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1.
在数学竞赛和数学杂志中，常常可以看到一些高难度的分式不等式的证明问题．我们通常用柯西不等式推论证明，然而若用“α^2/b≥2λα-λ^2b（α,b∈R^＋）”来证明，则可以得到一种统一的解法且简单易行，还能解决更多的分式不等式的试题．下面举例说明． 相似文献
2.
由基本不等式a~2 b~2≥2ab,得 a~2≥2ab-b~2, 当b>0时,有 a~2/b≥2a-b (*) 当且仅当a=b时取等号. 不等式(*)的特点是左边为分式,右边为整式,因此在处理一类分式不等式问题时用途较大,举例如下: 例1 设a,b,c∈R~ ,求证 证明 由不等式(*)可得 相似文献
3.
一类分式不等式的证明常见于数字竞赛题及问题征解题，它的特点是不等式式子一边各项形如a^2/b(a^3/b、a^3/bc等)的形式，如果匹配因子λb(λab、λb λc等)，利用a^2 λb≥2√λa(a^3/b λab≥2√λa^2、a^3/bc λb λc≥33√λ^2a等)，就可消去分式中的分母，再根据等号成立条件求出λ．可得这一类分式不等式的简 相似文献
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5.
李运才 《中学生数理化(高中版)》2005,(10)
(a2+b2)/2≥((a+b)/2)~2(人教版第二册第11页第1题)是一个很重要的不等式,证明它有很多方法,用它可以求某些式子的最值,并且可以证明一些不等式,下面给出几种有关它的证明方法以及它的一些应用. 相似文献
6.
由不等式a2 + (λb) 2 ≥ 2λab(a,b∈R ,λ为参数 ) ,得a2 ≥ 2λab-λ2 b2 .由此得到如下一个推论 :若b >0 ,则a2b ≥ 2λa-λ2 b. ( )对于参数λ的任一实数值 ,不等式 ( )总是成立的 ,当且仅当λ =ab 时 ,取等号 .值得重视和有趣的是应用这个不等式可以简捷、巧妙地证明一类分式不等式 .现举例说明 .例 1 设xi >0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1xi(xn+1 =x1 ) .证明 由xi >0及 ( ) ,得x2 ixi+1≥ 2λxi-λ2 xi+1 .∴∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1(2λxi-λ2 xi+1 )=(2λ -λ2 ) ∑ni=1xi.取λ=1 ,原不等式得证 .例 2 设… 相似文献
7.
用一个新不等式证明一类分式不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
新不等式是 :若Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,则Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ . ( )证明 因Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,依基本不等式得Ａ2(Ｂ) 2 (λＢ) 2 ≥ 2· ＡＢ·λＢ =2λＡ ,∴ Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1 设ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 是正实数 ,求证 :ｘ21 ｘ2 ｘ22ｘ3 … ｘ2 ｎｘ1≥ｘ1 ｘ2 … ｘｎ.( 1984年全国高中联赛题… 相似文献
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再谈分式不等式证明中的代换法 总被引：2，自引：0，他引：2
笔者在文[1] 中介绍了用分母代换法证明分式不等式的方法 ,作为其续篇 ,这里再介绍用分子代换 ,分式代换以及整体代换来证明分式不等式的思想方法 ,以便我们对证明分式不等式有一个较完整的思想方法体系 .1 分子代换如果所证不等式的分子比分母复杂 ,那么应考虑将分子代换 .例 1 (《数学教学》问题栏第 5 48题 )已知三角形的三边为a、b、c ,求证 : b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc >22 .证明 设b+c -a=x ,c +a-b=y ,a +b-c=z ,则x、y、z>0 ,且a =y +z2 ,b =z +x2 ,c =x+ y2 ,于是b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc=2xy+z+ 2 yz+x+ 2zx+ y=2 xx… 相似文献
9.
不等式证明是竞赛题中的重点和难点.本文针对几道国际竞赛题的特殊形式,通过添项变形利用b2/a+a≥2b(a,b∈R+)这一简捷不等式给出巧妙解法. 相似文献
10.
刘雪英 《数理天地(高中版)》2006,(5)
有一类分式不等式的证明在数学竞赛中经常出现,它的特点是不等式的一边各项形如 a2/(a±b)、a2/(b±c)、a/(a±b)或a/(b±c)的式子,通过构造向量并利用|a|·|b|≥|a·b|,可得到这类分式不等式的简捷证法,且构造向量的方法思路单一,操作简便,现举例说明． 相似文献
11.
不等式的证明是中学数学的一个难点,分式不等式的证明更为困难.本文提供了利用均值不等式配对证明一类分式不等式的思路. 一、如果不等式是形如sum form n to i=1 Ai2/Bi≥M的形式,且Ai,Bi(i=1,2,…,n),M均为正数,则可对Ai2/Bi配上Bi·P,成对利用均值不等式和不等式的基本性质证明. 例1 设a,b,c∈R+,求证:a2/(b+c)+b2/(c+a)+c2/(a+b)≥(a+b+c)/2. 证明:由a2/(b+c)+(b+c)/4≥a,b2/(c+a)+(c+a)/4≥b,c2/(a+b)+(a+b)/4≥c.上面三式相加得求证不等式. 相似文献
12.
蒋明斌 《中学数学研究(江西师大)》2006,(5):F0004-F0004
2004年中国台湾数学奥林匹克集训营第4题为:设正实数 a,b,c 满足abc≥2~9,证明:1/((1 a)~(1/2)) 1/((1 b)~(1/2)) 1/((1 c)~(1/2))≥(?)(1).文[1]用高等数学的知识作出证明,过程较复杂;文[2]给出了两个简证,其实并不简单.下面用柯西不等式给出一个简证.证明:设 abc=λ~3,a=λ(yz)/x~2,b=λ(zx)/y~2,c=λ 相似文献
13.
王兆华 《中学数学教学参考》1994,(8)
不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2). 相似文献
14.
a b/2>(ab)~(1/2)作为最基本的不等式,其最常规的代数证明法已为人们所熟知,是否有其他的证明方法或技巧呢?在通过一定的研究后,向大家推荐一种用特定的几何图形为依据,对这一不等式及其延伸式的证明方法,供大家参考. 相似文献
15.
姜坤崇 《河北理科教学研究》2021,(4):55-57
2005年罗马尼亚的一道数学竞赛题为:已知a、b、c为正实数.证明:a+b/c2+b+c/a2+c+a/b2≥2(1/a+1/b+1/c).
这是一道关于三个变元a、b、c对称的分式不等式,从这个不等式出发,将其引申拓广,可得两个有趣的无穷长的代数不等式链,即有以下两个命题中的不等式链成立. 相似文献
16.
本文以熟知的不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2(统编高中《数学》第三册66页习题三第5题(3))为例,谈谈它的推广与应用。 (一) 不等式半(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的证明非常容易(略),细心观察其两边的结构特征,可以联想到三个实数的平方的算术平均数不小于这三个实数的算术平均数的平方,进一步还可猜想到n个实数的平方的算术平均数的一般情形,进而通过证明得出以下几个推论: 相似文献
17.
(本讲适合高中)
1知识介绍
本文主要讲解均值不等式中的待定系数技巧,所需要用的知识十分基础,从熟知的不等式a、b≥0,2√ab≤a+b出发.事实上,可以待定一个系数λ＞0,有2√ab(≤)λa+1/λb.这一简单的小技巧,有时会给解题带来极大的帮助,当是n元均值不等式时,相应地可以待定多个系数.本文还讲了著名的Car... 相似文献
18.
获得了A调查和函数λλr3(λ1,λ2,Ω)的一种局部加权Poincar啨不等式.该不等式可用来估计各种不同形式的积分. 相似文献
19.
根据向量数量积的定义：a·b=｜a｜｜b｜cosθ ，易得向量不等式｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a,b同向，共线即b=λa（λ〉0）时取等号）。此不等式结构简单，形式优美，内涵丰富，利用它可巧妙地解决一类求函数最值和不等式证明问题。下面举例说明它的一些应用。 相似文献