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在初中数学竞赛中,常常出现“1/x 1/y=1/a”型的不定方程。关于这类方程的解法有以下两个结论: 结论1 不定方程1/x 1/y=1/a(a为非零 x=a(a n)/n,其中n是整数)的整数解为{ y=a n满足下列两个条件的整数: (1)n≠-a; (2)n=pq 且p、q都是a的因数结论2 不定方程1/x 1/y=1/a(a为正 x=a(a n)/n整数)的正整数解为{ y=a n 或 相似文献
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黄细把 《数理化学习(初中版)》2005,(3):27-28
初中数学学习中,尤其是初中数学竞赛中,求不定分式方程整数解的问题屡见不鲜.本文介绍几种方法,供参考. 一、巧用分离整数 例1 (2004年天津市初中数学竞赛试题)方程x+3/x+1-y=0的整数解有( ) (A)一组 (B)二组 相似文献
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解方程(组)类型的问题是各种数学竞赛中较常见的,但竞赛中的方程(组)结构的特殊性,导致解法也是非常规的。下面笔者就多年辅导数学竞赛在此方面所得归纳如下: 1 应对称性解方程(组) 例1 方程组 有唯一的一组实数解,求实数a及方程组的解.(中山纪念中学1997年全国联赛预选题) 解 方程组关于x,y是对称的,若(x,y,z)是一组解,则(y,x,z)显然也是此方程组的一组解,由方程组有唯一解知,必有x=y,原方程组化为 消去z得2x~2 2x-a=0. 由△=0得a=-1/2,此时x=-1/2,y=-1/2,z=1/2。 相似文献
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整数解问题是初中数学竞赛的一块重要内容 ,在各级各类竞赛中每年都有大量的涉及整数解的试题出现 .它们将传统的初中数学知识相综合 ,涉及面宽、范围广 ,往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧 .下面以 2 0 0 3年全国举行的数学竞赛试题为例 ,综述求解这类问题的方法和思考途径 .1 排除法例 1 (第十四届“希望杯”初二第 2试试题 )不等式 0 ≤ax + 5≤ 4的整数解是 1,2 ,3,4 ,则a的取值范围是 ( )(A)a ≤ - 54 (B)a <- 1(C) - 54 ≤a ≤ - 1(D)a≥- 54解 因为不等式 0≤ax+ 5≤ 4的整数解是 1,2 ,3,4 ,取x =4 ,得… 相似文献
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在数学竞赛中经常会遇到解不定方程 (组 )的问题 ,由于同学们这一方面平时训练比较少 ,常常会出现差错 .如果未知量的个数多于独立方程的个数 ,那么方程 (组 )便有无穷多个解 .这类方程 (组 )称为不定方程 (组 ) .在这里我们所讨论的是不定方程 (组 )中最简单的一种 .其未知量仅限于取正整数值 .这一限制使我们能用非常简单的形式表示出方程 (组 )的解来 . 例 1 解方程7x + 1 2y=2 2 0 ,x,y取正整数 .解 将方程两边同除以绝对值较小的那个系数 7的绝对值 ,则x+y+ 57y=3 1 + 37,所以x +y+ 5y -37=3 1 . ①因为 x与y要取整数 ,必有5y -37… 相似文献
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构造法是一种重要的数学方法,在初中数学竞赛中有广泛的应用。解题时,抓住问题的结构特征,巧妙地构造出与之密切关联的数学模式(如代数式、方程、函数、图形等),往往能形成条件和结论之间的逻辑通道,从而达到解决问题的目的。本文拟通过举例说明这种方法的具体运用。一、构造对偶式例1 比(6~(1/2)+5~(1/2))~6大的最小整数是( ) (A)10581.(B)10110. (C)10109.(D)10582. (1992年西安交大少年班入学考试题) 解:令x=6~(1/2)+5~(1/2),y=6~(1/2)-5~(1/2),则x+y=2 6~(1/2),xy=1. ∴ x~2+y~2=(x+y)~2-2xy=22. ∴ x~6+y~6 相似文献
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一元二次方程历来是初中数学竞赛的重点和热点,利用建构一元二次方程的思想解决相关问题的命题,可以说备受命题者的青睐,因而这类赛题在各级各类数学竞赛中频频出现.它的应用之广,作用之妙,常常令人叫绝.本文结合具体竞赛试题,分类介绍建构一元二次方程解数学竞赛试题的若干应用.1建构二次方程求值例1已知x,y均为实数,且满足xy+x+y=17,x2y+xy2=66.求x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值.(2000,山东省初中数学竞赛)分析:由观察可知,题设两个等式均可表示为x+y与xy的形式,且等于常数,因此,可利用与系数的关系建构一元二次方程求解.解由已知条件可得xy+(x+y… 相似文献
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姜继学 《数理天地(初中版)》2002,(4)
某些数学竞赛问题中隐含着不等的关系,必须注意到这些关系,适当地运用它们,问题才能获解.下面以几则竞赛题为例说明.例1若x、y是两个不同的自然数,且1/x+1/y 相似文献
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<正>绝对值是初中数学中的一个基本概念,在初中数学竞赛中时常出现它的身影.本文仅对含绝对值符号的方程问题进行方法解析,供参考.1.用绝对值的非负性求解例1(2013年全国初中数学联合竞赛)已知实数x、y、z满足x+y=4,|z+1|=xy+2y-9,则x+2y+3z=.解由x+y=4,得x=4-y.代入|z+1|=xy+2y-9, 相似文献
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黄细把 《中学课程辅导(初二版)》2006,(11):25-25
在数学学习中,尤其是竞赛中,与幂有关的问题屡见不鲜,解答它们,除了熟练地掌握幂的运算性质外,还应注意:运用变换思想灵活解答.一、变指数例1已知25x=2000,80y=2000,则1x y1等于()A.12B.1C.12D.23(希望杯初二数学竞赛试题)解:已知两等式分别化为(25x)y=2000y,(80y)x=2000x∴25x 相似文献
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2007年台湾数学能力竞赛决赛（笔试一）第1题为：
试求使√2006/x＋y＋√2006/y＋z＋√2006/z＋x为整数的正整数解.文献[1]中的《数学奥林匹克高中训练题（109）》第二试第2题把它改编为： 相似文献
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构造法是一种重要的数学方法,在初中数学竞赛中有着广泛的应用。解题中,抓住问题的结构特征,巧妙地构造出与之密切关联的数学模式(如代数式、方程、函数、图形等),往往能形成条件和结论之间的逻辑通道,从而达到以解决问题的目的,本文拟通过举例说明这种方法的具体运用。*一、构造对偶式例1比()66+5大的最小整数是()(A)10581(B)10110(C)10109(D)10582解:令x=6+5,y=6?5,则x+y=26,xy=16622()2222.xyxyxyxy∴+∴+=+?==(x2+y2)3-3x2y2(x2+y2)=10582.()66+5+()66?5=10582而()0<6?56<110581﹤()66+5﹤10582故比()66+5大的最小整数是10582,应选(D)… 相似文献
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于志洪 《山西教育(综合版)》2001,(20)
例 1.已知 a2 b2 =6 ab且 a>b>0 ,则 a ba- b=。 (2 0 0 1年北京市中学生数学竞赛初二决赛题 )解 :设 a=x y,b=x- y,则将其代入 a2 b2 =6 ab中 ,得 (x y) 2 (x- y) 2 =6 (x y) (x- y)展开括号 ,化简整理得 4 x2 =8y2。而 a>b>0 ,∴ x>y>0 ,∴ x2y2 =2 ,∴ xy=2 ,另 a b=2 x,a- b=2 y,因此 a ba- b=2 x2 y=xy=2。二、求最值范围例 2 .已知实数 a、b满足 a2 ab b2 =1,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是。 (2 0 0 1年 TI杯全国初中数学竞赛 A卷试题 )解 :设 a=x y,b==x- y,代入已知式得(x y) 2 (x y) (x- y) (x- y… 相似文献
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姜继学 《数理化学习(初中版)》2006,(7)
最值问题,也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题.这类问题出现的试题,内容丰富,知识点多,涉及面广,解法灵活多样,而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法,供读者参考.一、配方法例1(2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛)2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为.解:原式=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2·27·-10.由此可知,当x=2,y=-1时,有最小值-10.二、设参数法例2(《中等数学》奥林匹克训练题)已知实数x、y满足x3+y3=2.则x+y的最大值为.解:设x+y=k,易知k>0.由x3+y3=2,得(x+y)(x2-xy+y2)=2.从而,xy=13(k2-k2).由… 相似文献
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屈瑞东 《数理天地(高中版)》2005,(12)
在一些数学问题中,恰当应用“倒数法”,可使问题化难为易. 1.求值域或最值例1 求函数y=x/x~2 2x 2~(1/2)的值域. 解(1)当x=0时,y=0; 相似文献
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在数学竞赛中,有些复杂的或具有某种特殊结构的方程用常规方法求解较繁难,但运用增元法可达到化繁为简,快速求解的目的.本文略举几例予以说明.1解整式方程例1解方程x=(x2+3x-2)2+3(x2+3x-2)-2.(1996年四川省初中数学竞赛试题)分析若去括号,会得到一元四次方程,对初中学生来说求解实非容易,故不可取.若注意到括号内整体特征,设y=x2+3x-2,从而将一元方程转化为二元二次方程组,易解.解设y=x2+3x-2,则有x=y2+3y-2,(1)y=x2+3x-2.(2)(1)-(2)得(x-y)(x+y+4)=0.当x=y时,由(2)解得x1,2=-1±3;当x+y+4=0时,将y=-(x+4)代入(2),解得x3,4=-2±2.2解分式方… 相似文献
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李海荣 《数理天地(初中版)》2003,(12)
一次不定方程是竞赛中常考常新的内容,它主要依据下面的定理如果x=x0 y=y0 是二元一次不定方程ax+by=c的一组整数解,那么x=x0-bt y=y0+at(t为任何整数)是ax+by=c的一切整数解.并称此解为原方程的通解,x=x0,y=y0为原方程的一组特解. 相似文献
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在各级各类数学竞赛中常常出现一类“恒成立”问题 .由于这类问题既有参数又有变量 ,同学们处理起来确实存在一些困难 .本文通过实例谈一谈这类问题的若干求解策略和方法 .1 分离参数法例 1 圆 x2 + ( y- 1 ) 2 =1上任意一点 P( x,y)都使不等式 x+ y+ c≥ 0成立 ,则 c的取值范围是 ( ) .( A) ( -∞ ,0 ] ( B) [2 ,+∞ )( C) [2 - 1 ,+∞ )( D) [1 - 2 ,+∞ )(第七届全国“希望杯”竞赛培训题 )析解 分离参数得 c≥ - x- y.设 x=cosθ,y=1 + sinθ,0≤θ<2 π则 - x- y=- cosθ- 1 - sinθ=- 2 sin(θ+ π4 ) - 1 ,可见 ( - x- y) m… 相似文献