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1.
题目 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学第23(Ⅱ)题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3=2.证明:a+b≤2.
证法1不等式的变形.
因为a＞0,b＞0,a3 +b3=2,
所以a+b＞0,且(a-b)2≥0.
从而(a+b)(a-b)2≥0,即有
a2b+ab2≤a3 +b3=2.
不等式两边同乘以3得
3a2b+3ab2≤6.不等式两边同加a3+b3得
a3 +b3 +3a2b+3ab2≤8,即 (a+b)3≤8,所以a+b≤2.
证法2反证法. 相似文献
2.
一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常… 相似文献
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4.
同学们都知道,运用二元均值不等式a+b/2≥(ab)~1/2(或a+b≥2(ab)~1/2)可以求出以下两种情况下的最值:①若a·b为定值P,则当a=b时,a+b有最小值2(P)~1/2;②若a+b为定值S,则当a=b时,a·b有最大值1/4S2.初学这部分内容时,不少同学常常出现这样或那样的错误.牢记下面的三条纪律,有助于提高解题的正确率. 相似文献
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正人教版必修五给出了基本不等式a+b2≥槡ab(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.其变形有:(a+b2)2≥ab;a2+b2≥12(a+b)2.应用基本不等式的条件:①正数;②和定或积定;③相等.基本不等式的一个应用就是求最值.有以下四类问题:一、隐含积定型若a0,b0且a+b的和为定值p,则积ab有最大值ab≤p24.例1已知x0,求y=x+1x的最小值.解y=x+1x≥21x·槡x=2.(当且仅当x=1x时取"=")例2已知x1,求y=x+1x-1的最小值.解y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3.(当且仅当x-1=1x-1,x=2时取"=")变式已知x1,求y=x2-x+1x-1的最小值. 相似文献
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常家慧 《中学数学研究(江西师大)》2022,(3)
基本不等式设a≥0,b≥0,则a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时等号成立).最值原理设x>0,y>0.(1)若x+y=S(定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值S2/4;(2)若xy=P(定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最大值2√P. 相似文献
7.
本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p2/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值. 相似文献
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高中《数学》(试验修订本·必修)第二册(上)第11页习题6.2第1题是:求证:(a2+b)2≤a22+b2.将上述不等式变形可得a2+b2≥(a+2b)2.(*)不等式(*)可利用均值不等式直接证明,也可借助恒等式2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2及(a-b)2≥0证明.不等式(*)有着广泛的使用价值,本文略举数例加以说明.一、证明不等式【例1】设c是直角三角形的斜边,a、b是两条直角边,求证:a+b≤2c.证明:由题设得a2+b2=c2,由不等式(*)得c2=a2+b2≥(a+2b)2,即(a+b)2≤2c2,亦即a+b≤2c.【例2】己知a、b∈R+,且a+b=1,求证:a+21+b+21≤2.证明:由不等式(*)及已知有2=(a+21)+(b+21)≥(a+21… 相似文献
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高中教材中的基本不等式(a b)/2≥ab~(1/ab)(a≥0,b≥0)是证明不等式时经常要用到的,取等号的条件是“a=b”,我们称之为“元等”。若对于a b＝p(定值)当且仅当a=b＝p/2(定值)时,ab~(1/ab)才取得最大值。利用这一结论,我们可以证明一类不等式: 相似文献
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基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2. 相似文献
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数学科《考试说明》要求学生:1理解不等式的性质及其证明;掌握简单不等式的解法;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.2掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用.3理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.下面介绍高考不等式基础试题考点及解析.考点1 均值不等式定理简单应用例1 (1999年全国高考题)若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:运用均值不等式求和的最小值或积的最大值时,必须具备三个条件:各数为正;和或积为定值;等号应能成立.解:由均值不等式定理得ab=a+b+3≥2ab+3.即(ab+1)(… 相似文献
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林东生 《数学大世界(高中辅导)》2003,(11):24-26
众所周知,a+b=2A=a,A,b成等差数列,其中A叫做a和b的等差中项.由不等式的基本性质及基本不等式,不难得到如下若干性质:(证明较简单,略.) (1)当a+b=2A时,可设a=A-d,b=A+d; (2)A≥ab~(1/ab);(a,b∈R+,当且仅当a=b时取等号.) (3)1/A2≤1/ab; 相似文献
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黄殿海 《中学生数理化(高中版)》2008,(Z1)
a>0,b>0,(a+b)/2≥2(ab)~(1/2)是一个重要的基本不等式,可以求函数的值域.在应用时,务必注意其条件:一是a,b都是正数;二是定值条件,即和为定值或积是定值;三是相等条件,即a=b时取等号.当条件不具备时,需要进行适当的转化,现举例说明. 相似文献
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例 1 已知x >0 ,求函数 y =2x2 +3x的值域 .错解 ∵y=2x2 +3x=2x2 +1x +2x≥ 33 2x2 ·1x· 3x=3 3 6.故所求函数的值域为 [3 3 6,+∞ ) .剖析 由于方程 2x2 =1x =2x 无解 ,即等号不能成立 ,故求解错误 .正解 y=2x2 +3x=2x2 +32x+32x≥ 33 2x2 · 32x· 32x=323 3 6.故所求函数值域为 323 3 6,+∞ .例 2 已知 1≤a+b≤ 5 ,-1≤a-b≤ 3 ,求 3a -2b的取值范围 .错解 ∵ 1≤a+b≤ 5 ,①-1≤a-b≤ 3 ,②∴ 0 ≤ (a +b) +(a-b)≤ 8,∴ 0≤a≤ 4,③∴ 0 ≤ 3a≤ 12 ,又∵ 1≤a+b≤ 5 , -3≤-a +b≤ 1,∴ -2 ≤ (a +b) +( -a+b)≤ 6,∴ -… 相似文献
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不等式问题覆盖面广、综合性强 ,是当今各层次数学竞赛 (包括IMO)的热点和难点之一 ,而不等式问题的处理更以“多入口 ,方法巧”见长 .为了寻求规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分有关不等式问题试题 ,深入研究 ,发现许多问题都能采用柯西不等式加以简单地解决 .下面举例加以说明 .例 1 设a ,b ,c∈R+ ,求证 :ab+c+ bc+a +ca+b ≥ 32 . ( 1)( 196 3年莫斯科竞赛题 )证明 令A =a(b +c) +b(c +a) +c(a +b) =2 (ab +bc +ca) ,B =ab+c+ bc+a+ ca+b.由柯西不等式 ,有AB≥ (a+b +c) 2 ,根据基本不等式 ,有A ≤ 23(a+b +c) 2 .所以 ,B≥ 32 … 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(10)
<正>在学习过程中,同学们会经常遇到不等式问题,经过归纳总结以及分析感悟,我觉得对于高中阶段的不等式问题,只要掌握了基本不等式的性质及解法,其他问题都会迎刃而解。1.基本不等式:(1)a,b∈R时,a2+b2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号;其等价形式ab≤a2≥2ab,当且仅当a=b时取等号;其等价形式ab≤a2+b2+b2/2,当且仅当a=b时取等号。 相似文献
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<正>题目已知a,b,c>0且ab+bc+ca=3,证明∑cyc(a+b)3[2(a+b)(a2+b2)]13≥12①这是一道分式不等式的证明题,突破点自然聚焦在每个分式项的变形与放缩上.笔者经过思考,利用基本不等式(a+b)2≤2(a2+b2)与(a+b)2≥4ab获得几种证明. 相似文献
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朱保华 《第二课堂(小学)》2006,(11)
由于证明不等式的方法多种多样,因此它既是不等式这一章节的重点,也是高考命题的热点.为了提高同学们的发散思维能力及创新能力,本文特精选了一道例题,利用一题多解的形式来帮助同学们拓展解题思路.例题已知a、b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1a)(b+b1)≥245.证明一(综合法)因为a、b∈R+,且a+b=1,所以(a+1a)(b+b1)=(a+41a+43a)(b+41b+43b)≥(1+43a)(1+43b)=1+1261ab≥1+4(a2+1b)2=245.证明二(分析法)要证(a+1a)(b+b1)≥245,即证4(a2+1)(b2+1)≥25ab,也即证4a2b2+4a2+4b2+4≥25ab,整理得4a2b2+4(a+b)2-8ab+4≥25ab,即4a2b2-33ab+8≥0,即证(4ab-1)(ab… 相似文献