面积比在几何证题中的应用     

叶季荣 《中学教研》1988,(6)

面积比的类型很多,本文着重谈“有一个角对应相等(或互补)的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比”在几何证题中的广泛应用。这个性质可表示为: 定理:在△ABC与△A_1B_1C_1中,∠B=∠B_1(或互补),则 S_(△ABC)/S(△A_1B_1C_1)=(AB·BC)/(A_1B_1·B_1C_1)。我们用三角形的面积公式S=1/2acsinB容易证明上述定理(略)。不少比例线段的证明,可归结为这个性质的应用。下面举例说明之。 1.证明三角形内角平分线的性质例1 已知△ABC的内角A的平分线交BC于D 求证:  相似文献   

一个命题的推广及在证题中的一些应用     

曹明德 《苏州教育学院学报》1995,(1)

我们知道:S_△=1/2ah,由此可得:同底的两个三角形的面积比等于这底上的高的比。这一命题可以推广如下: 有一条公共边的两个三角形的面积比等于这两个三角形的另一个顶点的连线被公共边所在的直线分成的两条线段的比。 即.已知:如图.AB的延长线交CD于点E 求证:S_ABC:S_ABD=CE:DE 证明:分别由点C、D向AE及其延长线作垂线CF、DG,FG为垂足,则有:S_△ABC:S_△ABD=CF:DG（1）△CEF∽△DEG(?)CF:DG=CE:DE（2）由（1）,（2）得:S_△ABC:S_△ABD=CE:DE。 利用这一命题,可以较简捷地证明一些几何命题,请看以下几例: 例 1:在△ABC中任取一点O, AO、 BO、 CO与对边的交点分别是D、 E、 F,求证:  相似文献   

梯形面积的一个性质及其应用     

宋厚俊 《中学教研》1993,(8)

定理梯形的两条对角线和两腰所在的两个三角形的面积相等,且这个面积是梯形两条对角线与两底所在的两个三角形面积的比例中项。证明:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,记∠AOB=a,△AOD、△BOC的两面积分别为 S_1、S_2,内三角形面积公式可知:S_(△ABC)=S_(△DBC), ∴ S_(△ABC)-S_(△BOC)=S_(△DBC)-S_(△BOC), ∴ S_(△AOB)=S_(△DOC)。又S_1·S_2=1/2OA·ODsina·1/2OB·OCsina =1/2OA·OBsina·1/2OD·OCsina =S_(△AOB)~2。应用上面的定理,解决一类作图题和与梯形面积有关的竞赛题。  相似文献   

谈正弦、余弦定理与面积相关的问题     

王俊磊 《中学生数理化(高中版)》2013,(6)

一、利用正弦、余弦定理结合面积公式求三角形的面积 例1(2012年高考江西理18)在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c.已知A=π/4,并且bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a. (1)求证:B-C=π/2; (2)若a=√2,求△ABC的面积. 解析:(1)已知由bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a,应用正弦定理得: sin Bsin(π/4+C)-sin Csin(π/4+B)=sin A.  相似文献   

三角形内等斜角三角形及其性质     

吴菊英  金照安 《中学数学月刊》1997,(2)

已知△ABC,∠A、∠B、∠C所对的三条边分别记作a、b、c。今从三顶点A、B、C分别引对边的斜线AA_1、BB_1、CC_1,使得在保持同一顺序之下,有∠AA_1C=∠BB_1A=∠CC_1B=θ。则由三斜线AA_1、BB_1、CC_1相交所得的三角形△HJK称为原三角形△ABC的等斜角三角形。(图1) 定理1 设△HJK是△ABC的等斜角三角形,S_(△HJK)与S_(△ABC)分别表示△HJK与△ABC的面积,则有  相似文献   

巧用三角形分角线长公式解题     

吴祥  熊光汉  刘世美 《中学数学教学》1992,(6)

本文介绍三角形分角线长的一个公式,并举例说明它在数学竞赛解题中的广泛应用。目的在于启发学生的解题思路,培养其创造性思维能力。定理△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c,D是边C上任一点,CD分∠C为α、β,则 CD=absin(α β)/asinα bsinβ证明;如图, ∵ S_(△BCD) S_(△ACD)=S_(△ABC), ∴ 1/2a·CDsinα 1/2b·CDsinβ =1/2absin(α β),  相似文献   

新证R≥2r及应用     

李见权 《中学教研》1989,(4)

三角形之外接圆半径与内切圆直径间的关系R≥2r的已有证明比较复杂,本文给出一个较简单的证法,进而解有关问题。为应用方便,有关结论以命题形式出现。命题1 三角形外接圆半径与内切圆半径之积的2倍,等于这个三角形的三边之积与三边之和的比。证明:∵S_△=1/2r(a b c),即2r=4S_△/(a b c)又∵S_△=(abc)/4R,即R=(abc)/4S_△。故2rR=(abc)/(a b c)。命题2 若三角形的三边为a、b、c,则abc≥(a b-c)(a c-b)(b c-a)。证明:∵abc-(a b-c)(a c-b)(b c-a)=abc-(a~2b a~2c b~2a b~2c c~2a c~2b-  相似文献   

面积关系在平面几何证题中的应用     

李宁 《中等数学》1983,(5)

在计算三角形的面积或利用三角形的面积来计算其它图形的面积时,我们常常运用下列公式:S=(1/2)a·h_a;S=(1/2)absinC;S=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2);S=(abc)/4R.其中,a、b、c 是三角形的边,h_a 是边 a 上的高,s=(1/2)(a+b+c),R 是三角形外接圆的半径。然而,在平面几何的证题中,如遇到有关线段(或  相似文献   

抛物线与三角形面积一文的补充     

尹转玉 《中学教研》1993,(9)

本刊93年第5期“抛物线与三角形面积”一文,给出了下面的两个结论:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当△=b~2-4ac>0时,抛物线与x轴的两交点为A、B,顶点为C,与y轴的交点为D,则本文拟对结论(2)作两点补充: ①若△ABC为等边三角形,则△=b~2-4ac=12,S_(△ABC)=3 3~(1/2)/a~2. ②若△ABC为等腰直角三角形,则△=b~2-4ac=4,S_(△ABC)=1/a~2. 由于△ABC的底边AB=△/|a|,高为|△/4a|;当△ABC为等边三角形时,高为底边的3~(1/2)/2倍;当△ABC为等腰直角三角形时,高为底边的一半,利用这两点,不难证明以上两个结  相似文献   

三角形面积的计算     

何忠武 《中学生数理化》2006,(7)

三角形面积的计算是初中平面几何中的重要内容,在日常生活和科学技术中有着广泛的应用,现把它归类总结．掌握下列公式,对提高解题能力和应用能力都有一定帮助．一、公式公式1：S_△=1/2ah．其中a是底边长,h是高．它是计算三角形面积的基本公式．公式2：S_△=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2)．其中a,b,c分别是三角形三边长,且p=  相似文献   

四面体的一个体积公式及其应用     

蔡树松 《中学数学月刊》2002,(6):14-16

三角形面积公式S△＝(1)/(2)absin C,S△＝(p(p-a)(p-b)(p-c)),其中p=(1)/(2)(a+b+c).下面,我们介绍:对于已知三条棱a,b,c及三面角A,B,C的四面体A1B1C1D1(如图1)的体积是  相似文献   

公式cosθ=S′/S的证明及应用     

杨志文 《中学理科》1995,(12)

求二面角的一般方法是根据定义找出二面角的平面角,然后通过论证计算求解,下面介绍一种较简捷的方法,即应用面积射影定理求解,可避免作、找、论证二面角的平面角.面积射影定理:若二面角M—a一N的大小为θ,在平面M内的一个三角形的面积为S,它在平面N上的射影面积为S′,则有:cosθ=S′/S.证:设平面M内的△ABC,且S_(△ABC)=S(1)若△ABC的边AB与交线a重合(如图1),设C在平面N上的射影为C′,则S_(△ABC′)=S′,在平面M内过C作CE(?)a于E,连C′E,则∠CEC′=θ,在Rt△CC′E中:C′E=CE·cosθ.∴cosθ=C′E/CE=(1/2C′E·AB)/(1/2CE·AB)=S′/S.(2)若△ABC的边AB∥平面N(如图2),则过AB作平面N′∥平面N,设C在平面N,N′内的射影分别为C′C″.A、B在平面N上的射影分别是A′、B′则△A′B′C′、△ABC″分别是△ABC在N、N′  相似文献   

一个几何定理的推广     

李琴英  阮子昭 《中学数学教学》1997,(4)

赵绪昌老师,在文中,应用一个定理简结地解答了三道竞赛题。这定理如下: 定理 设A＇、B＇、C＇分别在△ABC的三边BC、CA、AB上,若AC＇:C＇B=p,BA＇:A＇C=q,CB＇:B＇A=r,△ABC与△A＇B＇C＇的面积为S_(△ABC)与S_(△A＇B＇C＇)。则  相似文献   

一个三角形面积公式的运用     

刘运谊 《数学教师》1995,(6)

在中学数学中所涉及的三角形面积公式很多,灵活地运用它,均会收到满意的效果,其中公式S_△=1/2bcsinA为证明平面几何中两个三角形面积相等开辟了一条蹊径,下面举几例供读者参考: 例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,D为底边上任一点,作∠BDE=∠CDF,交两腰于E、F。求证:S_(△BDF)=S_(△CDE)。  相似文献   

一组三角不等式新证     

范培养 《中学数学月刊》1998,(6)

△ABC中,若a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,△为△ABC的面积,则有 ctgA=cosA/sinA=(b~2 c~2-a~2)/2bcsinA=(b~2 c~2-a~2)/4△, tg(A)/2=(1-cosA)/sinA=(a~2-（b-c）~2)/4△等。由此以及海伦面积公式,不难得出以下一些性质: 1. ctg A ctg B ctg C=(a~2 b~2 c~2)/4△.  相似文献   

三角形面积公式解平几题     

秦积洪  魏雨富 《中学教研》1990,(9)

在计算三角形面积公式中,常用的有:S=(1/2)ah、S=(1/2)bcsinA,从这个公式出发与三角形面积有关的性质有: 1.等底等高的两个三角形面积相等、等底(高)的两个三角形面积之比等于高(底)之比。 2.有一组内角相等(或相补)的两个三角形的面积之比等于夹这组内角的两边乘积之比。 3.相似三角形面积之比,等于相似比的平方。下面举例说明:许多与线段或角的度量关系有关的几何题,若能恰当地应用面积公式或上述有关性质,解决起来比用其它方法来得简捷明快。例1 若对角线AC将四边形ABCD分成两个相等的三角形,则AC必平分对角线BD。证明:作DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,  相似文献   

关于三角的短文八篇     

尚瑞山  范秋生  王祥林  杨思源  张依良  王孔伋  朱定符  王茂森 《数学教学通讯》1988,(2)

三角形中半角公式的应用在△ABC中,我们有:sinA/2=((s+b)(s-c)/bc)~(1/2),cosA/2=(s(s-a)/bc)~(1/2),…等等。(2s=a+b+c)这一组公式(“半角公式”)的证明不难(略),它们在斜三角形方面的应用较广,举例如下。 [例1] 在△ABC中,a、b、c成等差数列,求证:ctgA/2 ctgC/2=3。  相似文献   

勾股定理与面积公式的完美结合     

周奕生 《中学生电脑》2006,(10):I0013-I0014

设Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,记三角形的半周长为p,即p=12(a b c),△ABC的面积为S,则由勾股定理及直角三角形面积公式,可得S=p(p-c)=(p-a)(p-b).(*)公式(*)成立的理由是:S=21ab=41×([a b)2-(a2 b2)]=41[a b)2-c2]=14(a b c)(a b-c)=41×2p×2(p-c)=p(p-c);另一方面,由海伦公式S=#p(p-a)(p-b)(p-c)得S2=(p-a)(p-b)(p-c)=S(p-a)(p-b),故S=(p-a)(p-b).公式(*)结构和谐优美,简单易记,与海伦公式相比较体现了直角三角形的特殊性,在解直角三角形有关问题时,运用公式(*)别具一格,富有情趣。例1已知直角三角形…  相似文献   

这两道题不妥     

冯俊杰  陈明光 《中学数学教学》1987,(5)

题目:已知a、b、c是锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对的三边,tg1/2A=tg~3 1/2 C,sinBcosC=sin(C-B),并且a、b、c、成等比数列,试证明△ABC是正三角形。有一本书给出的解答提示如下:“先由已知条件和A+B+C=π导出B=1/3π,再由余弦定理证明 a=c,则△ABC是正三角形”。其实,这道题是不妥的。为了便于分析,笔者根据以上提示猜测其证明过程为: 由已知 sinB·cosC=sin(C-B) 得 sinB·cosC=sinCcosB-cosCsinB化简得 2sniB·cosC=sinC·cosB ①  相似文献   

两个相关三角形的勃罗卡角的一个性质     

刘康宁 《中学数学教学》1994,(1)

性质 设△ABC的中线m_a、m_b、m_c构成△A＇B＇C＇,O、O＇分别是△ABC和△A＇B＇C＇内一点,且∠OAB=∠OBC=∠OCA=α,∠O＇A＇B＇=∠O＇B’C＇=∠O＇C＇A’=α＇,那么α=α＇。 证明 记△ABC和△A＇B＇C＇的面积分别为△、△＇。在△ABC中,由勃罗卡角等式及正、余弦定理,得ctgα=ctgA ctgB ctgC=cosA/sinA cosB/sinB cosC/sinC=(b~2 c~2-a~2)/(2bc sinA) (c~2 a~2-b~2)/(2ca sinB) (a~2 b~2-c~2)/(2ab sinC)=(a~2 b~2 c~2)/(4△)。在△A＇B＇C＇中,同理可得ctgα＇=(m_a~2 m_b~2 m_c~2)/(4△)。据熟知的结论,有 m_a~2 m_b~2 m_c~2=3/4(a~2 b~2 c~2), △＇=(3/4)△, ∴ctgα=ctgα＇。 又α、α＇∈(0,π/2),故α=α＇。  相似文献