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1.
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)≤a1c1+a2c2+…+ancn(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和),当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和. 相似文献
2.
<正>设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)≤a1c1+a2c2+…+ancn(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和),当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和. 相似文献
3.
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，Cn是b1，b2，…，bn的任一排列， 相似文献
4.
丁兴春 《数理天地(高中版)》2004,(11)
设ak,bk,ck(1≤k≤n)均为正数,则有当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn,b1/c1=b2/c2=…=bn/cn,时等号成立.证明记 相似文献
5.
一个不等式的推广 总被引：3，自引：0，他引：3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
6.
洪恩锋 《数理天地(高中版)》2014,(10):33-35
习题设a1,a2,…,an为实数,b1,b2,…,bn为正数,求证：
a1^2/b1＋a2^1/b2＋…＋an^2/bn≥（a1＋a2＋…an）^2/b1＋b2＋…bn.
1．教材中
例1设a,b,c为正数．求证： 相似文献
7.
文[1]介绍了关于三角形边角关系的两个结论.实际上,在三角形中还有命题1设a,b,c为△ABC的三边长,当an,bn,cn(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且an,bn,cn(n∈N*)成等比数列.所以b2n=ancn,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.命题2设a,b,c为△ABC的三边长,当a1n,b1n,c1n(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且a1n,b1n,c1n成等比数列,所以(b1n)2=a1n·c1n.即b12=a1c,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.由命题1和命题2得定理设a,b,c为… 相似文献
8.
设两个实数数列{an}、{bn}: (1) 若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn, 则(1)/(n)∑ni=1aibi≥((1)/(n)∑ni=1ai)((1)/(n)∑ni=1bi); 相似文献
9.
黄道军 《中学数学研究(江西师大)》2003,(11):15-16
在文[1]中,先利用求多元函数的最值的方法,证明了结论"设a1、b1、c1、a2、b2、c2≥0且a1+b2=b1+c2=c1+a2=1,则a1a2+b1b2+c1c2≤1",接着又构造正三角形证明了该结论,并从这个角度将该结论推广到了"结论1设ai、bi≥0(i=1、2、…、n,n≥4)且a1+b1=a2+b2=…=an+bn=1,则 相似文献
10.
丁兴春 《数理天地(高中版)》2006,(3)
1．性质对于数列{an),{bn),由于 an=a1 (a2-a1) (a3-a2) … (an-an-1), bn=b1 (b2-b1) (b3-b2) … (bn-bn-1), 因此,(1)若a1=b1,且ak-ak-1=bk-bk-1 (k≥2),则有an=bn． (2)若a1≥b1,且ak-ak-1≥bk-bk-1 (k≥2),则有an≥bn． (3)若a1≤b1,且ak-ak-1≤bk-bk-1 (k≥2),则有an≤bn．从以上可以看出,要比较an,bn的大小,只要分两步完成:(1)比较a1,b1的大小;(2)比较 ak-ak-1,bk-bk-1(k≥2)的大小,以上两步比较一般地通过作差法来完成,下面举出几例． 相似文献
11.
《数学通报》2004年第3期《对一道不等式习题的再思考》一文中有如下猜想:若an bn=2,a,b∈R,n≥2,n∈N,则a b≤2,ab≤1.证明(1)若a,b中有一个为0时上述猜想显然成立.(2)当a>0且b>0时,由an bn2≥a b2n知a b2n≤1,所有a b≤2.且有ab=anbnn2≤an bn2n2=1.(3)当a<0且b<0时,此时显然有a b≤2.又由an bn=2知n必为偶数,则ab=｜a｜｜b｜=｜a｜n｜b｜nn2≤｜a｜n ｜b｜n2n2=an bn2n2=1.(4)当ab<0时,不妨设a>0,b<0,此时显然ab≤1成立.下证a b≤2,假设a b>2,当n为偶数时,由a b>2知a>2,则an>2n,又bn>0,则an bn>2n>2,这与an bn=2矛盾;当n为奇数时,由a b>… 相似文献
12.
文 [1 ]给出了 c d整除 c· an d· bn的一个充分条件 ,笔者通过对该条件的探讨 ,认为依此还可以得出 c- d整除 c· an d· bn,c±d整除 c· an- d· bn,c2±d2整除 c2· a2 n d2 · b2 n的一个充分条件 .定理 1 设 a,b,c,d是整数 ,n为正整数 ,c- d≠ 0 .n为奇数 ,且 c- d| a b,则 c-d| c·an d·bn.证明 c·an d·bn=c· an d· bn d· an- d· an=(c- d) an d· (an bn) .n为奇数时 ,an bn=(a b) (an- 1 - an- 2 b … bn- 1 ) .又 c- d| (c- d) an,故 c- d| can dbn.定理 2 设 a,b,c,d均是整数 ,n为正整数 ,c- d≠ 0 ,… 相似文献
13.
梅磊 《河北理科教学研究》2015,(3):38-40
高考试题,特别是压轴题,凝聚着命题专家的智慧,富含着数学的精神、思想和方法.剖析压轴题的命题背景是研究高考试题,发展解题水平的重要途经.笔者在研究高考试题时,发现2011年和2012年高考数学湖北卷理科压轴题共同的背景和内在的联系.
2011年高考数学湖北卷理科压轴题(以下简称题1)如下:
(Ⅰ)已知函数f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)设ak,bk(k=1,2,…,n)均为正数,证明:(1)若a1 b1+a2 b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,则a1b1 a2b2…anbn≤1;(2)若b1+b2+…+bn=1,则1/n≤b1b1b2 b2…bnbn≤b12+b22+…+bn2. 相似文献
14.
韦兴洲 《中学生数理化(高中版)》2013,(6)
本文讨论了n个正整数的和与积相等的一个必要条件,并证明了两个与素数、合数有关的结论.
结论1:若n(n≥2)个正整数a1,a2,…,an满足条件n∑i=1ai=n∏i=1ai,则ai≤n(i=1,2,…,n).
证明:(1)当n=2时,a1·a2-(a1+a2)=(a1-1)·(a2-1)-1≥0,当且仅当a1=a2=2时等号成立,故a1·a2=(a1+a2)时a1≤2,a2≤2,符合结论1.
(2)当n≥3时,设a1≤a2≤…≤an.令a1=a2=…=an-2=1,an-1=2,an=n,则n∑i=1ai=n∏i=1ai=2n.此时ai≤n(i=1,2,…,n).
又设存在n(n≥2)个正整数b1,b2,…,bn满足条件1≤b1≤b2≤…≤bn-1≤bn,bn＞n,且n∑i=1bi=n∏i=1bi.不妨令bi=1+ti(i=1,2,…,n-1,ti∈N),bn=n+tn(n∈N+). 相似文献
15.
16.
17.
柯西不等式是指：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有（a1b1＋a2b2＋…＋…anbn）^2≤（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），当且仅当这两组数对应成比例，即a1/b1=a2/b2=…=an/bn时等号成立，通常我们多用n=2或3时的形式。 相似文献
18.
李少杰 《濮阳职业技术学院学报》2004,17(3):63-64
定理:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是任意实数,则有:等号当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时成立。证明:(可用判别式,求差——配方法、比值法、数学归纳法、及利用不等式xy≤x2 y2/2等方法证明)。应用柯西不等式证题的关键是要善于构造两组数: 相似文献
19.
姚金红 《初中生世界(初三物理版)》2004,(10)
张广厚是我国当代数学家.他和杨乐合作,在解析函数族的研究方面有许多创造性的成果.1987年,他不幸因病去世.人们深切怀念这位英年早逝的数学家.张广厚善于把抽象的数学问题与现实生活中的具体问题对照,使问题变得形象而生动.比如“排序不等式”问题:若有排序a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,那么在这两组数之间,所有可能的乘积之和,以a1b1 a2b2 … anbn为最大,而以a1bn a2bn-1 … an-1b2 anb1为最小.这个抽象的数学问题,经他之手变成下面一道现实生活中的具体问题:甲、乙、丙三人各拿1、2、3个水壶去打水,水龙头只有一个,如何安排打水顺序,可… 相似文献
20.
设A={a1，a2，…，am}，B={b1，b2，…，bn}是2个有限集合，集合{（ai，bj）｜1≤i≤m，1≤j≤n}，叫做集合A与B的笛卡尔乘积，并记为A×B． 相似文献