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1.
不等式的证明是高中数学的一个难点,如果能仔细观察所给不等式的结构形式,依据题目的条件或结论的模式,联想所学过的知识,或已解决过的问题,制定解题方案,则可使命题迅速巧妙地得到解决.一、根据命题条件所提供的模式展开联想例1已知a,b∈R,|a|≤1,|b|≤1,求证ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析:由|a|≤1,|b|≤1容易联想到正弦函数或余弦函数的有界性.证明:因为|a|≤1,|b|≤1,所以可设a=cosα,b=cosβ,α,β∈[0,π],则ab (1-a2)(1-b2)=cosαcosβ sinαsinβ=cos(α-β).又cos(α-β)≤1,22例2已知实数a、b、c满足a b c=0,abc=1,求证:a、b、c中必有…  相似文献   

2.
新教材第六章中不等式的证明是一个难点,如果教学中能积极地引导学生观察所给不等式的结构形式,依据题目的条件或结论的模式,联想所学过的知识,或已解决过的问题,制定解题方案,则可使命题迅速巧妙地得以解决.1.根据命题的条件所提供的模式展开联想.【例1】已知a,b∈R,|a|≤1,|b|≤1,求证:ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析:由|a|≤1,|b|≤1容易联想到正弦函数或余弦函数的有界性.证:∵|a|≤1,|b|≤1∴可设a=cosα,b=cosβ,α,β∈[0,π]则ab (1-a2)(1-b2)=cosα·cosβ sinα·sinβ=cos(α-β)∴ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析2由命题的结论a·b 1-a2·1-…  相似文献   

3.
不少问题从表面上看似乎与不等式(组)无关,但若仔细考查其条件,发现可用不等式(组) 求解．请看五例． 1．利用绝对值的非负性例1 设x,y,a都是实数,且 |x|=1-a,|y|=(1-a)(a-1-a2), 则|x| y a5 1=＿. 解由 |x|≥0,|y|≥0,知道又-a2 a-1=-(a-(1/2))2-(3/4)<0, 所以要使(*)成立,当且仅当a=1,  相似文献   

4.
前两文均涉及到条件不等式 |a|<1,|b|<1■|a b/1 ab|<1.可简证如下。当ab≥0时,由(1-|a|)(1-|b|)>0,有1 |ab|>|a| |b|,即|1 ab|<|a b|故|a b/1 ab|<1。  相似文献   

5.
<正>本文结合实例介绍利用八种函数的单调性来证明不等式,供大家参考.一、善用一次函数的单调性证明不等式例1已知实数x,y,z满足|x|<1,|y|<1,|z|<1,求证:xyz+2>x+y+z.证明待证不等式x(yz-1)+2-yz>0.选定x为主元,设f(x)=(yz-1)x+2-y-z.因为|y|<1,|z|<1,所以yz-1<0,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;又f(1)=yz-1+2-y-z=(y-1)(z-1)>0,于  相似文献   

6.
例1 已知|a|<1,|b|<1,a、b∈R,求证|(a+b)/(1+ab)|<1。在高中代数第二册(甲种本)中给出了如下证法。证 |(a+b)/(1+2b)|<1 (?)|a+b|<|1+ab| (?)|a+b|~2<|1+ab|~2 (?)(a+b)~2<(1+ab)~2 (?)a~2+2ab+b~2<1+2ab+a~2b~2 (?)1-a~2-b~2+a~2b~2>0 (?)(1-a~2)(1-b~2)>0。因为|a|<1,|b|<1,(1-a~2)(1-b~2)>0成立,所以|(a+b)/(1-ab)|<1。在教学中,如果到此为止,那么收获就太小了。实际上,这是一个含义深刻的例题,我们可以从下面几个方面来加以引伸: 一、改变题目条件,可引伸为新的命题。 1.从例1的证法可知,当a、b∈R时, |(a+b)/(1+ab)|<1(?)(1-a~2)(1-b~2)>0 ①成立。由此可知,当|a|>1,|b|>1时,不等式  相似文献   

7.
公比不为“1”的等比数列{an}求和公式为:Sn=a1(11--qqn)(q≠1).应用层次一正用【例1】若1<|a|<|b|,求li mn→∞1 a a2 … an-11 b b2 … bn-1.解:因1<|a|<|b|,则||ba||<1,故有li mn→∞1 a a2 … an-11 b b2 … bn-1=li mn→∞1-an1-a1-bn1-b=li mn→∞(1-b)(1-an)(1-a)(1-bn)=li mn→∞anbn·(1-b)a1n-1(1-a)b1n-1=0应用层次二逆用【例2】li mx→1x x2 … xn-nx-1=.解:li mx→1x x2 … xn-nx-1=li mx→1(x-1) (x2-1) … (xn-1)x-1=li mx→1[1 (1 x) (1 x x2) … (1 x x2 … xn-1)]=li mx→1{n (n-1)x (n-2)x2 … [n-(n-1)]xn-1}=n (n-1) …  相似文献   

8.
短文集萃     
绝对值不等式的应用设a、b∈R,则有不等式 (1) |a b|≤|a| |b|,仅当ab≥0时取“=”号。 (2) |a-b|≥|a|-|b|,仅当(a-b)·b≥0时取“=”号。这两个不等式的证明都很简单,从略。它们在解题中有广泛的应用。 [例1] 解不等式:|x lgx|<|x| |lgx|。解:由(1)知仅当xlgx<0对原不等式成立, ∴0相似文献   

9.
浙师大《中学教研》(数学)1991年6期6页上有三篇文章都谈到了如下的不等式:|a|0得1 a~2b~2>a~2 b~2,在后一式两边同加上2ab 得(1 ab)~2>(a b)~2,即|(a b)/(1 ab)|<1。  相似文献   

10.
<正>本文先给出基本不等式的一个等价变形,再举例说明它的广泛应用.结论已知a、b、λ∈R,且b(a+b)> 0,则有ab≥-λ2+(λ+1)2+(λ+1)2a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a2a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a2+λ2+λ2b2b2≥2λab,得a2≥2λab,得a2≥2λab-λ2≥2λab-λ2b2b2.两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ2.两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ2b].再两边同时  相似文献   

11.
高中代数甲种本第二册有一道不等式例题:已知:|a|<1,|b|<1, 求证:|a b/1 ab|<1 不少刊物给出了多种美妙解法.本文绘出一种新颖的几何证法。  相似文献   

12.
本刊1989年第4期《用辅助问题法解题》一文中的例2及其分析是: 例2 已知|ab|+1=|a|+|6|,求log_(a+1)(b+3)的值。分析 :把已知条件|ab|+1=|a|+|b|转化为(|a|-1)(|b|-1)=0。原题转化为:已知|a|=1,|b|=1,求log_(a+1)(b+3)的值。只要心算就知本题结  相似文献   

13.
91.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BE=CF,且M、N分别是BC、EF的中点.求证:AD∥MN.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)92.设a、b为正整数,求证:(a b)(a2 b2)(a3 b3)·…·(a323 b323)≥(a162 b162)323.(湖北黄梅县一中435500王卫华提供)93.若a、b、c∈R ,且a b c=1,则有bac-!"1cba-!"1·cab-!"1≤8.(陕西省永寿中学713400安振平提供)94.已知正实数a、b、c满足a b c=abc.求证:aa bb bb cc cac a>25.(湖南武冈市第十中学422400邓集春提供)95.设｛an｝是各项都大于1的正项等差数列,n为大于1的自然数,求证:1-a11!"1-a12!"·…·1-a1…  相似文献   

14.
一、选择题1 .已知分式 x2 -4|x| 3x2 -4x 3 的值为零 ,则x- 3等于 (　　 ) .A .± 1　　　　B .1或 12 7C .± 12 7　　D .-1或 -12 72 .若有理数a、b满足 a2b2 <3 ,那么(a 3b) 2(a b) 2 与 3的大小关系是 (　　 ) .A .(a 3b) 2(a b) 2 <3　　B .(a 3b) 2(a b) 2 > .(a 3b) 2(a b) 2 =3D .无法确定3 .已知a、b满足ab =1 ,若M =11 a 11 b,N =a1 a b1 b,则M、N的大小关系是 (　　 ) .A .M >N　B .M =N　C .M 相似文献   

15.
新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求…  相似文献   

16.
我们知道,无穷递缩等比数列{a_1q~(n-1)}的各项和公式为∑∞k=0a1qk=1a-1q(|q|<1).对于一类各项是分式形式的竞赛题,若各项都能变换成1-a1q(|q|<1)的形式,就可以逆用该公式,再结合幂平均值不等式1n∑ni=1ai≤m1n∑ni=1aim或平均值不等式巧妙地解题.下面举例说明.例1设任意实数x、y满足|x|<1,|y|<1.求证:11-x2+1-1y2≥1-2xy.(第19届莫斯科数学奥林匹克)分析:由x2<1,y2<1,知1-1x2和1-1y2能展成无穷递缩等比数列各项和的形式.证明:因|x|<1,|y|<1,所以,x2<1,y2<1.于是,有11-x2=1+x2+x4+…,11-y2=1+y2+y4+….从而,1-1x2+1-1y2=(1+x2+x4+…)+(1+y2…  相似文献   

17.
<正>焦半径公式:已知F1,F2是椭圆x2/a2/a2+y2+y2/b2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a2=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a2/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a2/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a2/c)=c/a,即  相似文献   

18.
平面向量     
☆基础篇诊断检测一、选择题1.下列说法正确的是()(A)平行向量就是与向量所在直线平行的向量.(B)长度相等的向量叫相等向量.(C)零向量的长为0.(D)共线向量是在一条直线上的向量.2.已知向量a与b反向,下列等式成立的是()(A)|a|-|b|=|a-b|.(B)|a+b|=|a-b|.(C)|a|+|b|=|a-b|.(D)|a|+|b|=|a+b|.3.给出下列命题:(1)如果λa=λb(λ≠0),那么a=b.(2)若a0为单位向量,a与a0平行,则a=|a|a0.(3)设a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R),则当e1与e2共线时,a与e1也共线.其中真命题的个数是()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.4.将函数y=x2+4x+5的图象按向量a经过一次平移后,…  相似文献   

19.
函数思想在不等式问题中有广泛用途,尤其是通过合理构建函数,将不等式问题转化为函数问题,从而拓宽解题思路,降低问题难度·现从以下五个方面探讨一下构建函数在不等式问题中的应用·一、构建一次函数模型利用一次函数自身的单调性解决问题·例1已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:ab  相似文献   

20.
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a>b,且a+b<0,那么下列关系式成立的是()(A)|a|>|b|(B)|a|<|b|(C)1a>1b(D)1a<1b2.不等式xx--13≥0的解集是()(A){x|x≤1)(B){x|x>3}(C){x|x≤1,或x>3}(D){x|1≤x<3}3.已知a2+b2=1,x2+y2=1,则ax+by的最小值、最大值分别为()(A)-1、1(B)-2、1(C)1、2(D)-2、24.若|x-m|<ε,|y-m|<ε,则下列不等式中一定成立的是()(A)|x-y|<ε(B)|x-y|>2ε(C)|x-y|<2ε(D)|x-y|>ε5.已知a>1,若A=a+1-a,B=a-a-1,则A、B间的关系()(A)A>B(B)A相似文献   

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