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过圆锥曲线上任意一点作两条互相垂直的弦,它们所成的角,这里不妨就叫做圆锥曲线的直周角,过另外两交点的弦,叫做圆锥曲线直周角所对的弦． 相似文献
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众所周知,圆有如下性质:过圆222x+y=r(r>0)外一点作圆的切线,PB(PPAA,B为切点),则OP平分弦AB;当∠APB为90时,点P在以O为圆心,2r为半径的圆上.通过类比,笔者发现圆锥曲线也有类似的性质.性质1过圆锥曲线外一点作它的切线,PPA 相似文献
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作辅助圆往往有助于解决问题.例1如图1,PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于D,且PB=4,PD=3,则AD·DC=__.分析由题目中的乘积式,自然想到相交弦定理.由∠APB=2∠ACB,则想到一条弧所对的周心角等于它所对的圆周角的2倍,因此想到作辅助圆. 相似文献
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若点P(x_0,y_0)为定点,则圆锥曲线的过P点且被P点平分的弦简称以定点P为中点的弦.本文给出几种圆锥曲线的以定点为中点的弦所在的直线方程,并说明方程的具体应用. 定理1 若点P(x_0,y_0)在圆C:x~2+y~2=r~2(r>0)内,且P异于圆的圆心,则圆C的以P为中点 相似文献
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若圆锥曲线Γ的一个顶点为Ａ ,与Ａ不同的两动点Ｍ、Ｎ在曲线上 ,且∠ＭＡＮ是直角 ,我们把线段ＭＮ叫做顶点Ａ上的直角∠ＭＡＮ所对的弦 ,即“顶点直角弦” ,笔者经探究发现二次曲线的顶点直角弦有一个耐人寻味的性质 ,这一性质揭示了二次曲线的一个共同的几何特征。命题 1 若Ｍ、Ｎ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )上的图 1两动点 ,且满足ＯＭ⊥ＯＮ ,(Ｏ为坐标原点 ) ,求证 :直线ＭＮ过定点Ｈ (2 ｐ ,0 )。(证略 )该命题的结论 ,启发笔者不断思考 :若把命题 1中的抛物线 ,改为椭圆、双曲线等圆锥曲线 ,是否有类似的性质呢 ?即圆锥曲线的一… 相似文献
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圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质 总被引：1，自引：0，他引：1
最近文[2]对文[1]中关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件作了推广,得出椭圆和双曲线的弦对顶点张直角的几个充要条件.本文我们要探讨的问题是将圆锥曲线的顶点改为圆锥曲线上其它任意的一个定点时,若所张角依然为直角,那么弦会过定点吗?反之弦过此定点时,弦所张角会为直角吗?回答是肯定的,即有下面的: 相似文献
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关于直线和圆锥曲线相交所得弦的中点的有关问题 ,在高考试题中频繁出现 ,诸如平行弦的中点问题 ,过定点的弦的中点问题 ,弦中点的性质问题等等 .由此还可以派生出一系列相关问题 ,如轨迹、曲线方程、弦长、定点坐标、最值、取值范围等等 .关于这些问题的求解 ,题型不同 ,方法也不尽相同 .本文将探讨处理圆锥曲线弦的中点问题的三种行之有效的方法 ,并分类解析这些方法在各类问题中的应用 .一、韦达定理法设直线 l与某圆锥曲线 C相交所得之弦为 P1P2 ,联立直线 l的方程与圆锥曲线 C的方程 ,消去 x(或 y) ,则得到一个一元二次方程 ,根据韦… 相似文献
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1 性质 过圆锥曲线上一点作90°的张角所对的动弦必过定点。 对于圆显然成立,定点即圆心。对于另外三种圆锥曲线,分述如下: 定理1 已知P(x_0,y_0)为椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)上一点,则过P作90°的张角所对的动弦过 相似文献
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肖秉林 《中学数学教学参考》2006,(11)
定义若过圆锥曲线焦点 F 的直线交圆锥曲线于 A、B 两点,则线段 AB 称为圆锥曲线焦点弦,F 分的比(AF)/(FB)称为圆锥曲线焦点弦的定点分比.解析几何中经常遇到,圆锥曲线的焦点分焦点弦的定点分比的问题,这里分别给出抛物线、椭圆、双曲线的一般结论.相关问题如有意识地运用焦点弦的定点分比公式解决,将来得简捷;以焦点弦的定点分比为背景还可构造新题型.下面介绍圆锥曲线焦点弦的定点分比公式并例说其应用. 相似文献
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文[1]给出圆锥曲线的一个奇妙性质:过圆锥曲线Г上的一个定点P任作两条互相垂直的弦PM,PN,则直线MN必过定点(有穷点或无穷远点).无独有偶,文[2]也得到圆锥曲线的一个类似的定值性质:过圆锥曲线Г(坐标轴与曲线的对称轴平行)上的一个定点P任作两条角互补的弦PM、PN,则直线MN必有定向. 相似文献
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文[1]、[2]相继给出了圆锥曲线的焦点弦与定点弦的耐人寻味的性质.我们经过探究,得到圆锥曲线的过焦点轴上一定点两相交弦颇有趣味的性质,现抄录于下与君共赏. 相似文献
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<正>在圆锥曲线中,圆与椭圆的图象最为相似,两者的性质也最为接近.例如圆中过定点弦的中点轨迹是圆,椭圆中过定点弦的中点轨迹则为椭圆.一直以来圆锥曲线题型中研究各类线段的中点轨迹最为常见,然而涉及切点弦的中点轨迹却较少,即便有也是限制在抛物线上,例如2013年辽宁高考题(理科)第20题.笔者 相似文献
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姜坤崇 《河北理科教学研究》2011,(2):49-50
过圆锥曲线对称轴上一定点作直线与圆锥曲线交于A,B两点,则称线段AB为此圆锥曲线的“轴定点弦”．关于圆锥曲线的“轴定点弦”的垂直平分线（简称“中垂线”）,笔者发现它有如下一个性质． 相似文献
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众多教辅书上有这样一道题:已知PO⊥平面α,0为垂足,A、B是α内与0不共线的两点,判断∠AOB与∠APB的大小. 所给答是∠AOB>∠APB,这个答案是错误的. 解答本题有相当大的难度,命成选择题或填空题都不太合适. 现对本题讨论如下: 由∠OAB与∠OBA中至少有一个是锐角,不妨设∠OAB是锐角,则∠OBA可以是直角、锐角或钝角. 相似文献
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文[1]、文[2]对结论"圆锥曲线上的定点M与任意两点P,Q,若MP⊥MQ,即两弦斜率的积为-1,则弦PQ过定点"作了推广与证明,而在文[3]、文[4]中有:圆锥曲线上任意定点M与任意两点P,Q,若MP,MQ的斜率互为相反数,则PQ的方向确定.由于该类问题结论的完美和解法的灵活多样,能很好地考查学生运用代数运算解决几何问题的能力,所以在高考与其他各类考试中屡见不鲜.本文将以上结论进行整合并推广到最为一般的情形,再选择近几年一些与之相关的试 相似文献
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新课程标准对课堂教学提出了很高的要求,以典型题目为素材,组织指导学生开展探究式教学,可大大激发学生的探究热情,笔者在一堂解析几何复习课中,用两道典型题目进行探究式教学,现整理如下:问题1设点P(4,2)是圆C:x2+y2-24x-28y-36=0内的一个定点,圆上的动点A、B满足∠APB=90°,求弦AB的中点M的轨迹方程.教师不急于把解法抛给学生,而引导学生分析条件与结论:如何利用∠APB=90°、点M为AB的中点?通过学生独立思考,很快有学生回答:设M(x,y),连结CM.则CM⊥AB.｜CM｜2+｜AM｜2=｜CA｜2.该式中:｜CM｜2=(x-12)2+(y-14)2、｜CA｜2=376… 相似文献
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题目 如图 1,已知⊙O1 和⊙O2 外切于点P ,AB是⊙O1 和⊙O2 公切线 ,A、B是切点 ,求证 :PA⊥PB(人教版《几何》第三册p .12 9例 4 ) .图中△PAB一般称为切点三角形 .其演变极为丰富 .本文拟对其作一探究 .在探究中注意到合情推理的运用、对称观点的把握和对题目本质的揭示 .探究一 :公切线的演变变 1 公切线演变为一圆切线 ,一圆割线 .如图 2 :直线AB交⊙O1 于点A、C ,切⊙O2 于点B .则结论该如演变 ?简析 此时原题中的点A分化为A、C ,原题中的∠APB分化为∠APB和∠CPB ,易证∠APB+∠CPB =180° .变 2 公切线演变为两… 相似文献
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吴嘉程 《苏州教育学院学报》2000,(4)
设P为△ABC内一点,且上∠PAC=∠PCB=∠PBA=α,则称P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,(如图1).作为平面几何的亮点名角,二者相辅相存,交相辉映.多层次剖析、全方位透视勃罗卡角,既可以欣赏其优美,领略其精采,又可以激发学习兴趣,磨炼钻研意志.一、勃罗卡角的性质及推论二、性质 如图1,设P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,则ctgα=ctgA ctgB ctgC勃罗卡角的这一性质定理,证法很多,这里只用一种方法证之.证明:∵∠BPC=∠A ∠C=180°-∠B同理上:∠APB=180°-∠A,∠CPA=∠180°-∠C∴ 在△BPC、△APB中用正弦定理可得: 相似文献
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最近文[2]对文[1]中关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件作了推广,得出椭圆和双曲线的弦对顶点张直角的几个充要条件.本文我们要探讨的问题是将圆锥曲线的顶点改为圆锥曲线上其它任意的一个定点时,若所张角依然为直角,那么弦会过定点吗?反之弦过此定点时,弦所张角会为直角吗?回答是肯定的,即有下面的:定理1设直线l交椭圆xa22+by22=1(a>b>0)于A,B两点,点M(x0,y0)是椭圆上不同于A,B两点的一个定点,则MA⊥MB的充要条件是直线l过定点Nx0(a2-b2)a2+b2,y0(ab22+-ba22).证明先证必要性:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ky+m,代入方程x2a2… 相似文献