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数学猜想探索题,即由题设条件,如有规律的算式、图形、图表等,先从简单情况或特殊情况入手,进行观察归纳,大胆猜想探索,得出结论,再加以论证的探索性问题。近年来,数学猜想探索题倍受中考命题者的青睐,成为中考的一大热点问题。以下举例分析,供同学们参考。例1观察下列各式:2×4=32-1;3×5=42-1;4×6=52-1;…;10×12=112-1;…。将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来:________________。解析观察等式,可发现规律:等式左边是两个连续偶(或奇)数的积,右边是夹在这两个连续偶(或奇)数中间的奇(或偶)数的平方与1的差。故n(n+2)=(n+1)2-1… 相似文献
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近年全国各省市中考卷中涌现出不少探索 (究 )型和开放型试题 .通过求解这些问题 ,有利于同学们数学创新意识的形成和发散思维能力的培养 .现选摘用初一知识能解的几例 ,分类析解、评述其求解方法 ,供大家学习参考 .一、探索型问题1.观察数式变化特点 ,探索变化规律——归纳公式例 1 ( 2 0 0 2年北京西城区中考题 )观察下列各式 :21× 2 =21+2 ,32 × 3=32 +3,43× 4 =43+4 ,54 × 5=54 +5,… ,想一想 ,什么样的两数之和等于这两数之和 ?设 n表示正整数 ,用关于 n的等式表示这个规律 .析解 :观察可知各等式左边是一个假分数与一个整数相乘… 相似文献
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~~~不等号的右边是这两个数乘积的2倍,应是2ab郾故反映这种规律的一般结论是a2+b2≥2ab郾例5考查下列式子,归纳规律并填空:1=(-1)2×1;1-3=(-1)3×2;1-3+5=(-1)4×3……1-3+5-7+…+(-1)n+1×(2n-1)=郾(2002年广东省佛山市中考题)分析本题的关键是确定-1的指数,通过观察可知,第n个式子等号右边-1的指数是n+1,故横线处应填(-1)n+1·n郾例6观察下列各式:21×2=21+2,32×3=32+3,43×4=43+4,54×5=54+5……想一想,什么样的两数之积等于这两数之和?设n表示正整数,用关于n的等式表示这个规律为×=+郾(2002年北京市西城区中考题)分析等号左边是两个… 相似文献
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周国镇 《数理天地(初中版)》2003,(9)
沿着前面的思路,这个公式的证明,其实是很自然也很容易的事: 我们在等式(n+1)2=n2+2n+1中,让n依次取从1开始的n个自然数:1,2,3,4,…,n,就得到n个相应的等式: 22=12+2×1+1, 32=22+2×2+1, 42=32+2×3+1, 52=42+2×4+1, …(n+1)2=n2+2n+1将这n个等式中等号两边的式子分别相加,相加时,注意消去等号左边与等号右边第一列中相同的数,就得到 相似文献
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张黎明 《青海师范大学民族师范学院学报》2001,(1)
数学归纳法是数学里一种重要的证明方法。下面通过实例,列举几种证法。一、代数恒等式的证明一般采用的证明方法是在等式两边同加或同乘以第 k+1项,然后适当变形即可得证。例1 求证:1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…+/1(2n-1)-1/(2n=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)证明1°当 n=1时,左边=1-1/2=1/2.右边=1/(1+1)=1/2.等式是成立的。2°假设 n=k(k≥1)时等式成立,即 相似文献
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《中学课程辅导(初一版)》2003,(4):39-39
}}f*m"m}#**…口ⅫⅥⅡ#9*$F*∞;r1_一。。{0 找规律、利用规律填空: 1.考察下列式子,归纳规律 并填空: (佛山市2002中考) 1一(一1)0×1 1—3一(—一1)。×2 1—3+5一(一1)‘×31—3+5—7+……+(一1)“’’×(2”一1)一 .(∞为正整数) 解:观察各等式,左端是连续奇数的差与和相互交替,右端是(一1)”“次方与项数n的积,从而得到规律:应填(～1)”’×,2. 2.观察下列各式:÷×2一÷+2.詈×3一号+3,鲁×4===告+4,{×5一丢+5,…一 想一想,什么样的两个数之积等于这两个数之和?设”表示正整数,用关于”的等式表示你猜想到的规律× 一; (西城区2002… 相似文献
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陈德前 《初中生世界(初三物理版)》2006,(7)
数学思想方法是数学的灵魂,是解决数学问题的金钥匙.在“幂的运算”这一章中就蕴含着许多重要的数学思想方法,需要我们去挖掘、提炼、应用.一、归纳思想23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=27,A3×A4=(A×A×A)×(A×A×A×A)=A7,AM·AN=AM+N(M、N为正整数).这就得到了“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.此法则的得出正是运用了归纳的数学思想.运用归纳思想,要善于观察,才能得到正确结论.例1观察下表:通过以上信息,用你发现的规律得出6182005的个位数字是______.(2005年湖南省湘潭市中考试题)分析:仔细观察,可发现其一般规律是… 相似文献
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我们有四个数字:1、2、3、4,将它们合并到一个数学等式中,令其答案为5.例如:4+3-2×1=5使用相同数字的另一个成立等式如下所示:4+3-2÷1=5您是否能够建立另一个数学表达式,在等式左边使用1、2、3和4,并令等式的右边等于5?可以使用4个标准的数学运算符:+(加)-(减)×(乘)÷(除),如有必要,还可以使用括号.我们还可以练习一下这些题目:5551=243582=29936=25678=14443=42357=7答案:(4+1)÷(3-2)=55551=24(5-1÷5)×5=243582=2(8×2)÷(3+5)=29936=2(9+9)÷(3+6)=25678=1(8-7)÷(6-5)=14443=4(4×4)-(4×3)=42357=72+3-5+7=7令等式成立@道道… 相似文献
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一、根据条件直接猜想例1已知数列{an}中的各项分别为182××132,…,8n(2n-1)2(2n+1)2,…,Sn是数列的前n项和,计算可得S1=98,S2=2254,S3=4489,S4=8810.根据结果猜测Sn的表达式,并用数学归纳法证明.解由S1=1-19,S2=1-215,S3=1-419,S4=1-811,猜想Sn=1-(2n1+1)2(n缀N+).证明如下:(1)当n=1时,S1=1-312=89,等式成立.(2)设当n=k(k≥1,k缀N)时,Sk=1-(2k1+1)2成立.∵an=(2n-1)82(n2n+1)2=(2n1-1)2-(2n1+1)2,∴Sk+1=Sk+ak+1=1-(2k1+1)2+(2k1+1)2-(2k1+3)2=1-[2(k+11)+1]2.由此可知,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何n缀N+都… 相似文献
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尚建平 《山西教育(综合版)》2006,(3)
数与式例1:某音像社对外出租光盘的方法是:每张光盘在租出后的头两天每天收0.8元,以后每天收0.5元.那么一张光盘在租出的第n(n是大于2的自然数)天,应收租金元.解析:租金分两段计算,每张光盘出租的头两天的租金为0.8×2=1.6元;当租的天数为(n-2)天时,每天收0.5元,所以租金为0.5(n-2)元,因此总的租金为1.6+0.5(n-2)=(0.5n+0.6)元.例2:观察下列各式:21×2=12+232×3=23+334×4=34+454×5=45+5……设n表示正整数,用关于n的等式表示这个规律为:×=+解析:21×2=(11+1)×2=12+2;23×3=(21+1)×3=32+3,43×4=(13+1)×4=43+4;54×5=(14+1)×5=54+5…… 相似文献
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发现 ,是人类的重要活动 ,是科学取得成就的重要途径。从小培养、发展学生的发现能力 ,是素质教育的重要内容。在数学兴趣活动中引导学生发现 ,是数学兴趣活动的重要任务。下面是在数学兴趣活动中引导发现一例。例 :观察前两个等式 ,有什么特点。然后在其他等式的□里填上合适的分数。1 2 14 1 45=2 14 × 1 452 .3 13 1 37=3 13 × 1 373 .□ 1 25=□× 1 254.5 □ =5×□本例采用从整体到局部的观察方法引导学生发现。步骤如下 :一、观察、发现。出示 1、2两题。1 整体观察。提示 :从等式两边看 ,经过观察、思考 ,你发现了什么 ?(以… 相似文献
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由于探索性问题能够有效地考查学生的数学素质 ,因而成为高考命题的热点 .下面仅就数列中探索性问题的求解策略作些归纳 ,以期抛砖引玉 .一、利用公式直接求解例 1 是否存在常数a ,b ,c使等式 1·n+ 2 · (n -1) +… + (n -1) ·2 +n·1=an3+bn2 +cn对任意的n∈N 恒成立 ?证明你的结论 .解 对等式左边求和 .∑nk=1k(n+ 1-k)=∑nk=1[k(n+ 1) -k2 ]=(n+ 1) ∑nk=1k -∑nk=1k2=n(n+ 1) 22 -n(n+ 1) (2n + 1)6=n3+ 3n2 + 2n6.比较系数可得a=16,b=12 ,c=13 .二、先用特值探路 ,再用数学归纳法证明对于例 1,分别令n =1,2 ,3 ,代入等式 ,得a +b+… 相似文献
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在义教初一《代数》第一册 (上 )“第一章代数初步知识”中 ,有一种非常好的列代数式题型 ,就是给定一组等式 ,或一组图形的若干种简单的或特殊情况 ,从中探求其规律 ,对这类题的研究 ,非常有利于发展同学们的创造能力和思维能力 ,所以在中考试题中也较为常见 .解决这类问题 ,通常用探索归纳法 ,即对已知条件进行观察分析 ,从中发现规律 ,进而找到解决问题的途径或结论 .例 1 ( 2 0 0 2年北京市西城区中考试题 )观察下列各式 :21× 2 =21+2 ,32 × 3=32 +3,43× 4 =43+4 ,54 × 5=54 +5,…想一想 ,什么样的两数之积等于这两数之和 ?设 n表… 相似文献
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数学解题中逆向思维的培养途径 总被引：3，自引：0，他引：3
逆向思维就是按研究问题的反方向思考的一种方式 .在解题中以问题的正面思考陷入困境时 ,则以问题的反面思维往往会绝处逢生 ,使问题迎刃而解 .根据本人的教学经验 ,本文就从以下几个方面说明培养学生的逆向思维 .1 从数学定义、公式的可逆性进行逆向思维培养 因为数学定义本身是等价命题 ,而作为定义的命题 ,其逆命题成立而由它生成的公式法则也具有可逆性 .例 1 求和 1× 2× 3 + 2× 3× 4+…+ n(n + 1) (n + 2 )分析 :本题若从正面分析思考入手较难 ,但注意公式 :C3 n+2 =(n + 2 ) (n + 1) n3 !,逆向思考有 :n(n + 1) (n + 2 ) =3… 相似文献
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近年来,在全国各地中考数学试卷中,经常出现一种阅读题,这类题主要考查学生对数学材料的理解、接受及加工处理能力,运用数学知识分析和解决实际问题的能力。一、阅读、观察、猜想例1:(2003河北)如图1是用火柴棍摆出的一系三角形图案。按这种方式摆下去,当每边上摆20(即n=20)根时,需要的火柴棍总数为根。分析:通过阅读观察、发现:当n=1时,有一个三角形;当n=2时,有2×(2+1)2=3个三角形;当n=3时,有3×(3+1)2=6个三角形…,可以猜想,当每边摆上n根火柴时,有n×(n+1)2个三角形,而每个三角形有3根火柴,故总数Sn=3n×(n+1)2根火柴。当n=20时,S20=3… 相似文献
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本文试以四年级数学教材中的一些习题为例,对在新课程背景下如何改革解题教学,使其充分体现数学的魅力,谈点看法。[案例一]你还记得“142857”这个有趣的数吗?142857×1+857142=摇142857×2+714285=142857×3+571428=142857×4+428571=142857×5+285714=142857×6+142857=一般做法是让学生观察各算式中数字的特征并用计算器计算,得出六道算式的计算结果相同(都是999999)就完事了。[适当开发]引导学生仔细观察,多向思考,认真比较。发现下列规律:1.六道算式第一加数中的一个因数都是142857,另一个因数依次为1、2、3、4、5、6;第二加数都是由1… 相似文献
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我们遇到的证明题 ,常常用文字及数学符号进行叙述 ,表现了数学严密的逻辑性 .但是下面这些问题的证明除了可以用严格的逻辑证明外 ,用图形证明也不失一种直观、有效的证明方法 .问题 1 证明 14 + ( 14 ) 2 + ( 14 ) 3 + ( 14 ) 4+…= 13.证法 1:如图 1示图 1 图 2证法 2 :如图 2示 :问题 2 12 + 2 3 + 33 +… +n3 =( 1+ 2 + 3+… +n) 2 .证法 1:如图 3示 :图 3 图 4说明 :4× 1× 12 + 4× 2 × 2 2 + 4× 3× 32 + 4×4× 4 2 + 4× 5× 52 ={2 × ( 1+ 2 + 3+ 4+ 5) }24 × ( 13 + 2 3 + 33 + 43 + 53 ) … 相似文献
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在数学王国里,存在着许多神奇的数学规律,同学们如果能发现、掌握这些规律,就能运用它来巧妙简便地解题。例11×2+12×3=11×2+12×3+13×4=11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=以上例题用一般方法计算,呆板又麻烦:11×2+12×3=12+16=46=23,11×2+12×3+13×4=12+16+112=612+212+112=912=34……计算时,如能先寻找问题的规律:1ab=1a-1b(a、b都为自然数,且b-a=1),由此得:11×2=1-12;12×3=12-13;13×4=13-14;14×5=14-15……运用规律计算,就灵活简便了。11×2+12×3=1-12+12-13=2311×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=3411×2+12×3+13×4+14×5+1… 相似文献
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著名数学家、教育家G·波利亚写过《数学与猜想》,他强调“要成为一个好的数学家,你必须首先是一个好的猜想家.”伟大的牛顿也说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.”学习数学令人最感困惑的也是最引人入胜的环节之一,就是如何发现定理及怎样证明定理,波利亚把“从最简单的做起”当作座右铭,提倡所谓“合情推理”,而猜想又是合情推理的最普遍、最重要的一种,本文对“计算———猜想———证明”模式作初步的介绍.例1计算:S1=11·2=12;S2=11·2+12·3=23;S3=11·2+12·3+13·4=34;……猜想:Sn=11·2+12·3+13·4+…+1n(n+1)=nn+1.①… 相似文献
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杜国林 《课堂内外(小学版)》2004,(9)
问题:计算(1+12)×(1-12)×(1+13)×(1-13)×…×(1+199)×(1-199)=?(小学数学奥林匹克赛题)这是一道分数加减乘混合运算的巧算题。解题关键是应用乘法交换律,找出题中和、差相乘的规律。试算(1+12)×(1-13)=32×23=1,(1+13)×(1-14)=43×34=1,(1+198)×(1+199)=9998×9899=1。发现规律:(1+1n)×(1-1n+1)=1解题方法:先交换和、差因数顺序,再用规律巧算。解题:先交换和、差因数顺序,并把符合规律的两个因数写成一组。原式=(1-12)×(1+12)×(1-13)×(1+13)×…×(1+198)×(1-199)×(1+199)=(1-12)×(1+12)×(1-13 )×(1+13)×(1-14 )×…(1+… 相似文献