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1.
构造法是数学中常用的也是重要的方法之一.本文将通过构造辅助方程求某些三角函数式的值,而这些三角函数的值都是不易直接求解的。例1 求sin18°的值. 解:设α=18°,那么3α=90°-2α,从而sin3α=cos2α,即 3sinα-4sin~3α=1-2sin~2α, 4sin~3α-2sin~2α-3sinα 1=O.这说明sin18°是方程4x~3-2x~2-3x 1=0的一个根. ∵ 4x~3-2x~2-3x 1=(x-1)(4x~2 2x -1). ∴原方程的根为1,(-1±5~(1/5))/4,于是sin18°=(-1 5~(1/5))/4. 例2 求 cosπ/7-cos2π/7 co3π/7的值。解:设α=π/7,并设原式为y,那么y=cosα cos3α cos5α,从而 相似文献
2.
一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f… 相似文献
3.
《数学教学通讯》2004,(9)
一、选择题 :( 1)～ ( 12 ) . DBDAB CA DBB DC.二、填空题 :( 13) - 2 . ( 14 ) 6 . ( 15) y - 4x + 4=0 . ( 16 ) 4 .三、解答题( 17)本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能 ,考查运算能力 .解 :y =sin4 x + 2 3sinxcosx - cos4 x =( sin2 x + cos2 x) ( sin2 x - cos2 x) + 3sin2 x =3sin2 x - cos2 x =2 sin( 2 x - π6 ) .故该函数的最小正周期是π,最小值是 - 2 ;单增区间是 [0 ,13π] ,[5π6 ,π] .( 18)本小题主要考查互斥事件、独立事件和独立重复试验中的概率计算 ,以及运用概率知识解决实际问题的能… 相似文献
4.
田素伟 《数学大世界(高中辅导)》2004,(3):7-9
1 .利用配方法化成只含有一个的三角函数【例 1】 求函数y =sin6 x +cos6 x的最值 .解 :y =sin6 x +cos6 x=(sin2 x +cos2 x) (sin4 x -sin2 xcos2 x +cos4 x)=(sin2 x+cos2 x) 2 -3sin2 xcos2 x=1-3sin2 xcos2 x =1-34 sin2 2x=58+ 38cos4x∴当x=kπ2 (k∈z)时 ,y取最大值为 1.当x=kπ2 + π4(k∈z)时 ,y取最小值 14∴ymax =1,ymin =142 .利用函数y =x+ ax(a >0 )的单调性【例 2】 求函数y =sin2 x + 3sin2 x(x≠kπ ,k∈z)的值域 .解 :设sin2 x =t(0 相似文献
5.
例1:求y=4sinxcos2x的最值.解:y2=16sin2xcos4x=8(2sin2x)cos2xcos2x≤8(2sin2x cos2x cos2x3)3=8(23)2=2674.当且仅当2sin2x=cos2x,即tg2x=12时,等号成立.当tgx=-姨22时,ymin=-8姨93;当tgx=姨22时,ymax=8姨93.[评注:巧用sin2x cos2x=1和16sin2xcos4x=8(2sin2x)cos2xcos2x变形.]例2:某厂要生产一批无盖的圆柱形桶,每个桶容积为32πm2,用来做底面的塑料3元/m2,做侧面的塑料2元/m2,如何设计它的底面半径和高,才能使成本最低.解:设圆柱形桶的底面半径为r,高为h,成本为y.则:y=3πr2 2×2πrh=π(3r2 4rh)=π(3r2 2rh 2rh)=π×3姨33r2 2rh 2rh=3… 相似文献
6.
一个新发现的三角不等式 总被引：2，自引：2，他引：0
苏张延卫、陕西苟春鹏两位老师分别证明 3以下三角不等式 :在△ ABC中 ,有sin A 2 sin B2 3sin C3≤ 3,(1)cos A 2 cos B2 3cos C3≤ 3 3 . (2 )受文 [1]的启发 ,本文作者证得一个类似的新结果 :cot A 2 cot B2 3cot C3≥ 6 3. (3)其实 ,我们有下述定理 在△ABC中 ,对 k≥ 1有cot Ak 2 cot B2 k 3cot C3k≥ 6 cotπ6 k,(4 )等号成立当且仅当 A=π6 ,B=π3.证明 若 x>0 ,y>,且 x y<π,则cotx coty=sin(x y)sinxsiny=2 sin(x y)cos(x- y) - cos(x y)≥ 2 sin(x y)1- cos(x y) =2 cotx y2 .∴cot AR 2 cot B2 … 相似文献
7.
高井东 《中学生数理化(高中版)》2013,(1)
三角代换巧解不等式问题,即根据题目的特点,选取恰当的三角代换,能达到化难为易,化繁为简的目的,它是解不等式问题常用的方法,现举例说明.
例1 已知a,b,x,y∈R,且a2 +b2＝1,x2+y2=1,求ax+ by的范围.
解:通过观察已知条件我们不难发现:令{a=sinα,b=cosα,{x=sinβ,y=cosβ,则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β). 相似文献
8.
一、利用三角函数的性质求最值1.若函数形如y=asinx+b(或y=acosx+b),可直接利用函数的下列性质来求解:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1.例1求函数y=sin(x-π6)cosx的最值.解析y=sin(x-π6)cosx=12[sin(2x-π6)-sinπ6]=12sin(2x-π6)-41.当sin(2x-π6)=1时,ymax=21-14=41;当sin(2x-π6)=-1时,ymin=-21-41=-43.2.若函数形如y=acssiinnxx++db(或y=acccoossxx++db),先逆向解得sinx(或cosx)的表达式,再结合性质｜sinx｜≤1(或｜cosx｜≤1)来求解.例2求函数y=8cos2x+83cos2x+1的最值.解析由原式逆向解得cos2x=38y--y8,由0≤cos2x≤1,得0≤8-y3y-8≤1,解… 相似文献
9.
《数学教学通讯》2004,(9)
一、选择题 :( 1)～ ( 12 ) . DADA B CCCBB BD.二、填空题 :( 13) - 2 . ( 14 ) π4 . ( 15) π3.( 16 ) [- 1,3] .三、解答题( 17)本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能 ,考查运算能力 .解 :y =sinx + 2 3sinxcosx - cos4 x =( sin2 x + cos2 x) ( sin2 x - cos2 x) + 3sin2 x =2 sin( 2 x - π6 ) .故该函数的最小正周期是π,最小值是 - 2 ;单增区间是 [0 ,13π] ,[5π6 ,π] .( 18)本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望以及运用概率知识解决实际问题的能力 .解 :( )ξ的所有可能值为 0 ,1,2 ,3,4 .用 … 相似文献
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孙罗超 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):30-33
正弦函数y=Asin(ωx φ)是三角函数的重要内容,历年来都是高考命题的热点.现结合去年全国各地高考试题,根据考查正弦函数的不同内容,进行分类,并探讨其各自不同解法.1.确定函数最小正周期正弦函数y=Asin(ωx φ)的最小正周期为T=2π｜ω｜.【例1】已知函数y=12sinx πA(A>0)的最小正周期为3π,则A=.解:∵y=12sinx πA=12sin(1Ax πA)(A>0)∴其最小正周期为T=2π1A=2Aπ.则2Aπ=3π故A=32.【例2】函数f(x)=cos2x-23sinxcosx的最小正周期是.解:∵f(x)=cos2x-23sinxcosx=cos2x-3sin2x=-2sin(2x-π6)∴其最小正周期为T=2π2=π.2.求函数… 相似文献
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我们知道,f(x)严格单调,f(x)=f(y)x=y(*).看起来很平常的这个性质用来巧解下面几道数学竞赛题却很有趣.1求三角函数值例1(1994年全国高中数学联赛试题)已知x,y∈[-π4,π4],a∈R,且x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,则cos(x+2y)=.分析此题的特点是入口非常小,所求的cos(x+2y)的值好象与题设条件没有什么直接关系.我们对方程组中的三个变量x,y,a的系数进行观察,利用t3+sin t在[-π2,π2]上的单调性和性质(*),就能找到一条通向胜利之路.解由于x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,将第二式乘以2与第一式相加并整理,得x3+sin x=(-2y)3+sin(-2y)… 相似文献
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玉邴图 《数理化学习(高中版)》2008,(4):4-5
我们把结构优美的三角公式sin(x y)sin(x-y)=sin2x-sin2y叫做正弦平方差公式.它是人教版高中数学课本第一册(下)习题4.6第7题的第(4)题,它和它的变式具有广泛的应用.一、原式的应用例1(湖南高考题)已知sin(π4 2x)sin(4π-2x)=41,x∈(4π,2π),y=2sin2x tanx-cotx-1,则y=.解:可 相似文献
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柳毓 《数理化学习(高中版)》2006,(20)
对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小… 相似文献
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一些三角恒等式在证明代数问题方面有着广泛的应用 .下面介绍几种中学数学中常见的代换法 ,供同行和读者参考 .一、若m n=1,m、n >0 ,可令m =sin2 α ,n =cos2 α .例 1 已知x、y >0 ,且x y=1,A =ax by ,B =ay bx ,试比较AB与ab的大小 .解 令x=cos2 α ,y=sin2 α ,则AB -ab =(ax by) (ay bx) -ab=(a2 b2 )xy ab(x2 y2 ) -ab=(a2 b2 )cos2 αsin2 α ab(cos4 α sin4 α) -ab=(a-b) 2 cos2 αsin2 α≥ 0 ,∴AB ≥ab .二、若m2 n2 =1,可令m =sinα ,n=cosα ,例 2 设a2 b2 =1,x2 y2 =1,求ax by的取值范围 .解 令a =sinα… 相似文献
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李显规 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
【题】已知ccooss42βα ssiinn42βα=1,求证:ccooss42αβ ssiinn24αβ=1.法1(三角换元)∵ccooss2βα2 ssiinn2βα2=1,∴可设ccooss2βα=sinφ,ssiinn2βα=cosφ,则sinφcosβ cosφsinβ=cos2α sin2α=1,∴sin(φ β)=1,∴φ β=2π 2kπ,k∈Z,∴sinφ=sin2π-β 2kπ=cosβ,同理,cosφ=sinβ,∴cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴ccooss42αβ ssiinn24αβ=cos2β sin2β=1.法2(巧构直线与圆相切模型)由已知Accooss2βα,ssiinn2βα,B(cosβ,sinβ)都在单位圆x2 y2=1上,圆x2 y2=1过点B的切线方程l是cosβx sinβy=1,A点也满足此… 相似文献
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一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有… 相似文献
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文 1、文 2分别利用图象法和均值代换法解决了一类在给定条件下三角函数取值范围问题 .本文利用函数的单调性来解决这类问题 (下面的例子都是文 1、2中的例题 ,以后不再说明 ) .例 1 已知 sin x+ 2 cos y=2 ,求 2 sin x+ cos y的取值范围 .解 由条件得 sin x=2 ( 1 - cos y) ,1∴ 2 sin x+ cos y=4 - 3cos y,2由 1 ,有 2 | ( 1 - cos y) | =| sin x|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 32 .又 | cos y|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 1 . 3令 t=cos y,则由 2 ,3有2 sin x+ cos y=4 - 3t,其中 t∈ [12 ,1 ].令 f( t) =4 - 3t ( 12 ≤ t≤ 1 ) .易知 f( t)在 [12… 相似文献
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裴华明 《数学大世界(高中辅导)》2004,(3):14-15
求无理函数的最值问题 ,若用常规方法求解 ,对于有些题目来说就显得较为繁杂 ,计算量也较大 ,但若根据问题的特点巧妙地用三角代换来求解 ,则可把求无理函数的最值问题转化为求三角函数的最值问题 ,使问题得以简化 ,达到事半功倍的效果 .下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型 ,仅供参考 .一、当函数的定义域为x∈ [0 ,a] (a >0 )时 ,可设x =asin2 θ ,θ∈ [0 ,π2 ]【例 1】 求函数y =1-x +x的最大值和最小值 .解 :∵函数的定义域为x∈ [0 ,1] ,∴可设x =sin2 θ ,θ∈ [0 ,π2 ]则原函数可化为y=sinθ +cosθ=2sin(θ+ π… 相似文献
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许多三角最值问题,若用构造法求解,可使复杂问题简捷获解.这样不仅有利于数学思想的运用,而且有利于培养创新意识和创新能力.根据题设条件的特征,恰当构造一种新形式是灵活运用此法的关键,本文举例介绍几种方法.一、构造对偶式,用整体思想例1已知sin2α+sin2β+sin2γ=34,试求sin2α+sin2β+sin2γ的最大值.解:由sin2α+sin2β+sin2γ=34可得cos2α+cos2β+cos2γ=32.(1)构造对偶式sin2α+sin2β+sin2γ=x,(2)(1)2+(2)2得94+x2=3+2[cos(2α-2β)+cos(2β-2γ)+cos(2α-2γ)]≤3+2×3=9,其中等号可以在例如α=β=γ=π6时成立.∴x2≤274,|x|… 相似文献