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1.
本文介绍椭圆内接三角形中与斜率有关的一组等价命题。 性质 设D,E,F分别是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)内接三角形ABC的三边中点,直线AB,BC,CA,OD,OE,OF,OA及 相似文献
2.
程惠才 《中学数学教学参考》1994,(7)
定义:连结椭圆上任意两点的线段叫弦.过椭圆中心的弦叫直径.类似地可定义双曲线的直径.如图1,平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫互为共轭直径.类似地可定义双曲线的共轭直径. 定理1 已知AB、CD为椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的一对共轭直径,其斜率分别为k_(AB)、K_(CD),那么K_(AB)·K_(CD)=-b~2/a~2. 略证:如图1,设平行弦EF簇的斜率为k(即K_(CD)),则平行弦EF簇的方程为 y=kx t(t为参数).① 又椭圆方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1. ② ①代入②整理得 (a~2k~2 b~2)x~2 2a~2tkx a~2(t~2-b~2)=0. ③ 由韦达定理,得x_1 x_2=-(2a~2tk/a~2k~2 b~2). 设M(x′,y′)是EF的中点,则 x′=1/2(x_1 x_2)=-(a~2tk/a~2k~2 b~2) ④ 点M在EF上,则y′=kx′ t. ⑤ 由④、⑤消去参数t得 y′=-b~2/a~2k x′. ∵k_(AB)=k_(OM)=-(b~2/a~2k). ∴k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2k)·k=-(b~2/a~2). 推论1 AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的任意一条弦,P为AB的中点,O为椭圆的中心,则 K_(AB)·K_(OP)=-(b~2/a~2). 相似文献
3.
于先金 《中学数学教学参考》2006,(15)
定理如图,给定椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1.PP′、QQ′是椭圆一对共轭直径.弦 BB′//QQ′,直线 l//PP′,M 是椭圆上异于 B、B′的任一点.直线QQ′、B′M、BM 分别交 l 于点O′、N、K.记 m=|QQ′|=r|OQ|,P(acos,bsin),B(acos α,bsin α),M(acos β,bsin β),则O′N·O′K=(a~2cos~2+b~2sin~2)/(cos(α-)+cos(β-){r~2[cos(α--cos(β-)]-2rcos(α-)cos(β-)+[cos(α-)+cos(β-)]}.(*) 相似文献
4.
杨浦斌 《中学数学研究(江西师大)》2006,(1):27-29
我们将有两条或两条以上二次曲线构成的问题,称为多曲线综合问题,解这类问题要充分挖掘各曲线的性质特征,理顺思路,“步步为营”.一、椭圆与圆例1 过椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)上的动点 P 引圆 x~2 y~2=b~2的两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N. 相似文献
5.
命题1设椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)(或双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0))(一焦点为F (c,0)在点P(非长轴或实轴顶点)处的切线交y轴于点Q,过点Q作直线FP的垂线,垂足为 相似文献
6.
2010年上海秋季高考数学试卷的最后一题如下：已知椭圆Γ的方程为（x~2）/（a~2）＋（y~2）/（b~2）=1（a〉b〉0）,点P的坐标为（-a,b）.（1）若直角坐标平面上的点M、A（0,-b）、B（a,0）满足（？）=（？）,求点M的坐标;（2）设直线l_1：y=k_1x＋p交椭圆Γ于C、D两点,交直线l_2：y=k_2x于点E.若k_1·k_2=-（b~2）/（a~2）,证明：E为CD的中点;（3）对于椭圆Γ上的点Q（acosθ,bsinθ）（0〈θ〈丌）,如果椭圆Γ上存在不同的两点P_1、P_2使得（？）,写出求作点P_1、P_2的步骤,并求出使P_1、P_2存在的θ的取值范围. 相似文献
7.
经过椭圆焦点的直线与椭圆相交于 M、N 两点,线段 MN 叫做椭圆的焦点弦.它的长度公式如下:MN 是椭圆 b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)的焦点弦,若 MN 的斜率为k,则|MN|=(2ab~2(k~2 1))/(a~2k~2 b~2)(1)MN 是椭圆 b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)的焦点弦,若 MN 的倾斜角为θ,椭圆的半焦距为 c,则 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(5)
1 例题及解答例如图1,AB 是过椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的左焦点 F 的一条动弦,AB 的斜率 k∈[3/4,4/3]并且3a~2-4b~2=0记 AF/FB=λ,求λ的取值范围.解法1:由3a~2-4b~2=0=b~2=(3/4)a~2,所以椭圆方程为x~2/a~2 4y~2/3a~2=1,即3x~2 4y~2=3a~2.(*)又∵c~2=a~2-b~2=(1/4)a~2,∴c=(1/2)a.则 A((-1/2)a λmcosθ,λmsinθ),B((-1/2)a-mcosθ,-msinθ), 相似文献
9.
林志森 《中学数学研究(江西师大)》2015,(3):32-34
一、从联赛到自主招生,一脉相承题1(2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,若直线PQ在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明:(a~2)/(n~2)+(b~2)/(m~2)=(a~2)/(b~2).题2(2014年华约试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,直线PQ与坐标轴的交点分别为E,F,求AEOF面积的最小值. 相似文献
10.
汤全丽 《中学数学研究(江西师大)》2006,(6):21-22
本文拟在给出与圆锥曲线平行弦切线有关的一个性质.定理:AB,CD 是圆锥曲线δ的一对平行弦,曲线δ在 A,B 两点处的切线交直线 CD 于M,N,则 MC=ND.证:(1)若曲线δ表示有心圆锥曲线,不妨设其为椭圆,方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),当直线 AB 的倾 相似文献
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本文利用焦半径推导出经过圆锥益线焦点的直线被圆锥曲线截得的线段长度的一种表达形式。供教学参考.推论及证明推论经过椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0),双曲线 b~2x~2-a~2y~2=a~2b~2(a>0,b>0),抛物线 y~2=2px(p>0)焦点 F 的直线与它们相交于 A、B 两点,若A、B 两点的横坐标为 x_1,x_2,则|AB|_(椭圆)=2a-e|x_1 x_2|(1)|AB|_(双曲线|=x_1 x_2|±2a(2)|AB|_(抛物线)=x_1 x_2 p(3)对于双曲线的说明:当 A、B 在同支上时取“-”,异 相似文献
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作为对《椭圆和双曲线一个性质》（《中学数学》1992.10）一文的补充,本文介绍了椭圆和双曲线的如下性质:1、若椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的动弦AB恒过定点M(a~2-b~2/a~2 b~2x_o,b~2-a~2/a~2 b~2y_o),则动弦AB对于该椭圆上的定点P(x_o,y_o)的张角必为直角。2、若双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a≠b）的动弦AB恒过定点M(a~2 b~2/a~2-b~2x_o,a~2 b~2/b~2-a~2y_o),则动弦AB对于该双曲线上的定点P(x_o,y_o)张角必为直角。3、等轴双曲线x~2-y~2=a~2的动弦AB对于该双曲线上的定点P(x_o,y_o)张角为直角的充要条件是动弦AB的斜率为-y_o/x_o。推论 等轴双曲线的动弦对于该曲线的顶点张角为直角的充要条件是动弦平行于双曲线的实轴。 相似文献
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胡晓苹 《绵阳师范学院学报》1997,(Z1)
讨论下述课题;中心在原点,焦点在X轴上的椭圆方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1设点p(x,y)是椭圆上的一点;且随圆(1)的顶点排除在外,很显然,任意选择椭圆中的两个顶点,并与点p(x,y)连结,都能构成三角形,指出这些三角形面积的性质.同样的,对于共轭双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1,-x~2/a~2+y~2/b~2=1也有相应结果. 相似文献
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从文献[1]中得到圆锥曲线关于三角形面积的两个结论:(1)△ABC 的三顶点均在椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)上,且 AB,AC 分别过焦点 F_1,F_2,则△ABC 面积的最大值为(4a~4bc)/(a~2 c~2)~2;(2)△ABC 的三顶点均在双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)上,且 AB,AC 分别过焦点 F_1,F_2,则△ABC 面积无最大值.笔者从上述两个结论得到启示,对圆锥曲线中的特殊三角形的面积进行了探索,也得出了一些有趣的结论.为了便于讨论,把圆锥曲线的焦点放在 y轴上,现将其主要结果介绍如下.结论1 如图1,已知 AB 是过椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)焦点 F_2(0,c)的一条弦,O 为坐标原点,(1)当 b>c 时,△OAB 面积 相似文献
18.
《中学生数理化(高中版)》2018,(4)
<正>当三角形的三个顶点都在椭圆上时,我们可称此三角形为椭圆中的内接三角形。笔者经过探究发现,椭圆中的内接三角形具有以下性质:已知椭圆x~2、a~2+y~2、b~2=1(a>b>0),P(x P,y P),A,B为椭圆上的不同三点,且k_(PA)·k_(PB)=y_P~2/x_P~2。 相似文献
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彭光宇丁益民 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):11-13
正前不久,江苏南通高三三模测试有这样一道解析几何解答题:如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(ab0)的右焦点为F(1,0),离心率为2~(1/2)/2分别过O,F的两条弦AB,CD相交于点E(异于A,C两点),且OE=EF.(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线AC,BD的斜率之和为定值.本题的第(2)问着实难住了一部分同学,经了 相似文献
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本刊文献利用焦半径推导出经过圆锥曲线 C 的焦点的直线被 C 截得的线段长度的表达形式是:经过抛物线 y~2=2px(p>0),椭圆 b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0),双曲线 b~2x~2-a~2y~2=a~2b~2(a>0,b>0)C 的焦 相似文献