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1.
由数列的递推公式求通项公式,往往是通过变形转化为等差或等比数列来解决.变形是关键,有着较强的技巧.这里介绍一种利用不动点来求通项的方法,对解决以下几种类型的题目简单、易行.对于函数f(x),若存在x0,使f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.1.形如an+1=pan+q(p≠0).例1已知数列{an},满足a1=1,an=-12an-1+1,求an.解令f(x)=-12x+1,解x=-12x+1得f(x)的不动点x=23.在an=-12an-1+1的两边分别减去23,得an-23=-12(an-1-23),即数列{an-23}是以a1-23=13为首项,q=-12为公比的等比数列.所以an-23=13(-12)n-1,即an=23+13(-12)n-1.总结对于an+1=pan+q,构造… 相似文献
2.
文[1]利用函数f（x）的“不动点”巧妙地求出了形如an=aan-1＋b/can-1＋d（c≠0,ad≠bc）,及an=aan-1^2＋b/2aan-1＋c（a,b,c均不为0）的数列通项公式,读后深受启发,经过研究,笔者发现利用函数f（x）的“不动点”还可解决对于初始值a0≠f（a0）,a1≠f（a1）（其中f（x）=x^2-q/2x-2p）递推关系形如an＋1=anan-1-q/an＋an-1-2p（p,q∈R）的通项公式． 相似文献
3.
定义方程f（x）=x的根称为函数f（x）的不动点．利用递推数列f（x）的不动点,可将某些递推关系an=f（an-1）所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法． 相似文献
4.
已知数列{an}的递推关系式为an+1=f（an）,若存在实数a使得f（a）=a,则a称为数列{an}的不动点,在递推式an+1=f（an）中若令an+1=an=x,则方程f（x）=x的解就是数列{an}的不动点,方程f（x）=xc叫做递推式aa+1=f（an）的特征方程.利用不动点,可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列.下面举例说明.1 an+1=pan+q（其中p、q为常数,p≠0,q≠0）型 相似文献
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纪逾睿 《数理天地(高中版)》2005,(5)
对于一个确定的函数f(x),方程x=f(x) 的根x=x0称为f(x)的不动点.下面利用不 动点求数列通项. 1.三个定理 定理1 设f(x)=ax b(a≠0且a≠1), {xn}满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),p为 f(x)的不动点,则xn-p=a(xn-1-p). 定理2 设f(x)=(ax b)/(cx d)(c≠0,ad-bc≠ 0),{xn)满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),且 相似文献
6.
数列的递推关系是给出数列的一种重要方法 ,2 0 0 0～ 2 0 0 3年的高考试题都有涉及及数列递推关系的题目 ,而由数列的递推关系确定数列的通项往往是解决数列问题的关键 ,同时也是对学生进行数学思想方法教学的重要载体 ,比如参数法、叠加法、迭代法、换元法、构造法等 .下面笔者对常见的几种数列递推关系的求通项策略进行解析 .类型 1:an+ 1 =p an +q解析 :当 p =1时数列为等差数列 ,当 q =0 ,p≠ 0时数列为等比数列 .当 p≠ 1,p≠ 0 ,q≠ 0时 ,引入参数λ,令an+ 1 -λ =p( an -λ) ,整理得 an+ 1 =pan+( 1-p )λ,由 ( 1-p)λ=p,所以λ=q1-… 相似文献
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奉泓宇 《数学大世界(高中辅导)》2003,(11):31-31
设数列{an}满足一阶递推关系:an+1=pan+q.当P≠1且P≠0,q≠0时,数列{an)非等差、等比数列.其通项公式有两种求解思路. 思路1-转化为等比数列求其通项公式在an+1=pan+q中,两边同减去q/1-p得an+1-q/1-p=p(an-q/1-p). 相似文献
8.
我们知道数列通项 an 具有如下两个常见的基本变形式 :差式变形式 :an=(an- an-1 ) (an+ 1 - an-2 ) +…+(a2 - a1 ) +a1 . 1商式变形式 :an=anan-1· an-1 an-2·…· a3 a2· a2a1·a1 . 21式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =an+g(n)型数列的通项公式 ;2式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =f(n)× an型数列的通项公式 .而对求递推关系式为 :an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 ) ( )型的通项公式就失效 .近期有杂志刊文介绍对 an+ 1 =kan+g(n) (k≠1 )型的通项公式求法 .不外乎两种方法 :其一是将an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 )转化为 :an- h(n) =k{ an… 相似文献
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《数学通讯》2006年第9期包志秀老师在《妙求an=ac··aann--11 db的通项》一文中用“常数消去法”给出了递推关系an=c·an-1 da·an-1 b的通项公式的一般求法,读后颇受启发,经笔者研究发现,这类数列的通项公式还可用下面的方法巧妙解决·我们仍以原文中的例题为例来加以说明·例已知在数列{an}中,满足a1=2,且an=53··aann--11 35,n=2,3,…,求数列{an}的通项公式·解因为an=53··aann--11 35=35·an-1 1an-1 53,引入参数p,有an-p=(53-p)·an-1 1-53pan-1 53=35-pan-1 35an-1-35p-135-p,p≠53·令35p-135-p=p,解得p=1或p=-1,从而有an-1=… 相似文献
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文[1]通过对一道课本习题的变式教学,探究递推数列an=pan-1 f(n)的通项,文中指出:形如an=can-1 d*bn(c≠0,c≠1,d≠0,b≠0)的递推关系式,均可由an λbn= c(an-1 λbn-1)构造等比数列处理.这一结论有不妥之处,请看下例: 相似文献
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正我们经常看到这样一类问题:数列{an}满足递推关系an+1=f(an),其中f(x)为多项式函数或分式函数,求数列{an}的通项公式.而其中最常见的函数是一次函数和线性分式函数,最常见的方法是先用不动点法将递推公式化成an+1-α=r(an-α)m或an-1-α/an-β=(an-α/an-β)m的形式,再用转化法或迭代法求其通项.然而,多数资料却对"为什么可以用不动点法求‘α’或‘α和β’?",甚至对"不动点法是否是求解这类问题的通法?"只字不提,只是说可以这样做.又 相似文献
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根据递推关系式写出数列的通项公式既是考查学生对数列这部分知识是否掌握的试金石,也是考查学生的观察能力、推理能力、判断能力的重要手段.因此,对学生递推能力的考查一直是高考关注的重点.本文将对高中阶段出现的几种已知递推关系求数列通项公式的方法进行探讨.※递推公式形如an+1=an+f(n)的数列由上式可得:an=an-1+f(n-1)=an-2+f(n-2)+f(n-1)=…=a1+f(1)+f(2)+f(3)…+f(n-1)例:数列｛an｝中,a1=1且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k∈N+,求数列｛an｝的通项公式.解:∵a2k+1=a2k-1+(-1)k+3k,a2k+1-a2k-1=(-1)k+3k,∴a3-a1=(-1)1+31,a5… 相似文献
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在新教材第一册 (上 )第 1 1 4页 ,有这样一道习题 .写出下面数列 {an}的前 5项 :a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 )下面就此题作探讨 .一、引申递推公式的概念既然在新教材中出现 ,那么已知递推公式求通项公式 ,学生将乐于接受 .因此对上述习题作下面引申 :【例 1】 已知数列 {an}的项满足a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 ),求通项an.【例 2】 (旧教材P12 63 4题变式 )已知数列{an}的项满足 a1=ban + 1=can +d 其中c≠ 0 ,c≠ 1 ,求这个数列的通项an.其实 ,在an+ 1=can+d(c≠ 0 )中 ,若c =1 ,则该数列是公差为d的等差数列 ;若d=0 ,因为c≠ 0 ,则该数… 相似文献
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焦景会 《河北理科教学研究》2006,(1):45-46
对于函数f(x),若存在x_0∈R,使f(x_0) =x_0成立,则称x_0为函数f(x)的不动点．数列与函数密切相关．对于a_(n 1)=(pa_n q)/(ra_n s)型递推数列,利用不动点可以妙求其通项公式．先推导a_(n 1)=pa_n q(p≠1)型递推数列的通项公式．∵p≠1,所以存在α满足α= 相似文献
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文 [1 ]第 1 1 7页是由波兰提供的第 35届IMO备选题 :对 x≠ 0 ,f( x) =x2 12 x ,定义 f(0 ) ( x) =x,和对所有正整数 n和 x≠ 0 ,f(n) ( x) =f( f(n- 1 ) ( x) ) ,求证 :对所有非负整数 n和 x≠ - 1 ,0 ,1 ,有f(n) ( x)f(n 1 ) ( x) =1 1f x 1x- 12 n .原文用数学归纳法直接给以证明 ,本文从数列角度给出新的简单证明 .证明 记 a0 =f(0 ) ( x) ,an=f(n) ( x) ,则a0 =x,an=f ( an- 1 ) =a2n- 1 12 an- 1,从而 an- 1 =( an- 1 - 1 ) 22 an- 1,an 1 =( an- 1 1 ) 22 an- 1,相除得 an- 1an 1 =an- 1 - 1an- 1 12 ,重复以上办… 相似文献
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胡良星 《中学数学研究(江西师大)》2007,(7):38-40
定义:方程,f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点.利用递推数列f(x)的不动点,可将某些递推关系a_n=f(a_n-1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法. 相似文献
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在数列中,递推问题是一个十分重要的问题.其中由a1=a,pan 1=qan十b,(n∈N ,a,p,q,b均为常数,且p≠0,q≠0,以下同)型递推公式求通项公式an是递推数列中一个典型问题,对它的解决方案的研究有一定的价值.1 由a1=a,pan 1=qan b求数列{an}的通项公式的解决方案 当p=q时,pan 1=qan b可化为 an 1=an b/p. 此时,数列{an}是等差数列,且其公差为b/p,因此可按等差数列进行求解,即 相似文献
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给出数列{an}的递推公式和首项a1,求数列{an}的通项公式,往往我们可以将所给出的递推公式进行变形,使问题转化为所熟知的bn+1=f(n)bn形式,当bn≠0时,变形得到(b(n+1))/bn=f(n),则由累乘法可得bn=bn/(b(n-1))·(b(n-1))/(b(n-2))…b3/b2·b2/b1·b1= f(n-1)f(n-2)…f(3)f(2)f(1)b1,若f(n-1)、f(n-2)、…、f(3)、f(2)、f(1)的积容易求出,则数列{bn}的通项公式可求出,从而得到数列{an}的通项公式. 相似文献
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赵齐猛 《数理化学习(初中版)》2002,(4)
题目(1991年“希望杯”竞赛试题)已知两数a、b,ab≠1,且2a2+1234567890a+3=0 (1)3b2+1234567890b+2=0, (2)则b/a=____. 解:显然b≠0,由(2)得, 2(1/b)2+12345678901/b+3=0,(3)∵ab≠1,∴a≠1/b.由(1)、(3)可得,a、1/b分别是一元二次方程2x2+123467890x+3=0的两个根,因此b/a=a·1/b=3/2. 相似文献