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杨辉三角在三维空间的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
由二项式（ａ＋ｂ）ｎ（ｎ＝１，２，３……）展开式中的系数所构成的“杨辉三角形”里蕴藏着许多组合恒等式，还有着许多不为一般人熟悉的其他的性质和作用。 由（ａ＋ｂ＋ｃ）ｎ（ｎ＝１，２，３，４……）三项式展开式中的系数也可以构成一个“三角”，不过它是三维空间的“三维锥体”。为了方便记述我们用１Ｃｋｎ（ｋ，１是非负整数，且０≤１＋ｋ≤ｎ）表示这样当ｒ＝０时，恰为二项式系数。三项式定理：（ａ＋ｂ＋ｃ） 若将其系数按ａ，ｂ，ｃ的幂次升降规律排起来为： 这一“三角”只是三项式（ａ＋ｂ＋ｃ）”展开式中系数的“第ｎ… 相似文献
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在数学解题中；经常碰到已知条件为ａ＋ｂ＋ｃ＝０，求取值范围、最值等问题，这时若把此条件转化为不等关系ｂ＾２≥４ａｃ（因ｂ＾２－４ａｃ＝［—（ａ十ｃ）］＾２—４ａｃ＝（ａ—ｃ）’≥０）去解题，往往能收到事半功倍之效，下面举例说明． 相似文献
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不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１ 已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥… 相似文献
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李毅 《中学数学教学参考》1996,(12)
利用均值不等式求函数极小值问题的探索西安教育学院李毅我们知道，利用均值不等式ａ＋ｂ＋ｃ≥３３ａｂｃ求函数的极值，必须满足三个条件：（１）ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋；（２）ａ·ｂ·ｃ＝Ｐ（定值）（或ａ＋ｂ＋ｃ＝Ｓ（定值））；（３）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，函数有极小... 相似文献
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性质１若｛ａｎ｝成等差数列,公差为ｄ,则｛ｋａｎ＋ｂ｝也成等差数列,公差为ｋｂ．（其中ｋ≠０,ｋ,ｂ是实常数）例１已知ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,求证１ｂ＋ｃ,１ｃ＋ａ,１ａ＋ｂ亦为等差数列．（高中代数〈必修〉下册１２８页题６）证明：由已知,ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,由性质１,ａ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｂ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｃ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ成等差数列,即（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）,（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ）,（ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ）成等差数列．又有（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）,（… 相似文献
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对课本上一道习题的修正甘肃省商业学校唐文玲高中《代数》（必修）下册复习参考题六第７题为：已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ成等比数列，求证：（１）ａ＋ｂ，ｂ＋ｃ，ｃ＋ｄ成等比数列；（２）（ａ－ｂ）２＝（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２＋（ｄ－ｂ）２．结论（１）是不对的，因为... 相似文献
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数的性质是从运算中表现出来的．由于对立或者统一的缘故，使一些成对的数在某种运算中相遇后，表现出许多奇异的性质来，我们把具有这样性质的数对称为对偶数．比如：ａ＋ｂ与ａ－ｂ就是一对典型的对偶数．本文试图对构造对偶数（式）解题作肤浅的探讨．先看下面的例子：例１ 求证（ａ＋ｂ）２≤２（ａ２＋ｂ２）．证明 （ａ＋ｂ）２≤（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２＝２（ａ２＋ｂ２）．这里构造了（ａ－ｂ）２，思路顺畅，方法简单．例２ 求（ｘ＋２）２ｎ＋１展开式中ｘ的整数次幂项系数之和．解 构造对偶数（２－ｘ）２ｎ＋１，由二项… 相似文献
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二次函数和解三角形的关系贺多旦已知三角形两边ａ、ｂ和角Ａ（０＜Ａ＜π），求边ｃ。我们可以用余弦定理ｃ２－（２ｂｃｏｓＡ）ｃ＋ｂ２＝ａ２来求解，这是一个关于ｃ的一元二次方程的求根问题。据此，我们可以建立一二次函数ｙ＝ｘ２－（２ｂｃｏｓＡ）ｘ＋ｂ２－ａ２... 相似文献
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④整式运算与乘法公式 一、复习要点 １．整式的基本概念： ｒ单项式：系数、次数；同类项： 整式 多项式：次数、项数、常数项；多 项式的降（升）幂排列． ２．整式的运算法则 整式加减＿＿＿＿＿＿＿＿＿整式乘法：幂的运算ａｍ·ａｎ＝＿＿ （ａｍ）ｎ＝＿＿单×单：（ａｂ）ｎ＿＿＿＿＿＿＿（ｍ、ｎ）多×单（ａ＋ｂ＋ｃ）ｍ＝＿＿＿＿多×多（ｍ＋ｂ）（ａ＋ｂ）＝＿＿＿．整式除法：幂的运算：ａｍ÷ａｎ＝＿＿＿单÷单：＿＿＿＿＿多÷单：＿＿＿＿＿ ３．乘法公式（正确掌握，灵活运用）： ①平方差公式：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）… 相似文献
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孙建斌 《中学数学教学参考》1999,(11)
定理 设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则 ２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形… 相似文献
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浅析学生学习数学时的潜在假设及其成因与教学对策卢开明（江苏省姜堰市二中２２５５００）一、问题的提出学生在解数学问题时，经常会出现一些错误，这些错误的产生，不能单纯地用“粗心”加以评判．试看以下例题．例１已知ａ＋ｂｃ＝ｂ＋ｃａ＝ａ＋ｃｂ，求ａ＋ｂｃ的值... 相似文献
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巧用等比性质，可使许多问题变得简单易解，下面举例说明之．例１ 已知ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，求ｂａ的值．解 ∵ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，∴ ｂａ＝ａ－ｃ＋ｃ＋ｂｂ＋ａ＋ｂ＋ａ＝ａ＋ｂ２（ａ＋ｂ）＝１２．例２ 已知ｃｔｇα＝２，求ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα的值．解 ∵ｃｔｇα１＝２１＝ｃｏｓαｓｉｎα，∴ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα１＋１＋ｓｉｎα＝２，即ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα＝２．例３ 求ｎ３ｎ－９ｎ＋２７ｎ５ｎ－１５ｎ＋４５ｎ的值．解 ∵３ｎ５ｎ＝－９ｎ－１５ｎ＝２７ｎ４５ｎ＝３… 相似文献
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(ａ+ｂ) ｎ二项展开式有 (ｎ+ 1)项 ,(ａ +ｂ+ｃ) ｎ三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出 :[(ａ+ｂ) +ｃ]ｎ =Ｃ0 ｎ(ａ +ｂ) ｎｃ0 +Ｃ1ｎ(ａ +ｂ) ｎ- 1ｃ1+…+Ｃｒｎ(ａ +ｂ) ｎ-ｒｃｒ+… +Ｃｎｎ(ａ +ｂ) 0 ｃｎ,其展开式共有 (ｎ + 1) +ｎ + (ｎ - 1) +… + 2 + 1=(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 项 .那么 (ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｍ) ｎ展开式又有多少项呢 ?观察是思维的入口 ,是解题的第一能力 .从五光十色的交叉干扰信息中 ,能迅速找到自己需要的要点 ,这是观察能力中最基础、最珍贵的直觉思维能力 .观察上式结论 :(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 =Ｃ… 相似文献
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引导学生开展“一题多解，一题多证”的训练和探究，必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，启迪他们的创新思维，培养数学综合能力，进而提高他们的数学素质． 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例，从九个方面研究其证明的策略和技巧． 题（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题）设 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证；ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１／３１ 代入法 证１ 注意恒等式 ３（ａ２十ｂ２十ｃ２）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋（ａ－ｂ）２十（ｂ ｃ）’＋（ｃ ａ）’将已知ａ＋ｂ＋ｃ二ｌ代人得 ３（ａ’＋ｂ‘＋ｃ’）二１：… 相似文献
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三元均值不等式的加强及其应用 总被引：2，自引：0，他引：2
安振平 《中学数学教学参考》1998,(10)
高中《代数》下册给出的三元均值不等式是：如果ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,那么ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ,①当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时取“＝”号．此不等式可加强为：定理如果ａ,ｂ,ｃ≥０,那么ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ＋ａ（ｂ－ｃ）２＋ｂ（ｃ－ａ）２＋ｃ（ａ－ｂ）２．... 相似文献
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严琪 《中学数学教学参考》1996,(7)
课本变式题库高中部分原型如果ａ，ｂＥＲ”，且ａ一ｂ，求证ａ’＋ｂ‘＞ａ‘ｂＭａｂ‘．（高中《代数》下册Ｐ．１３例９）变式卫已知ａ，ｂ，ｃｅＲ“，且两两不等，求证２（ａ’＋ｂ’＋ｃ’）＞ａ‘（ｂ＋ｃ）＋ｂ’（ａ＋ｃ）４ｃ’（ａ＋ｂ）．（此题是高中《代数... 相似文献
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一道课本习题的引伸与一道名题的妙证张贝斌（甘肃省金昌市一中７３７１００）题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．（１）这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原... 相似文献
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一试一、选择题（满分３６分,每小题６分）１．设ａ＝１０１９９８＋１１０１９９９＋１,ｂ＝１０１９９９＋１１０２０００＋１,ｃ＝１０２０００＋１１０２００１＋１,则ａ、ｂ、ｃ的大小关系是（）．Ａ．ａ＞ｂ＞ｃＢ．ｂ＞ｃ＞ａＣ．ａ＞ｃ＞ｂＤ．ｃ＞ｂ＞ａ２．... 相似文献
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课本上一道习题的一般形式金昌市一中张斌贝高中《代数》（必修）下册习题十五第１９题（２）是：已知：ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，求证：（ａ＋ｂ＋ｃ＋）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）≥９ａｂｃ。此题启发我们思考下列命题。命题１．若ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ＋，则（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ... 相似文献