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1.
[题1] 一个锐角三角形面积为1,证明在三角形内存在一点,这点到每个顶点的距离至少为(16/27)~(1/4)。 [题2] 任给7个实数,证明其中必有两个数x、y,满足0≤(x-y)/(1+xy)≤1/(3~(1/2))。以上两题均为84年加拿大数学奥林匹克竞赛试 相似文献
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<正> 本文中,凸n边形内Fermat(费马)点是指形内到此n边形各顶点的距离之和为最小的点;带数的Fermat点是指形内到此n边形各顶点的距离分别与一组正数a_1,a_2,…,a_n乘积的和为最小的点。之所以这样相称的原因是法国数学家Fermat最先研究这个问题,不过他只研究了三角形的情形。即:在各顶点均小于120°的三角形内存在唯一的到各顶点距离之和为最小的点,这一点就是形内对此三角形各边的张角分别为120°的点。对一般凸n边形,有相应的命题。 相似文献
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《湖南教育》2006,(24)
43.设△ABC的边BC、CA、AB上分别有点K、L、M,求证:在△LAM、△MBK和△KCL中,至少有一个面积不大于△ABC面积的四分之一.(安徽岳西县城关中学246600李庆社提供)44.在n边形内部给出m个点,现在用M来表示该n边形的n个顶点和上述m个点构成的点集,并按下述规则把上述n边形纸片剪成一些三角形:每个三角形的三个顶点都是M中的元素;除顶点之外,每个三角形不再含M中的元素.试问:共可剪出多少个三角形?(浙江省慈溪教师进修学校315300王立军提供)45.已知存在互不相等的自然数a1,a2,…,a6,且0相似文献
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定义 平面上 ,以凸n边形Q的顶点作为顶点的凸r边形 (3 ≤r≤n)称为Q的内接r边形 .命题 1 正n边形有16n(n - 1 ) (n - 2 )个内接三角形 ,其中互不全等的内接三角形有 n2 +31 2 个 ,亦即〈n21 2 〉个 .([x]表示不大于x的最大整数 ,x∈R ;〈x〉表示最接近x的整数 ,x∈R ,x≠n +12 ,n∈Z)证明 :正n边形Q的内接三角形一一对应于Q的顶点集S的三元子集 ,由相等原理[1] 知Q的内接三角形个数M =C3n=16n(n - 1 ) (n - 2 ) .如图 1 ,设△ABC为Q的内接三角形 ,A、图 1B、C按逆时针方向排列 ,设其外接圆周长为n ,依逆时针方向的弧长AB =n1,BC … 相似文献
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邱进南 《福建教育学院学报》2002,(9)
希布隆(Heilbron)型问题的研究成果屡见报道,杨之老师在文中列为WhC64: 平面上给定n个点,其中任三点可构成一个三角形,有一个最大面积与最小面积的比为μ_n,求μ_n的最小值。 (本文将面积最大三角形记为△ABC,面积为单位面积,面积最小三角形记为△XYZ,面积为S,μn的下确界记为infμn。李文志得到infμ_4=1,infμ_5=5~(1/2)+1/2,infμ_8=3。本文将进一步证明: 命题1:infμ_6=3 命题2:infμ_7=3 命题1证明: Ⅰ当不共线六点的凸包是t边形,3≤t≤5,由凸t边形内至少有一点P,又过凸t边形一顶点有(t-2)个三角形覆盖凸t边形,所以点P在其中一个△DEF内(△DEF可 相似文献
6.
本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是 相似文献
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<正>文[1]研究了正多边形的同心圆(即圆心在正多边形中心的圆)的两个性质:(1)正多边形同心圆上的任意一点到各顶点距离的平方和是定值;(2)正多边形同心圆上任意一点到各边距离的平方和是定值.文[2]推广了文[1]的结论,得到了正多边形的同心椭圆(即椭圆中心在正多边形中心的椭圆)的两个性质:(1)设G为正n边形的中心,则以G为中心的椭圆上任意一点到正n边形的各顶点的距离的平方和与该点到椭圆两焦点距离的乘积的n倍之和为定值;(2)设G为正边形的中心, 相似文献
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2010年高中数学联赛加试的第4题是：
一种密码锁的密码设置在正n边形A_1A_2…A_n的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同, 相似文献
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<正>一、以历史名题为背景的试题赏析例1(湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…中,第n个三角形数为n(n+1)/2=1/2n2+1/2n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形的表达式:三角形数N(n,3)=1/2n2+1/2n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形的表达式:三角形数N(n,3)=1/2n2+1/2n, 相似文献
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正众所周知,圆的内接n边形当且仅当其为正n边形时具有最大面积.以此为基础,运用面积投影的方法[1],可以得到定理1.定理1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a0,b0)的内接n边形具有最大面积的充要条件是其各顶点的离心角(取[0,2π)内的值)从小到大成公差为2πn的等差数列,其最大面积为n2absin2πn. 相似文献
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张岳洋 《山西教育(综合版)》2005,(9)
一、概念辨析———三角形三条角平分线的性质与三边垂直平分线的性质的联系和区别区别:(1)名称不同:三角形角平分线的交点叫做三角形的内心;而三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心.(2)性质不同:三角形角平分线的交点到三边的距离相等;而三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.(3)位置不同:三角形角平分线的交点总在形内;而垂直平分线的交点可能在形内,也可能在形外,还可能在线上.联系:(1)都交于一点;(2)等边三角形角平分线的交点是三边中垂线的交点.例1如图1,A、B、C三点表示三个村庄,为解决村民子女就近入学的问题,有关部门计划建… 相似文献
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今年我省高中一年级数学统考试题中的第八题,是一个很有趣味的题目。我认为标准答案的解法过于繁琐,这里提出另一种解法,供大家参考。原题:一个三角形的三个顶点在平面 M 的同侧,它们到平面 M 的距离分别是4cm、5cm、9cm,求这个三角形的重心到平面 M 的距离。我们先证明一个定理。定理:如果有一 n 边形在一个平面的同侧,则此 n 边形的重心到这个平面的距离为各顶 相似文献
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邹坚 《苏州教育学院学报》1998,(3)
在初中现行数学教材中(见九年义务教育教科书几何第三册第155页),有如下定理,把圆分成n(n≥3)等分:(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;(2)经过各点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.书中仅给出n=5的证明.本文在该定理的启示下,利用线性代数与复平面知识,给出定理(1)的一般证明,并应用它来简化一些命题的解法.如果我们把圆心设在原点,正n边形的一个顶点设在(r,0)上(r表示圆半径),于是正n边形的训顶点所对应的复数依次是r,re(2π/n)i,re(4π/n)i,…re(2(n-1)π/n)i,在此可以用一个n维列. 相似文献
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张成荣 《山西教育(综合版)》2002,(6):41-41
一、多边形内角和计算公式多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角。我们知道 ,三角形的内角和等于 180°,那么 ,任意多边形的内角和是多少呢 ?自然我们会把思路放在将多边形分成若干个三角形的问题上来研究。如图 1,在 n边形 A1A2 ……An 中 ,我们从一个顶点出发 ,如从 A1作对角线 A1A3、 A1A4、…… A1An-1,显然 ,把这个 n边形分成了 (n- 2 )个三角形 ,那么这个 n边形的内角和就等于 (n-2 )个三角形的内角和 ,故 n边形内角和应为 :(n- 2 )· 180°。将多边形分成若干个三角形 ,还可采用下面两种办法 :一种办法是如图 2 ,将出发点 … 相似文献
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请同学们回顾一下,凸n边形的内角和公式S_n=(n-2)·180°是如何推导出来的?推导公式的指导思想是把求多边形的内角和问题转化为求三角形的内角和问题,“转化”的办法是将多边形分割为若干三角形,由于分割多边形有多种方法,所以推导多边形内角和的方法也有多种: (1)在图1中,由n边形的某个顶点引对角线,将n边形分成(n-2)个三角形,每个三角形内角和为180°,故S_n=(n-2)·180°。 相似文献
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本刊1987年第3期上《正n边形的一个有趣性质》一文,对正n边形进行了探讨,得出了当n为3k、4k、5k,k∈Z时,正n边形A_1A_2…A_n外接圆劣弧(?)上任一点P,到各顶点距离的关系式。至于n为3k、4k、5k以外的自然数时,P到各顶点距离的关系式又如何?该文尚未得出。正因为这样,该文最后指出:“目前还不能找一个统一的式子,表 相似文献
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刘锦海 《中学课程辅导(初二版)》2004,(1):17-17
确定多边形的边数主要用到以下知识:(1)n边形的内角和定理:n边形的内角和是(n-2)·180°.(2)n边形的外角和定理:n边形的外角和是360°.(3)过n边形的一个顶点有n-3条对角线,它将n边形分成(n-12)个三角形;n边形共有n(n-3)/2条对角线. 相似文献
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我们知道,在单位面积三角形的内部或边界(记为T)上,任意放入5个点,以它们为顶点的三角形中(含退化,下同),至少有一个三角形其面积不超过1/4[1]. 相似文献
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在研究四边形内角和时,我们作一条对角线将它分成两个三角形,得四边形内角和为2×180°,即360°.由此,进一步启发我们,研究多边形的内角和,也可以过n边形A_1A_2A_3…A_n的一个顶点A_1作对角线A_1A_3,A_1A_4,A_1A_5,…,A_1A_(n-1)(图1),这样共可作(n-3)条对角线,它们将n边形分成(n-2)个三角形,所 相似文献
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三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.以三角形重心的定义和性质为依据,可推导出三条结论:推论1三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六部分.如图1,△ABC的三条中线AD,BE,GF交于点G,则△ABC被分成面积相等的六部分,即S1=S2 相似文献