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文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD… 相似文献
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本文将给出正三角形中的一个新的不等式,并对它作一些推广. 定理 设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的面积分别记为S、S_1、S_2、S_3.则 1/s_1 1/s_2 1/s_3≥12/S 相似文献
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定理 设D、E、F分别是正要△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m_0,m_1,m_2,m_3。则: 1/m_1 1/m_2 1/m_3≥3/m_0 证明 在△AEF中,∠A=60°.由余弦定理有: EF~2=AE~2 AF~2-2AE·AF·cosA=AE~2 AF~2-AE· 相似文献
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定理 设D、E、F分别是△ABC的边BC,CA、AB上的内点,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的面积分别记为△,△_1,△_2,△_3,n≥2,n∈N,则 相似文献
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丁遵标 《中学数学教学参考》2007,(6):57-57
设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,如图所示,△ABC、△AEF、△BFD、△CDE、△DEF面积分别记为△、△A、△B、△C、△0,则有△≥4△0,△^3≥64△A△B△C．文[1]将它们分别加强为 相似文献
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设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点，△ABC、△AEF、△BFD、△CDE、△DEF的面积分别记为△、△A、△B、△C、△O．文[1]、[2]分别证明了不等式。 相似文献
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丁遵标 《中学数学教学参考》2004,(9)
定理 设△DEF为锐角△ABC的垂足三角形 ,BC =a ,CA =b ,AB =c,△AEF、△BDF、△CDE的外接圆分别为⊙O1(R1)、⊙O2 (R2 )、⊙O3(R3) ,则有aR1 bR2 cR3≥ 63 .证明 :由于B、C、E、F共圆 ,∠AEF =∠B ,∠AFE =∠C ,从而△AEF∽△ABC(如图 ) . ∴ EFBC=AEAB=cosA , ∴EF =acosA .同理 DF =bcosB ,DE =ccosC .由正弦定理得EF =2R1sinA .∴acosA =2R1sinA ,从而aR1=2tanA .同理 bR2=2tanB ,cR3=2tanC .由于△ABC为锐角三角形 ,tanA >0 ,tanB >0 ,tanC >0 ,∴ tanA tanB tanC33≥tanAtanBtanC=tanA ta… 相似文献
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题目如图1,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且AE=AF,△AEF的外接圆交线段AD于点P.若点P满足PD~2=PE·PF,证明: 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(11)
设 D、E、F 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的周界中点,如图所示,△ABC、△AEF、△BFD、△CDE、△DEF 面积分别记为△、△_A、△_B、△_C、△_0,则有△≥4△_0,△~3≥64△_A△_B△_C.文[1]将它们分别加强为△~2≥16△_0~2 ∑(△_A-△_0)~2;△~3≥64△_A△_B△_C △∑(△_A-△_0)~2. 相似文献
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定理 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上与顶点A、B、C不重合的任意三点,△ABC、△AEF、△BDF、 相似文献
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蒋荣清 《中学数学研究(江西师大)》2002,(12):23-24
设D、E、F分别是正三角形ABC的边BC、AC、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m0,m1,m2,m3,则1/m1+1/m2+1/m3≥3/m0.(如图1) 相似文献
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求证:G是△ABC的重心的充要条件是(→GA) (→GB) (→GC)=0. 证明 (1)必要性:如图1,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点,G是△ABC的重心,所以(→GA)=(2/3)(→DA)=(2/3)((→DC) (→CA))=(2/3)((1/2)(→BC) (→CA)),同理可得:(→GB)=(2/3)((1/2)(→CA) (→AB)),(→GC)=(2/3)((1/2)(→AB) (→BC)),所以(→GA) (→GB) (→GC)=(2/3)((1/2)(→BC) (1/2)(→CA) (1/2)(→AB) (→CA) (→AB) (→BC))=(2/3)×(3/2)((→CA) (→AB) (→BC))=0. 相似文献
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定理 若△DEF是锐角△ABC的垂足三角形 ,且BC =a ,CA =b,AB =c,△AEF、△BDF、△CDE的内切圆分别为⊙I1、⊙I2 、⊙I3,其半径依次为r1、图 2r2 、r3,则有 ar1+br2+cr3≥ 1 2 3。证 ∵BE⊥AC ,CF⊥AB ,∴∠BEC =∠CFB =90°。又因E、F在BC的同侧 ,∴B、C、E、F四点共圆 ,∴∠AEF =∠B ,∠AFE=∠C ,故△AEF∽△ABC ,∴ EFBC=AEAB=r1r ,其中r为△ABC内切圆半径。在Rt△ABE中 ,cosA =AEAB,故 r1r =cosA ,即r1=rcosA ,同理r2 =rcosB ,r3=rcosC。 从而 ar1=arcosA =arsinA·tanA =2Rr ·tanA≥4tanA ,R… 相似文献
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贵刊1996年第7期上,宋结根老师在《正三角形中的一个不等式》一文中,证明了如下一个定理。 定理 设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m_0、m_1、m_2、m_3。则 相似文献
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设D,E,F为ΔABC的边BC，CA，AB的周界中点，ΔABC，ΔAEF，ΔBFD，ΔCDE，ΔDEF的面积分别为Δ，ΔA，ΔB，Δc,Δ0,R和r分别为ΔABC的外接圆，内切圆半径，有献证明了： 相似文献
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P.Erdos曾提出下列问题: 设D、E、F分别位于△ABC的边BC、CA、AB上,α、β、γ和δ分别是三角形AEF、BFD、CDE和DEF的面积,则δ≥min{α,β,γ},(1)等号成立当且仅当D、F、F是△ABC边上的中点.(参见[1]).1957年,A.Bager首先给出不等式(1)的证明. 本文中,我们把它加强成如下形式: 相似文献