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<正>在一次九年级数学考试中,试卷有这样一道试题：若W=2x2-4xy+5y2+4x-2y+3,且x,y为实数,则W的最小值是__.不少同学是这样解答的：W=(x2-4xy+4y2)+(x2+4x+4)+(y2-2y+1)-2=(x-2y)2+(x+2)2+(y-1)2-2.∵(x-2y)2≥0,(x+2)2≥0,(y-1)2≥0,∴W的最小值是-2.这是一道二元函数最值问题,是典型的代数推理题.解答时, 相似文献
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题目（2013年高考湖北卷·理13）设x,Y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=——.解法1（柯西不等式）因为x2+y2+z2=1,x+2y+3z=141/2,所以利用柯西不等式得（12+22十32）·（X2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2,即14≥14,说明不等式等号条件成立,故1/x=2/y=3/z.令1/x:2/y:3/z:1/k,则x=k,Y=2k,z=3k,将其代入x+2y+3z=141/2,得k=14{1/2),即x+y+z=6k=141/3. 相似文献
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李云杰 《中学数学研究(江西师大)》2022,(1)
试题呈现设x,y,z>0且满足x2+y2+z2=3,求证xyz(x+y+z)+2021≥2024xyz①.式①形式简洁优美,四川成都西华中学的张云华老师给出了如下证明:由基本不等式得x2+y2+z2≥33√x2y2z2,则33√ x2y2z2≤3,04√xyz·1/xyz+2020xyz=2024xyz. 相似文献
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<正>1试题呈现(连云港中考第16题)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x,y为实数),则W的最小值为_____。2解法探究思路1整体思想+配方法把2x—y看作一个整体,利用完全平方式进行配方。解法1:W=4x2-4xy+y2+4x-2y+1+x2+4x+2=(2x-y)2+2(2x-y)+1+(x+2)2-2=[(2x-y)+1]2+(x+2)2-2,显然当(x+2)2=0且[(2x-y)+1]2=0,即x=-2,y=-3时,Wmin=—2。思路2主元思想+配方法 相似文献
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查正开 《数理化学习(高中版)》2013,(8):10-11
在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=（14）1/2,则x+y+z=<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2,因为x2+y2+z2=1,所以（x+2y+3z）2≤14,即得x+2y 相似文献
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朱冬茂 《数理天地(高中版)》2008,(8)
1.利用"1=1n"例1设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,求证:x2+y2+z2+2（3xyz）1/2≤1.分析注意到原不等式左、右边式子中指数的差异及条件x+y+z=1,故把不等式右边的"1"构造为1=12=（x+y+z）2.证明原不等式可转化为 相似文献
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<正>令s=x+y+z,p=xy+yz+xz,q=xyz,则三元轮换对称式f(x,y,z)都可以用s,p,q表示。本文举例说明spq代换在数学竞赛中的应用。1一组常见的spq恒等式(1)x2+y2+z2=s2-2p;(2)(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)·(x+y)=s2+p;(3)x3+y3+z3=s3-3sp+3q;(4)(x+y)(y+z)(z+x)=sp-q;(5)xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=sp-3q;(6)x2(y+z)+y2 (z+x)+z2 (x+y)=sp-3q;(7)x2y2+y2z2+z2x2=p2-... 相似文献
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《中学数学教学》2020,(4)
<正>文[1]编入两道关于不定方程的习题:(1)证明x3-y3-y3=xy+1993无正整数解;(2)求x3=xy+1993无正整数解;(2)求x3-y3-y3=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x3=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x3+y3+y3+z3+z3-3xyz=k(x3-3xyz=k(x2+y2+y2+z2+z2)+d(1)x2)+d(1)x3+y3+y3+z3+z3-3xyz=k x(y+xz+yz)+d(2)其中k、d∈Z,因对称性,约定方程⑴和方程⑵中x、y、z的值任意轮换时所得诸解为同一组解. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(3)
<正>1.忽视变量的范围例1已知x,y∈R且3x2+2y2+2y2=6x,求x2=6x,求x2+y2+y2的最大值。错解:由3x2的最大值。错解:由3x2+2y2+2y2=6x→y2=6x→y2=6x-3x2=6x-3x2/2,所以x2/2,所以x2+y2+y2=x2=x2+6x-3x2+6x-3x2/2=-1/2x2/2=-1/2x2+3x=-1/2(x2+3x=-1/2(x2-6x+9)+9/2=-1/2(x-3)2-6x+9)+9/2=-1/2(x-3)2+9/2。所以(x2+9/2。所以(x2+y2+y2)_(max)=9/2。错因剖析:由(x2)_(max)=9/2。错因剖析:由(x2+y2+y2)_(max)=9/2知x=3, 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(5)
<正>历年高考中,对转化思想的考查均占有相当重要的地位,下面结合近几年江苏高考数学试题,谈谈"转化"策略的运用。一、多元(或高次)向低元(或低次)转化一些较复杂的数学问题,通过变量替换使问题转化,会产生化繁为简、转暗为明的效果。例1设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则y2/xz的最小值是___。 相似文献
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高考原题（2011年高考浙江理科卷第16题）设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是<sub><sub><sub><sub><sub>,难度系数0.78利用重要不等式求最大值解法1∵1=4x2+y2+xy≥2·2xy+xy=5xy,∴xy≤1/5.令t=2x+y,则t2=（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1-xy+4xy=1+3xy≤1+3/5=5/8,所以2x+y的最大值是2(101/10). 相似文献
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1.函数与方程的思想例1过点P(-31/2,0)作直线l与椭圆（x2/4）+（y2/3）=1相交于A、B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积的最大值.分析设l:x=my-31/2,代入椭圆方程消去x,得（3m2+4）y2-6 31/2my-3=0. 相似文献
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王晓敏 《中学数学研究(江西师大)》2022,(1)
在2019年版高中数学教材选择性必修第一册第二章《直线与圆》中,第98页中有如下几道关于圆的方程的问题.题1求经过点M(2,-2)以及圆x2+y2-6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程.题2求圆心在直线:x-y-4=0上,并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程. 相似文献
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一、注重"双基"的考查例1 (2008年江苏卷)设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则(y~2)/(xz)的最小值是____.解析由已知有(y~2)/(xz)=(((x+3z)/2)/(xz))~2=(x~2+9z~2+6xz)/(4xz)≥(6xz+6xz)/(4xz)=3,当且仅当x=3z时等号成立.故答案 相似文献
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王增强 《数理天地(高中版)》2008,(10):11-11
例1解方程3x-21/2+x+31/2=3.解由3x-21/2+x+31/2=3,得3x-21/2+x+31/2=2×3/2,所以3x-21/2,3/2,x+31/2成等差数列,不妨设公差为d,于是有 相似文献
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姜波 《数理化学习(高中版)》2013,(8):13-14
函数的值域是函数的三要素之一,也是三要素中的难点和重点,和函数的最值有着密切的联系,因此,如何求它就显得特别重要,本文介绍了求函数值域常用的几种方法及其具体的应用.一、利用已知的函数模型1.观察法."直线类,反比例函数类"用此方法.2.配方法.利用的是二次函数的模型,采用配方与函数的图象相结合的方式求值域.适合的题型是二次型函数y=Af2（x）+Bf（x）+C,这种方法要注意的是其结构是同一个函数中具备一个函数和这个函数的平方的关系,如:x与x1/2,e2x与ex等.例1求y=（-x2-6x-5）1/2的值域.解:设μ=-x2-6x-5,则μ≥4;μ=-x2-6x-5=-（x+3）2+4≤4;又μ≥0,所以0≤μ≤4.μ1/2∈[0,2],所以值域 相似文献
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聂生庚 《中学数学研究(江西师大)》2013,(6):35-36
2008年同济大学自主招生有这样一道试题:在实数范围内求满足方程组（?）的实数x,y,z的值,对于学习过竞赛的同学来讲,利用柯西不等式解答会比较得心应手,其解答如下:由Cauchy不等式,39=-8x+6y-24z≤（-8）2+62+（-24）2(1/（-8）2+62+（-24）2·x2+y2+z2(1/x2+y2+z2=6761/676 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2018,(6)
<正>高中数学有四大基本思想,数形结合是其中之一。其实数形结合就是抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,使抽象问题直观化。我国著名数学家华罗庚也说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。"例如,如果实数x,y满足(x-2)2+y2+y2=3,求y/x的最大值和最小值。这道题的标准解法是先设y/x=n,与(x-2)2=3,求y/x的最大值和最小值。这道题的标准解法是先设y/x=n,与(x-2)2+y2+y2=3这个圆的方程联立,转化成 相似文献