r1+r5-2r1r5ha,及关于r、r2 、r4 ,r4 、r1、r3,r5、r2 、r3的类似式子②、③、④ ,进而将④代入① ,③代入② ,及① =② ,整理 ,消去ha,整理… 相似文献
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张赟 《中学数学教学参考》2003,(12)
文 [1 ]给出了如下平面几何公式 :r =r1+r2 -2r1r2h .其中 ,P为△ABC的BC边上一点 ,h为BC边上的高 ,r ,r1,r2 分别为△ABC、△ABP和△ACP内切圆半径 .我们得到定理 设P为△ABC的边BC上一点 ,h为BC上的高 ,R ,R1,R2 分别为△ABC、△ABP、△ACP的外接圆半径 ,CA =b ,AB =c ,则R =(b +c) (bR1+cR2 )4h(R1+R2 ) . ( )证明 :由正弦定理 ,AP =2R1sinB =2R2 sinC ,设BC =a而sinB =b2R,sinC =c2R,因此R1+R2 =AP2 ( 1sinB+1sinC) =R(b +c)bc ·AP=R(b+c) sinAah ·AP=R(b+c)· AP2Rh=b +c2h (R1sinB +R2 sinC)=b +… 相似文献
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李耀文 《中学数学教学参考》2005,(5):61-61
定理 设D为ΔABC的边BC上任一内点，且r、r1、r2分别为ΔABC、ΔABD、ΔACD内切圆的半径，r′、r1′、r2′分别为相应三角形ABC外旁切圆的半径，h为ΔABC的BC边上的高，则。 相似文献
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<正>苏科版教材九年级上册《中心对称图形(二)》中有这样一道练习题:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、3、4.求△ABC的内切圆半径r.分析连结OA、OB、OC,将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2).这三个三角形都具有下列特征:即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底,其边上的高都为内切圆的半径r,则可用面积守恒来解决问题. 相似文献
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定理 若△DEF是锐角△ABC的垂足三角形 ,且BC =a ,CA =b,AB =c,△AEF、△BDF、△CDE的内切圆分别为⊙I1、⊙I2 、⊙I3,其半径依次为r1、图 2r2 、r3,则有 ar1+br2+cr3≥ 1 2 3。证 ∵BE⊥AC ,CF⊥AB ,∴∠BEC =∠CFB =90°。又因E、F在BC的同侧 ,∴B、C、E、F四点共圆 ,∴∠AEF =∠B ,∠AFE=∠C ,故△AEF∽△ABC ,∴ EFBC=AEAB=r1r ,其中r为△ABC内切圆半径。在Rt△ABE中 ,cosA =AEAB,故 r1r =cosA ,即r1=rcosA ,同理r2 =rcosB ,r3=rcosC。 从而 ar1=arcosA =arsinA·tanA =2Rr ·tanA≥4tanA ,R… 相似文献
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黄汉生 《邵阳学院学报(社会科学版)》1996,(2)
本文约定 △ABC的三内角及其所对的边长,内切圆半径,外接圆半径,半周长,面积分别记为A、B、C、a、b、c、r、R、s、△,△ABC的内部任一点到其三边BC、CA、AB的距离分别是r_1、r_2、r_3。 相似文献
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文[1]给出如下一个定理: 定理若△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△AEF、△BDF、△CDE的内切圆分别是⊙I1、⊙I2、⊙I3,其半径分别是r1、r2、r3,则有a/r1 b/r2 c/r3≥12√3. 相似文献
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关于垂足三角形旁切圆半径之间有下面一个恒等式: 定理 若△ DEF 是锐角△ ABC 的垂足三角形,且 BC = a,CA = b,AB = c , p = (a b c) /2, △ ABC 的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为? 、R 、r ,△ DEF 的旁切圆半径依次为rd 、re 、rf ,则有 rd = re = 相似文献
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一道几何不等式猜想的证明 总被引：1，自引：0，他引：1
刘保乾先生在1997年5月5日给笔者来信中提出了一个很好的关于几何不等式的猜想:在△ABC中,m_a、h_a分别为BC边上的中线和高线,R与r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径,证明或否定 相似文献
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李耀文 《中学数学教学参考》2010,(4):68-68
定理 设△ABC内切⊙I（r）的三条切线DE／／BC,FG／／CA,HK／／AB,BC=a,CA=6,AB=c,△ADE、△BGF、△CHK内切圆半径分别为ra、rb、rc,△ABC外接圆半径为R,半周长为s,面积为△,则如下八个等式成立： 相似文献
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V.Ocordon曾给出了三角形的高与边长之间的不等式[1]:∑a2/h2b+h2c≥2 ① (关于△ABC三边及其边上的高的循环不等式,a、b、c为△ABC的三边,ha、hb、hc为对应边上的高,R、r分别为△ABC外接圆半径和内切圆半径) 相似文献