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1.
题一 已知：在锐角△ ABC的外面作等边 △ ABD,△ BCE,△ ACF, O1, O2, O3分别为这三个等边三角形的中心 .求证：△ O1O2O3为等边三角形 . 许多学生看到本题后,都觉得无从下手,其实这道题只是下面这道题的延伸 . 题二 在锐角△ ABC的外面作等边△ ABD, △ BCE,△ ACF.求证： DC=BF=AE. 证明：先证题二 .如图 (1), ∵△ ABD和△ ACF都是等边三角形, ∴ AD=AB,AC=AF,∠ DAB=∠ CAF=60° . 又∵∠ DAC=∠ BAF=60°＋∠ BAC, ∴△ DAC≌△ BAF, ∴ DC=BF. 同理可证△ DBC≌△ ABE, ∴ DC… 相似文献
2.
三角形中位线定理说明了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系.利用这两种关系,可证明若于与线段中点有关的问题.例1 如图1,△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD于D,E为Ac的中点.求证:DE//BC.分析由E为AC的中点,若延长AD交BC于F,那么要证DE//BC,则只要证D为AF的中点.这只要证△BDA≌△BDF.∵AD⊥BD,∴∠BDA=∠BDF=90°.∵∠1=∠2,BD=BD,∴∠BDA≌△BDF. 相似文献
3.
1 古籍轻断处,难度晚尤彰
学过初等平面几何的人都熟知外角定理,即三角形的任一外角大于每一个不与之相邻的内角.
它的传统证明可以表述为
题设 点D在△ABC的边BC的延长线上.
题断 ∠ACD＞∠CAB,∠ACD＞∠ABC.
证 取边AC的中点E.连结BE并且延长它到F,使EF=BE;作射线CF.
因为EC =EA,∠CEF=∠AEB(对顶角相等),EF=EB,所以△CEF≌△AEB(边角边).因此∠ECF=∠EAB,亦即∠ACF=∠CAB.而由于射线CF在∠ACD内,所以∠ACD＞∠ACF,可见∠ACD＞ ∠CAB. 相似文献
4.
应用三角形全等的性质可以解决许多几何问题,现通过中考题来介绍全等三角形的应用。一、证两线段相等例1 已知:如图1,AB=DC,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。(1995年云南省中考试题) 分析欲证AF=DE,需证ΔAFB≌ΔDEC(也可证ΔAFE≌ΔDEF)。∵AB=DC,BF=CE,还缺∠B=∠C,为此需证ΔABE≌ΔDCF,∵AB=DC,AE=DF,又∵BF=CE,∴BE=CF,于是证明的思路打通,问题可证。 相似文献
5.
李庆社 《中学课程辅导(初三版)》2006,(11):15-15
在任意△ABC的外侧．分别作等边△ABD、△BCE、△ACF，则AE、BF、CD三线共点．并且AE=BF=CD，如图1．这个命题称为拿破仑定理． 相似文献
6.
《中学生理科月刊》1995,(4)
练习（七）——（1）一、1．1＜x＜7；2．75°；3．85°；4．30”S57·H、1·（o；2（山；3．（A）；4．（C）；5．（B）；6．（D），三、提示：∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D．四、提示：练习（七）——（2）1．（B）；2．（1）略；（2）证△ABD≌△CAE得AH=CE．从而AB=2CE，3．证△ABEgy≌△ACF；4．证△ABD≌△ACE；5．提示：在BC边上分别截取BD=AB，BF=BE，连结EH、EF，，则△BAE≌△BDE．AE=DE．再用角的关系证明DE=FE=FC；6．提示：延长中线AD至E，使DE=AD，连结CE，则凸ABDap凸ECD．”．CE—AB从… 相似文献
7.
题:在△ABC中,O是AB边的中点,E、F分别在AC、BC上。求证:△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和。有一本初中数学复习资料对这题作如下的分析和证明。分析要证△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和,只要证 S_(△ADE)+S_(△BDF)>S_(△DEF)…证明延长ED到G,使DG=ED。连结BG和FG,又AD=BD,(已知) ∠ADE=∠BDG,(对顶角相等) ∴△ADE≌ 相似文献
8.
靳秀清 《山西教育(综合版)》2001,(6)
在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。 证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M… 相似文献
9.
樊会群 《中学课程辅导(初二版)》2004,(2):15-15
如图, ABCD的邻边为a,b,对角线为m,n,求证:m2 n2=2(a2 b2). 证明:如图,分别竹:DE⊥AB,CF⊥AB,垂足为E,F,易证Rt △DAE≌Rt△CBF,∴AE=BF,由勾股定理得DE2=b2-AE2=CF2 相似文献
10.
本文应用构造全等三角形的方式对一类关于角度不等和线段不等的几何题进行证明,供参考.
一、构造全等三角形证两线不等
例1已知AD是△ABC的中线,∠BAD〉∠DAC,求证：AC〉AB.
证明：如图1,延长AD到E,使DE=AD,连结BE.则在△ADC和△EDB中,因为BD=CD,∠ADC=∠EDB,AD=DE,所以△ADC≌△EDB（SAS）,所以∠DAC=∠DEB, 相似文献
11.
全等三角形及其应用因为涉及两个三角形的位置关系和数量关系,因此,解题时常会出错.就常见的错误,分类辨析如下."一、局部代替整体例1如图1,已知点A,E,F,D在同一直线上,且AE=DF,CE=BF,CE∥BF.试说明AB=CD.图1错解在△ABF和△DCE中,BF=CE,AE=DF.又CE∥BF,所以∠1=∠2.所以△ABF≌△DCE.所以AB=AD.辨析AE是AF的一部分,DF是DE的一部分,不能用局部相等来代替整体相等.正解在△ABF和△DCE中,BF=CE,因为AE=DF,EF=FE,所以AF=DE.又CE∥BF,所以∠1=∠2.所以△ABF≌△DCE.所以AB=CD. ?二、虚假论据例2如图2,AC… 相似文献
12.
一、两对相似三角形共用一个比例式
例1 如图1，在锐角三角形ABC中，已知BE、CF分别是△ABC的高。求证：△AEF∽△ABC。 相似文献
13.
周淑玲 《山西教育(综合版)》2003,(2):17-17
在人教社出版的九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册课本的 P115页复习题三中 ,安排有这样一道习题。求证 :如果延长△ ABC的中线 AD至 A′,使 DA′=AD,那么A′C=AB。本题的证明思路较为简单 ,要证 A′C=AB,可证△ ABD≌△ A′CD。而在△ ABD和△ A′CD中 ,AD=A′D(作图 ) ,∠ 1=∠ 2 (对顶角相等 ) ,BD=CD(已知 ) ,故△ ABD≌△ A′CD A′C=AB。在课本的教学用书中 ,此处有一注解说明 :“这是常用的辅助线的作法。在三角形中 ,涉及中线的题目 ,常常用这种辅助线。”例 1.△ ABC中 ,AB=5 ,AC= 3,则 BC边上的… 相似文献
14.
杨一凡 《山西教育(综合版)》2004,(14):24-24
一、直接寻求相关相似三角形例1从直角三角形ABC的斜边AB的中点D引AB的垂线,分别与AC和BC的延长线交于E、F点,求证:CD2=DE·DF.分析:要证CD2=DE·DF,即证CDDE=DFCD,对照图1,易看出只要证C、D、E三点和C、D、F三点分别对应的三角形相似即可,即证△CDE∽△CDF。为此,还需证另一对角相等,易知∠A=∠F,而∠A=∠ACD,所以,∠F=∠ECD,得证。二、先寻找相等线段,替换求证式中的一条或两条线段,再寻求相关相似三角形例2CD是△ABC的∠C的平分线,它的垂直平分线和AB的延长线相交于E点,求证:DE是AE和BE的比例中项。分析:D… 相似文献
15.
正如图1,已知在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.求证:CF=PD+PE.对于该题,一般同学会想到截长法与补短法.如图2,过点P作PM⊥CF于M,则四边形PMFD是矩形,则PD=FM.易证△PCM≌△CPE,则CM=PE.于是CF=FM+CM=PD+PE.这种方法叫做截长法.如图3,过点C作CN⊥DP交DP的延长线于点N,则四边形NCFD是矩形,则CF=DN.易证△CPN≌△CPE,则PN=PE.于是CF=DN=PD+PN=PD+PE.这种方法叫做补 相似文献
16.
如图1,F为△ABC(每个角都小于120°)的费马点,记AF=u,BF=v,CF=w;AD=x,BE=y,CG=z;三角形半周长、面积、外接圆与内切圆半径分别为s,△,R,r,并记f=(1)/(x) (1)/(y) (1)/(z). 相似文献
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已知 :如图 1点C是线段AB上一点 ,△ACM、△CBN是等边三角形 ,求证 :AN =BM .(人教版现行初中几何第二册P113第 13题 )。1 设AN与BM的交点是P、AN与MC的交点是G、BM与CN的交点是F ,连结GF、除了可以证明AN =BM外 ,我们还能发现 :(1)由于△ACN≌MCB ,得∠ANC =∠MBC ,易证明△CGN≌△CFB ,可得CG =CF .(2 )在△PFN和△CFB中 ,∠PFN =∠CFB、∠PNF =∠CBF ,利用三角形内角和定理易得∠NPF =∠BCF ,即AN与BM的夹角∠BPN =∠BCN .(3)由于CG =CF、∠GCF =6 0° ,所以△CGF也是等边三角形。(4 )由∠CFG… 相似文献
18.
黄细把 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):18-19
利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证… 相似文献
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20.
分析：要说明BE=BF，若连接CB，利用条件“BE⊥MN，CF⊥AB”，只要证∠BCE=∠BCF即可．根据“AB是⊙O的直径”，则连接CA得Rt△ABC（如图2），易证∠BCE-∠BCF=∠CAF，由此利用角平分线性质说明BE=BF． 相似文献