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1.
张留杰龚浩生 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):22-24
正本文对一道既含有线段中点又含有角平分线的典型几何题进行分裂演变,得出了一些有趣的、新异的几何题.原题如图1,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,∠ADB的平分线交AB于点E,△ADE的外接圆交BD于点N.求证:BN=2AE.一、分裂中点首先考虑把中点D分裂为线段AC的内等截点D_1、D_2.如图2,对应原题中的角平分线DE有D_1E_1,D_2E_2,对应于原题中的BN与AE的BN_1,BN_2及AE_1,AE_2之间有什么结论呢?我们把BN=2AE变为AE/BN=1/2,经探究,得到相应结论:AE_2/BN_2+AE_1/BN_1=1.从而可得如下:题1如图2,已知在△ABC中,AB=AC,点D_1、D_2在边AC上,且AD_1=CD_2,∠AD_1B、∠AD_2B 相似文献
2.
题目如图1,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且AE=AF,△AEF的外接圆交线段AD于点P.若点P满足PD~2=PE·PF,证明: 相似文献
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与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜。由于角平分线具备“角相等”和“公共边”这两个自身条件,因此,解决这类问题,常可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法。例1如图1,在△ABC中,∠BAC的外角平分线上取一点D,连结BD、CD。求证:BD+CD>AB+AC·证明:在BA延长线上截取AE=AC,连结DE.图1∵∠1=∠2,AD公用∴△ADC≌△ADE∵ED=CD在△EBD中,ED+BD>BE,∴BD+CD>AB+AC·例2如图2,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,AC=AB+BD·求证:∠ABC=2∠C·证明:延长AB到E,使AE=AC,连结DE·图2∵AE=AC,∠1=∠2,AD=A… 相似文献
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2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束,其中第13题是这样的:如图1,△ABC中,AB=1,AC=2,D是BC的中点,AE平分∠BAC交BC于E,且DF∥AE,求CF的长.在参考解答中.提供了以下的解答方法:解如图2,过E分别作EH⊥AB,交AB于H,EG⊥AC,交AC于点G,因AE平分∠BAC,所以有EH=EG,从而有CBEE=SS△△AACBEE=AACB=21,又由DF∥AE,得CFCA=CCED=21·CBEC·21·BEC+ECE=12BECE+1=2112+1=43.所以CF=43×CA=43×2=23.图1图2在阅卷的过程中,我发现学生还有不同的解答方法:方法1如图3,过点D作DM∥AB交AC… 相似文献
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刘军 《中学课程辅导(初二版)》2005,(8):24-24
在1997年安徽省初中数学竞赛中,有这样一道题:例1如图1,在△ABC中,∠BAC=90°AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF.分析:过C作CM⊥AC交AF延长线于 相似文献
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学习了《相似形》一章后，我们可以借助比例来证明很多类型的几何题．一、证明两线段相等例1如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于E，BM交CN于F．求证：CE＝CF．证明 由已知易得二、证明两角相等例2 已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC求证：∠B＝∠C．证明 延长BA、CD交于点E（如图2）．三、证明线段不等例3 在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，DE交AC于点F．求证：AE＜AF．证明 过B作BG∥EF交AC延长线于G（如图3），则AG＞AC＝AB．四、证明线段和… 相似文献
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“等腰三角形底边上的高是底边上的中线,也是顶角的平分线。”这就是通常说的“三线合一”定理。利用上述定理来证明几何题,能化繁为简,变难为易。以下分五个方面举例说明它的应用。一、证明线段相等例1 如图,AE是∠BAC的平分线,CD⊥AE,BE⊥AE,M是BC的中点,求证:ME=MD。证明:延长CD交AB于T,延长AC、BE交于K。∵ AE平分∠BAC,AE⊥BE,AE⊥CD, ∴ D、E分别是TC、BK的中点。 相似文献
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学习了线段垂直平分线的性质定理后,对于某些几何题,我们可以从线段垂直争分线入手,这样进行,常能找到解题的捷径．例1如图1,△ABC中,AB＝AC,／C＝75o,MN是AB的垂直平分线,分别交AB、AC于M、N．求／CBN．解由M＝AC,／C＝75“,得／ABC＝75o,土A＝3ry．MN是AB的垂直平分线,NA＝NB．11二IA＝3ry．tCBN＝IANC／l＝45“‘例2如图2,△ANC中,DE是AC的垂直平分线,AE＝4,△ABD的周长是15．求△ABC的周长．解注意至nE是AC的中点,那么AC＝ZAE＝8．DE是AC的垂直平分钱,DA＝DC．AB＋BD＋DA＝15,AB… 相似文献
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吴健 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):21-21
与角平分线有关的几何问题在各类考试(竞赛和中考)中屡见不鲜,解决这类问题时,若能通过巧添辅助线构造全等三角形常可使问题化难为易.例1如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠ABC的度数是(江苏省初中数学竞赛题)()A.45°B.60°C.75°D.90°解:延长AB到E,使AE=AC,连接DE,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS).∴∠E=∠C=30°.又AE=AB BE,AC=AB BD,∴BE=BD.从而∠3=∠E.∴∠ABC=2∠E=60°.故选:B.反思:若在AC上截取AF=AB,同学们考虑怎样证明?例2如图,已知在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的… 相似文献
11.
杨一凡 《山西教育(综合版)》2004,(14):24-24
一、直接寻求相关相似三角形例1从直角三角形ABC的斜边AB的中点D引AB的垂线,分别与AC和BC的延长线交于E、F点,求证:CD2=DE·DF.分析:要证CD2=DE·DF,即证CDDE=DFCD,对照图1,易看出只要证C、D、E三点和C、D、F三点分别对应的三角形相似即可,即证△CDE∽△CDF。为此,还需证另一对角相等,易知∠A=∠F,而∠A=∠ACD,所以,∠F=∠ECD,得证。二、先寻找相等线段,替换求证式中的一条或两条线段,再寻求相关相似三角形例2CD是△ABC的∠C的平分线,它的垂直平分线和AB的延长线相交于E点,求证:DE是AE和BE的比例中项。分析:D… 相似文献
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!BACED图6一、填空题(1￣3每题2分,4￣11每题3分,共计30分)1.如图1,线段AB和线段A′B′关于直线MN对称,则AA′⊥"""",BB′⊥"""",OA="""",AB=""!!.2.如图2,是轴对称图形,则相等的线段是!!!!,相等的角是!!!!.3.在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,若∠CAD=10°,则∠B的度数是!!!!.4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点F,垂足为E,△BFC的周长为20cm,AB=12cm,则BC的长为!!!!.5.如图3,已知∠BAC=130°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,那么∠PAQ的度数是!!!!.6.点P是∠AOB内一点,点P关于OA、OB的对称点分… 相似文献
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三角形内外角平分线有如下的重性质: 若△ABC的角A的内(外)角平分线交其外接圆于D(D)′,则有 (1) AB AC=2ADcos(A/2); (2) |AB-AC|=2AD′sin(A/2)。证明:不妨设AB≥AC。 (1) 从D向直线AB、AC作垂线垂足分别为E、F,连DE、DC易证△AED≌△ADF △BED≌△DCF, ∴ AE=AF,BE=CF. ∴ AB AC=(AE EB) (AF-CF) 相似文献
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1992年初二暑假作业第27页有这样一题:已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=2CE,BE和CD相交于G,求证:BE=4GE。这道题和重心定理极其相似,重心定理是:已知D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,求证:E,CD相交于一点且BE=3GE。因此,我想AE=3CE,结果如何呢?更一般地,AE=nCF呢?于是得出下面的定理。定理1 已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=nCE,BE和CD相交于G,则BE=(n+2)GE 证明:作AH∥EB交CD的延长线于N, ∴△CGE∽△CHA。 相似文献
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学习了三角形全等的判定以后，可以利用全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等）解决许多类型的几何问题，如下面几例．一、证明线段相等例1在△凸ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分钱交AC于E，交BC边上的高于D，过D作直线平行于BC交AC于F．求证：AE＝CF．证明如图1，作DM⊥AB交AB于M，作FN⊥EC交BC于N．∵BE是∠B的平分线．二、证明角相等例2如图2，已知AC＝AB，DE＝DB，∠CAD＝∠EDA＝60°．求证：∠AFB＝∠BGC证明∵AC＝AB，DE＝DB，又∠CAD＝∠EDA＝60°，．．bABC和凸BDE都是等边三角… 相似文献
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1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC. 相似文献
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题1如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的平分线，①点E在△ABC内部，且EC⊥AD交AB于F，②ED∥AC．③求证：射线AE平分边BC．④ 相似文献
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线段的垂直平分线(中垂线)的性质定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用,现举例说明,供同学们参考.一、用于求线段长例1如图1,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E.若AB=14,△BCD的周长为22,求BC的长.分析:由DE是AC的垂直平分线,得DA=DC.则BD+DC=BD+DA=AB=14.又BC+BD+DC=22,故BC=22-(BD+DC)=22-14=8.(具体证明过程请读者自行完成,下同)二、用于求角的度数例2如图2,AB⊥CD于B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于E、F,EB=EF,求∠A的度数.分析:由CF是AD的垂直平分线想到连结DE,则AE=DE,故∠A=∠1… 相似文献