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以圆锥曲线准线上的两点为直径端点的圆称之为准线圆,本文给出准线圆的一个有趣定点性质,介绍如下.定理设A1,A为横向型圆锥曲线对称轴上的两顶点,P是曲线上不同于A1,A的一个动点,直线PA1,PA与同一条准线分别交于M1,M两点,则以线段M1M为直径的圆必经过曲线与该准线相应的焦点及曲线外的一个定点.证明以圆锥曲线对称轴所在直线为x轴,F为坐标原点建立直角坐标系.设焦点F到相应准线l的距离为p,则F(0,0),准线l的方程为x=-p.设R(x,y)是圆锥曲线上的一点,它到准线的距离为d,则由题设及圆锥曲线统一定义得|PF|d=e|PF|2=d2e2x2 y2=e2(x p)2.… 相似文献
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朱允洲 《数学学习与研究(教研版)》2015,(3):113+115
2013年江苏一道高考题是关于函数y=1/x(x>0)图像上一动点与直线y=x上的定点之间的距离的最小值问题,本文将函数y=1/x(x>0)进行了推广,即介绍了双曲线、椭圆和抛物线上的动点P与其对称轴x轴上的点A(m,0)之间的距离|AP|的最小值问题,通过推导发现|AP|min随着m的变化而变化,点P的个数及其在圆锥曲线上的位置均与m的临界值(椭圆、双曲线是ce,抛物线是焦参数p)有关,推广了高考题中原有的相关结论. 相似文献
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任殿宏 《中学生数理化(高中版)》2004,(5):13-13
题目 点P与点F( 2 ,0 )的距离和与直线x =8的距离的比是 1∶ 2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .解法 1:设P(x ,y)是轨迹上的任意一点 ,它到直线x =8的距离为d ,则|PF|d =12 ,即(x -2 ) 2 y2|x -8|=12 .两边平方、整理得x2 2y2 8x =5 6,也就是(x 4 ) 272 y23 6=1.这就是所求动点P的轨迹方程 ,它表示一个中心在 ( -4 ,0 ) ,焦点为F′( -10 ,0 ) ,F( 2 ,0 ) ,长轴长是 12 2的椭圆 ,如图所示 .解法 2 :根据椭圆的第二定义知所求动点P的轨迹是一个椭圆 ,其焦点在x轴上 .因为焦点F( 2 ,0 ) ,准线x =8,所以c=2 ,a2c=8,解得a2 … 相似文献
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徐英新 《数学大世界(高中辅导)》2005,(10)
二册(上)17·3中例11(1):求点P(-1,2)到直线l:2x y-10=0的距离d.通过对点到直线距离的概念的理解会得到多种解法,其中本文给出以下几种.解法1:由点到直线的距离公式求解d=|2×(-1) 2-10|22 12=150=25解法2:由点到直线的距离的定义求解过点P作直线l的垂线,垂足为A,则直线PA的方程是:x-2y 5=0与2x y-10=0联立得x=3,y=4所以A(3,4)P到直线l的距离即为线段PA的长度PA=(-1-3)2 (2-4)2=20=25解法3:由点到直线的距离和两条平行直线间距离的关系求解过点P作l的平行线l′:2x y=0则P到直线l的距离即为l与l′之间的距离所以d=|0-(-10)|22 12=105=2… 相似文献
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命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1 证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2 画法已知点 P和⊙ … 相似文献
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<正>有些动直线恒过定点,解题时若能从定点入手,往往可起到"点"到路开、化难为易的功效.下面笔者通过例题介绍动直线恒过定点在解题中的应用.例1(2014年四川高考题)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA||PB|的最大值是.解直线x+my=0过定点A(0,0).直 相似文献
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各种数学资料中 ,经常出现如下一类问题 :点 M为圆锥曲线上一动点 ,求它到圆锥曲线的一个焦点 F和平面上一定点 A的距离和的最值 .大多数学生对这类问题感到困难 ,不知如何入手 .本文利用圆锥曲线的定义巧妙地求出这类问题 .1 椭圆、双曲线、抛物线中的有关结论1.1 椭圆结论 1 设椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a >b>0 )的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,平面上一定点 Q(x0 ,y0 ) ,M为椭圆上任意一点 .(1)定点 Q(x0 ,y0 )在椭圆内部 (即 x20a2 + y20b2<1) ,则 | MF2 | + | MQ|的最小值是 2 a -| QF1 | ;最大值是 2 a + | QF1 | .(2 )定点 Q(x0 ,… 相似文献
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在圆锥曲线中.以双曲线的性质最难为。现在谈谈双曲线教学中的几个问题。一、双曲线的渐近线: 1.双曲线渐近线的证明: 全国统编教材高中《数学》课本第二册中,引入双曲线的渐近线时,是根据平行于y轴的直线与双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1及直线y=±(b/c)x的交点间的距离随|x|无限增大而无限接近来说明的(参看该书第136页)。但据我认为,若利用双曲线上的点(动点)到直线y=±(b/a)x的距离随|x|无限增大而无限接近(但永远不会相交)进行证明,则更能确切地反映曲线的渐近线的定义的实质,因而从 相似文献
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陈国光 《中学生数理化(高中版)》2010,(4):90-90
高中数学圆锥曲线有椭圆、双曲线、抛物线.按其定义,平面内两定点为F1,F2,当动点P到点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)时,点P的轨迹为椭圆.椭圆的第二定义:平面内到定点F的距离与定直线l的距离的比是常数e(0相似文献
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鄢志俊 《数理天地(高中版)》2002,(6)
圆锥曲线定义是推导圆锥曲线方程的依据,也足解题的方法.面对一个解析几何题首先要想:“可否用圆锥曲线定义?”由此,往往町以发现快捷的通道.例1 点M与点F(0,5)的距离比它到直线y+6=0的距离小1,求点M的轨迹方程.解由题意知,点M到点F(0,5)的距离与它到直线y+5=0的距离相等,故点M的轨迹为抛物线,焦点为(0,5),准线为直线y+5=0,其方程为x2=20y. 相似文献
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1抛物线天下一家解析几何中,方程y2=2px的图形称抛物线;函数中,二次函数y=ax2的图象也称抛物线.于是发问:这2种抛物线是一家人吗?图1例1二次函数y=41x2 1的图象如图1.试探索,平面上是否存在这样的定直线l和定点F,使得图象上任何一点P(x,y)到F的距离与到l的距离相等?解法1(配方法)由等式y=41x2 1两边乘以4并移项:x2-4y 4=0,两边同时加上y2,得x2 (y-2)2=y2,两边开平方,同取算术根,得x2 (y-2)2=|y|,(※)用距离公式看待式(※),此式表明抛物线上动点P(x,y)到定点F(0,2)的距离与到定直线y=0的距离相等.二次函数y=41x2 1的图象可视为:到定点(0,2)… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(9)
<正>直线方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离公式,以及对称问题是研究解析几何的基础,因而也是高考重点考查的对象,本文就直线方程在解题中的应用进行探究。例1过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()。 相似文献
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笔者在圆锥曲线的教学中发现学生常因疏忽出错,本文例举了一些常见的错误解法并进行错因剖析,希望能给同学们一些帮助.一、思维定势,产生错解例1已知动点P(x,y)到定点A(2.0)的距离与它到定直线l:x=8的 相似文献
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圆的定义为:平面内与定点距离等于定长的动点轨迹。 这告诉我们,平面内动点相对于定点,(或定直线)的运动可形成某些特殊曲线,下面根据发散思维探索它们能产生哪些曲线。 1.平面内与两定点F_1、F_2距离相等的动点轨迹是线段F_1、F_2的垂直平分线。证略。 2.平面内到两定点F_1、F_2距离之和为常数（大于|F_1、F_2|）的动点轨迹是椭圆。 3.平面内到两定点F_1、F_2距离之差的绝对值为常数(小于|F_1F_2|)的动点轨迹是双曲线。 4.平面内到两定点F_1、F_2距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点轨迹是圆。 略解 以F_1、F_2连线为x轴,线段F_1F_2的垂直平分线为y轴,设F_1(-c,0）,F_2(c,0)则由题意有 相似文献
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第1点直线方程及位置关系()必做1动点M(x,y)满足(x-sinα)2+(y-cosα)21/2=|xsinα+ycosα-1|(其中α为常数),那么动点M的轨迹是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线牛刀小试精妙解法动点M(x,y)的几何意义是到定点P(sinα,cosα)的距离等于到定直线l:xsinα+ycosα-1=0的距离,又P∈l,所以点M的轨迹是过P且垂直于l的直线.故选A.()必做2数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、 相似文献
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我们知道,参数方程是解析几何中的一个难点,而直线的参数方程及其应用又是该章节的重点,因此,深刻系统全面地对直线的参数方程及其应用进行分析是十分必要的.在平面直角坐标系中,经过定点P_0(x_0,y_0),倾角为α(0≤α≤π)的直线(如图)的参数方程是x=x_0 tcosα y=y_0 tsinα其中t是参数.它的几何意义是:|t|的大小等于定点P_0(x_0,y_0)到动点P(x,y)的距离,而t表示有向线段P_0P的数量,P点在P_0点的上方t为正,P点在P_0点的下方t为负. 相似文献
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在求圆锥曲线轨迹方程时用定义解题既方便又快捷 ,但有时审题不清 ,思考不严密 ,造成解题错误 .现举例说明以便引起重视 .例 1 动点 P到直线 x =5的距离与它到点 F ( 1,0 )的距离之比为 3 ,求动点的轨迹方程 .错解 :由定义知 ,点 P的轨迹是椭圆 ,所以 e=33 ,c=1,a2c=5 ,所以 a2 =5 .所以 b2 =a2 -c2 =4.故所求方程为 x25 +y24=1.正解 :设 P( x,y) ,由题意得|5 -x|( x -1) 2 +y2 =3化简得 ( x +1) 212 +y28=1.例 2 已知双曲线的右准线 x =4,右焦点F ( 10 ,0 ) ,离心率 e =2 ,求双曲线方程 .错解 1:因为右准线方程为 x =4,所以 a2c=4,又 c… 相似文献
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我们先看一个例题 :例 1 已知动点 P在上半圆 x2 y2 =1(y≥ 0 )上运动 ,定点 Q(2 ,0 ) ,线段 PQ绕点Q顺时针旋转 90°到 QR,求动点 R的轨迹以及 R到圆心 O的距离的最大值和最小值 .这类问题的解法较多 ,较常规也较简单的解法是“复数法”:图 1先把圆方程改写成复数方程 :| z|= 1 ,设动点 P,R的复数为 z P,z R,定点 Q的复数为 z Q= 2 .再利用复数的向量旋转性质可得关系式 :(z R- z Q) i=z P- z Q,解得 z P=(z R- z Q) i z Q,代入圆的复数方程得| (z R- z Q) i z Q| =1 ,代入相关数据 ,并设动点 R(x,y) ,化为普通方程即是(x… 相似文献
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经文[1]~[4]的不断研究,文[4]得到了圆锥曲线定点弦与定直线相关性的如下两个性质:性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的过定点F(m,0)(m≠0,且m0,b>0)的过定点F(m,0)(m>a)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=a2/m.性质2抛物线y2=2px(p>0)的过定点F(m,0)(m>0)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=?m.本文将这两个性质推广到一般的情形,以更深刻揭示圆锥曲线的几何特征.定理过定点F(x0,y0)的两条动直线AC、BD分别与圆锥曲线相交于点A、B、C、D.设直线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则(1)当圆锥曲线为椭圆22ax2+by2=1(a>b>0),且F(x0,y0)不为坐标原点时,点M、N的轨迹都是定直线l:xa02x+yb02y=1;(2)当圆锥曲线为双曲线22ax2?by2=1(a>0,b>0),且点F(x0,y0)不为坐标原点时,点M... 相似文献