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1.
不等式a2+b2≥2ab是我们最熟悉的基本不等式,它有许多变式:(1)a2+b2≥12(a+b)2;(2)(a+b)2≥4ab;(3)1a+1b≥4a+b(a>0,b>0);(4)ab+ba≥2(ab>0);(5)a2b≥2a-b(a≥0,b>0);(6)a3b≥2a2-ab≥32a2-12b2(a≥0,b>0).以上6个不等式当且仅当a=b时取等号.这6个变式的证明都较简单,下面通过举例仅介绍变式(5)、(6)的应用.例1 已知a>1,b>1,c>1,求证:a2b-1+b2c-1+c2a-1≥… 相似文献
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孙建斌 《中学数学教学参考》1999,(11)
定理 设a,b,c为非负实数,记P=∑a3=a3+b3+c3,Q=∏a=abc,R=∑bc(b+c)=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2,则 2P≥P+3Q≥R≥6Q.①证明:第一个不等式显然;由abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c),展开、整理,即得P+3Q≥R;应用几何—算术均值不等式即得R≥6Q.有大量不等式与①等价,如∑a2(b+c-a)≤3abc,∑a(a-b)(a-c)≥0,∑a(a-b-c)2≥3abc(a,b,c为三角形三边)都等价于P+3Q≥R,通过变形… 相似文献
3.
一元二次方程是中学代数的一个重要组成部分。现将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根之间关系归纳如下.不妨设一元二次方程ax2+bx+c=0中,a>0,△≥0,则(1)b>0,c>0两实根都为负;(2)b>0,c<0两实根异号,绝对值较大的为负;(3)b<0,c>0两实根都为正;(4)b<0,c<0两实根异号,绝对值较大的为正;(5)ax2+bx+c是一个完全平方式,则必有b=±2ac(c>0),或△=0两实根相等;(6)b=0,c<0两实根互为相反数;(7)a=c两实根互… 相似文献
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三元均值不等式的加强及其应用 总被引:2,自引:0,他引:2
安振平 《中学数学教学参考》1998,(10)
高中《代数》下册给出的三元均值不等式是:如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3≥3abc,①当且仅当a=b=c时取“=”号.此不等式可加强为:定理如果a,b,c≥0,那么a3+b3+c3≥3abc+a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2.... 相似文献
6.
由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性□李玉钊(河南信阳地区教育学院464000)众所周知,对于一个数字系数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),欲求其解,可通过著名的求根公式x1=-b+b2-4ac2n,x2=-b-b2-4ac2a(... 相似文献
7.
题目设a,b,c为正数且abkc=l,求证1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b)≥3/2.(第36届IMO试题)本题是一道非常难得的好题.它的九种证法,充分展现了对称不等式的内在魅力,值得探究. 相似文献
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吴章文 《长江工程职业技术学院学报》1999,(2)
文献(1)着重于解决不等式问题,笔者研读后深受启发。一元二次方程ax2十bx十c=0的根有下列判断条件:(1)方程有实根,=b2-4ac 0;(2)方程无实根=b2-4ac<0。二次函数f(x)=ax2十bx+c(a 0)有下列几条性质:性质1若a>?.. 相似文献
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抛物线中的两种内接三角形□周以宏(江苏省盱眙县中学211700)设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,顶点为C,不难证明(1)对直角三角形ABC,有Δ=b2-4ac=4.(2)对等边三角形ABC,Δ=b2-4ac=12.合理地应... 相似文献
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李毅 《中学数学教学参考》1996,(12)
利用均值不等式求函数极小值问题的探索西安教育学院李毅我们知道,利用均值不等式a+b+c≥33abc求函数的极值,必须满足三个条件:(1)a,b,c∈R+;(2)a·b·c=P(定值)(或a+b+c=S(定值));(3)当且仅当a=b=c时,函数有极小... 相似文献
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对于实数域上有理分式函数(其中分子、分母互质,a与a'不同时为零)本文将给出值域、最值的求法,并给出该函数极值的有关结论。一、用判别式法求(I)的值域和最值易知对任实数y,(I)与下式同解(a—a'y)x2+(b—b'y)x+(c-c'y)=0(II)设y是(I)的值域中一点,则存在实数x使(I)成立,即(II)成立。于是有:△=(b—b'y)~2-4(a-a'y)(c—c'y)≥(Ⅲ)反之,若实数y使(Ⅲ)成立,且b—b'y与a-a'y不同时为零,则y在(I)的值域中。若a—a'y=b-b'y… 相似文献
14.
运用“a+b≥2ab”求最值错解2例兰州市十六中景曼桂在求解最值问题时,巧妙地运用重要不等式“a+b≥2ab”(或a+b+c≥33abc)常常能使问题简化。但一些学生在运用中容易忽视公式成立的条件,以致造成错解。现举2例。例1.已知x,y>0,a,b... 相似文献
15.
与最值相关问题的解法(下) 总被引:1,自引:0,他引:1
王扬 《中学数学教学参考》1999,(12)
一、内容概述这是上期的继续,并给出解决此类问题的另外一些方法,如数形结合法、解析法、复数法、不等式法、待定系数法等.二、基础知识1.基本不等式:a2+b2≥2ab,a3+b3+c3≥3abc.(a,b,c∈R+)2.三角形边长之关系:a+b>c(a,b,c为三角形三边之长)3.复数模的不等式:|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|.等号成立的条件是z1=λ1z2=λ2z3(λ1λ2>0,λ1,λ2∈R)4.费尔马点的性质.(见例10)三、综合应用(六)数形结合法关于数式问题,若能构造… 相似文献
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因式分解是初中代数的重要恒等变形,其变形的技巧性强,且应用广泛.因此,因式分解的应用成为数学竞赛的热点之一.为此本文举例说明因式分解在竞赛中常见的几种应用,供同学们参考.一、用于计算例11.23452+0.76552+2.469×0.7655=().(1991年希望杯全国数学邀请赛初一试题)解原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=4.二、用于求值例2设a、b、c、d都是自然数,且a5=b4、c3=d2、a-c=17.求d—b的值.… 相似文献
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王启龙 《中学数学教学参考》1998,(4)
一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目:已知a,b∈R,且a+b+1=0.求证(a-2)2+(b-3)2≥18.证明一:综合法∵若x,y∈R,则有x2+y2≥(x+y)22.当且仅当x=y时取“=”.又∵a+b+1=0,∴(a-2)2+(b-... 相似文献