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1.
极限是高等数学中的重要概念。掌握用定义法证明极限存在是加深理解极限概念所必须的。一些自考学员在运用定义法证明极限存在时常常感到较为困难。本文以数列极限为例 ,来说明运用定义法证明数列极限存在应该注意的问题。大家都知道 ,用定义法证明数列极限存在的关键是 :对 ε >0 ,都能找到Ｎ (ε)的存在 ,使当ｎ >Ｎ时 ,有 |ｘｎ-ａ|<ε成立。对一些极简单的数列 ,我们可以用直接解不等式 |ｘｎ-ａ|<ε的方法找到Ｎ(ε)的存在。例 1:证明 :ｌｉｍｎ→∞(- 1) ｎ 1ｎ =0证 :对 ε>0 ,解不等式 (- 1) ｎ 1ｎ - 0 <ε ,由 (- 1) ｎ 1… 相似文献
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解红霞 《太原教育学院学报》2001,19(2):37-40
数学分析这门课程研究的对象是函数 ,而研究函数方法就是极限 ,数学分析中几乎所有的概念都离不开极限 ,从方法论的角度来讲 ,用极限的方法来研究函数 ,这是数学分析区别于初等数学的最显著标志 ,所以说极限是数学分析中的重要概念 ,也是数学分析中最基础最重要的内容。本文就求极限的各种方法做一归类。一、用定义求极限极限定义的 ε— N语言 :数列 {an}收敛 a∈ R, ε>0 , N∈ N , n>N,有|an-a|<ε.例 用 ε—N语言证明 limn→∞nn 1 =1 .证明 : ε>0 ,要使不等式|nn 1 -1 |=1n 1 <ε成立 :解得 n>1ε-1 ,取 N=〔1ε-1〕,于是 ε>0… 相似文献
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一、数论部分1.设ｋ和ｎ是正整数 ,且ｎ >2 .证明 :方程ｘｎ -ｙｎ=2 ｋ无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设ｎ0 >2是满足ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｍ(ｍ >0 )中最小的一个 .若ｎ0 是偶数 ,设ｎ0 =2ｌ,ｌ∈Ｎ ,则ｘ2ｌ-ｙ2ｌ =(ｘｌ-ｙｌ) (ｘｌ+ｙｌ) ,于是ｘｌ-ｙｌ 是 2的整数次幂 ,与ｎ0 的最小性矛盾 .若ｎ0 是奇数 ,定义集合Ａ ={ｐ|ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ,ｐ、ｘ、ｙ均为正整数 } .设ｐ0 是Ａ中最小的一个元素 ,则ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ0 ,所以ｘ、ｙ的奇偶性相同 .又因为(ｘ -ｙ) (ｘｎ0 -1+ｘｎ0 -2 ｙ +… +ｘｙｎ… 相似文献
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我们把 1的任何一个ｎ次方根叫ｎ次单位根或单位根 (ｎ∈Ｎ) .以单位根为背景的题目是数学竞赛的热点内容 .1 ｎ次单位根的常用性质设ｎ个单位根为ε0 ,ε1,ε2 ,… ,εｎ-1,其中ε0 =1,εｋ =ｃｏｓ2ｋπｎ +ｉｓｉｎ2ｋπｎ =εｋ1(ｋ∈Ｎ)则有(1) ｜εｋ｜ =1;(2 )εｋ·εｊ =εｋ+ ｊ(ｋ、ｊ∈Ｚ) ;(3) (εｋ) ｍ =εｍｋ(ｍ∈Ｚ) ;(4) εｋ =εｎ-ｋ;(5 ) 1+ε1+ε2 +… +εｎ-1=0 ;(6 ) 1+εｍ1+εｍ2 +… +εｍｎ-1=ｎ (ｎ｜ｍ)0 (ｎ ｍ) .2 应用例 1 (2 0 0 1年全国高中数学联赛题 )若 (1+ｘ+ｘ2 ) 10 0 0 的展开式为ａ0 +ａ… 相似文献
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一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ,ｌｏｇ81ｘ , ｘ∈ ( -∞ ,1 ]ｘ∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 ｆ(ｘ) =14 的ｘ值为 .2 设数列 {ａｎ}的通项为ａｎ=2ｎ -7(ｎ∈Ｎ) ,则|ａ1| |ａ2 | … |ａ15| = .3 设Ｐ为双曲线ｘ24 -ｙ2 =1上一动点 ,Ｏ为坐标原点 ,Ｍ为线段ＯＰ的中点 ,则点Ｍ的轨迹方程是 .4 设集合Ａ ={ｘ| 2ｌｇｘ =ｌｇ( 8ｘ -1 5 ) ,ｘ∈Ｒ} ,Ｂ={ｘ|ｃｏｓ ｘ2 >0 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ａ∩Ｂ的元素个数为 个 .5 抛物线ｘ2 -4 ｙ -3=0的焦点坐标为 .6 设数列 {ａｎ}是公比… 相似文献
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历年高考数学试题中 ,数学的基本知识———不等式的证明和数学归纳法的运用的考查都是必不可少的。探讨此类综合题的解法及思路 ,对培养学生的思维能力有极大的帮助。北大赵慈庚教授曾说过 :“一个较好的证法和解法 ,往往是多次修改得来的 ,在考试之中或者来不及推敲 ,但是在平时应该锻炼自己 ,这是一种基本训练。”下面将对一九八四年高考数学试题第八题的解法作一小结 ,供同行探讨。(本题满 12分 ) :设 >2 ,给定数列 {ｘｎ} ,其中ｘ1= ,ｘｎ+ 1=ｘｎ22 (ｘｎ - 1) (ｎ =1,2 ,… )。求证 :( 1)ｘｎ >2 ,且 ｘｎ+ 1ｘｎ <1(ｎ =1,2 ,… ) … 相似文献
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荣修模 《重庆广播电视大学学报》1996,(4)
高等数学中极限定义是基本概念之一,极限理论是数学分析的基础,是研究函数的重要工具。数学分析的教科书上对极限概念作出了精确而严密的定义,并且利用不少篇幅解决极限存在的证明和计算极限值的方法。从函数极限定义可见,不等式|x一x_0|<ε(任意小ε>0),|f(X)一A|<δ(任意小δ>0),是从量的角度刻划极限是否存在,同时描述了两个变量的变化趋势。初学者要能很好掌握这个概念有一定困难,有一个深刻理解、熟悉熟练、应用掌握的过程。对于非数学专业学生,尤其经济类专业学生,不要求在理论上进一步探讨,只重极限的计算和应用。教学中为了帮助学生能较快的建立起极限概念,在思考函数极限时可分两步进行,旨在分散难点。根据自变量的变化趋势和受制解析规律的函数值的变化趋势分析问题,可初断函数极限是否存在;然后是确证极限存在或计算极限值。这里只谈教学中如何引导学生从函数的两个变化趋势值初断函数极限是否存在,建立极限概念。 首先讨论如何初断整标函数的极限(数列的极限)。 函数f(n)的自变量n只能取正整数值时,称函数f(n)为整标函数。将整标函数f(n)的函数值依自变量增大的次序排列出来: 相似文献
8.
极限是数学分析的基础,其重要性不言而喻。本文试就极限求法略作探讨。 一、利用定义求极限 我们知道,设{a_n}是一个数列,a是一个确定的数,若对任何正数ε,总存在某一个自然数N,使得n>N,都有|a_n-a|<ε,则a即为{a_n}的极限,利用之,我们即可求得某些数列的极限。 例:求{n/(n 1)}的极限。 解:∵|n/(n 1)|=|1/(n 1)|=1/(n 1)<1/n ε>0取N=[1/ε],则当n>N时,即有|n/(n 1)-1|<ε 但是,我们必须明确,利用此法求极限,首先必须利用直觉猜测到极限是什么,因此,预见性要求较高,而事实上,本法常多用于证明数列极限。 例:证明（其中a>1） 证明:令a~(1/n)-1=α,则α>0, ∴a=(1 α)≥1 nα=1 n(a~(1/n)-1) (利用了贝努利不等式) ∴a~(1/n)-1<(a-1)/n 可见,当时n>(a-1)/ε时,就有a~(1/n)-1<ε ∴|a~(1/n)-1|<ε ∴a~(1/n)=1 相似文献
9.
赵有为 《湖南城市学院学报》1984,(Z2)
文[1]指出、所谓二元函数的极限乃是: “设函数f(P)在R~2上一点P=P_O的一个邻内有定义(但在P=P_O可以没有定义),A为一个定数。若对ε>0,Eε>0,使得当0<|P-P_0<δ时,有 |f(P)-A|<ε我们就说f(P)当P趋于P_0时以A为极限,记作limf(P)=A” 应该引起注意的是:如果limf(P)=A,那么当P以任何方式趋向P_0时,f(P)都必须趋向于A。倘若P以不同方式趋向P_0,f(P)有不同的极限或无极限,那么limf(P)不存在。文[1]特别强调,即使当点P沿过P_0的任何直线趋向P_0时,f(P)趋于同一极限,我们不能断定limf(P)存在。这既深刻地指出了二元函数极限定义的实质,也说明了求极限时的困难程度。 相似文献
10.
本文将对本人在数学分析教学中使用的一些方去和对某些问题的分析与体会加以阐述,以供同仁们教学时参考。 一、对证明极限时使用的“中间限定法”的分析 证明时,为了顺利将|f(x)-A|变形,放大到ε,以便最终求得适合的δ>0,常常需要先限制x的取值范围,即先取一个δ_1>0,考虑|x—x_0|<δ_1。初学者对这种 相似文献