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初中《几何》第二册P35的例3,是一道很有启发性的典型例题,它引导学生怎样去探索问题,在教学中值得师生共同探讨研究。已知△ABC,P是AB上一点,连结CP,满足什么条件时,△ACP与△ABC相似,课本上给出了三个条件:当∠1=∠B,或∠2=∠ACB,或AC~2=AB·AP时,△ACP∽△ABC。事实上,若满足AP/CP=AC/BC时,仍有△ACP∽△ABC,证明如下: 相似文献
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一、原题再现题目(苏科版《数学》八(下)练习)如图1,在△PAB中,点C、D在边AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC与△PBD相似吗?为什么?略解本题由PC=PD得出∠ACP=∠PDB,利用三角形内角和定理与推论得出∠A+∠B=60°,∠A+∠APC=60°,得出∠B=∠APC,从而判定△APC∽△PBD.点评本题容易得出∠ACP=∠PDB, 相似文献
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题目如图1,四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP与△ECP相似的是().(A)∠APB=∠EPC(B)∠APE=90°(C)P是BC边的中点(D)BP∶BC=2∶3本题答案应该是C.但许多同学是这样解的:当∠APE=90°,∠1+∠α=90°,又因为∠β+∠1=90°,所以∠α=∠β,又因为∠B=∠C,所以△ABP∽△PCE.故选B.选择支B能否推出△ABP∽△ECP?可以换个角度思考,即当△ABP∽△PCE时,能否求出BP的长呢?不妨设正方形的边长为4a,BP=x,则CP=4a-x,CE=2a,根据相似三角形的对应边成比例可得CBEP=PACB,即2xa=4a4-… 相似文献
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1原题呈现(安徽23题)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:h12=h2·h3. 相似文献
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巫国辉 《中学数学教学参考》2023,(26):49-52
<正>1试题呈现(深圳中考第15题)如图1,在△ABC中,AB=AC,tan∠B=3/4,点D为BC上一动点,联结AD,将△ABD沿AD翻折得到△ADE,DE交AC于点G,GE△AGE/S△ADG=_____。2解法探究由题意知△ABD沿AD翻折得到△ADE,所以∠ABC=∠AED,因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ACB=∠AED。又因为∠AGE=∠DGC,所以△AGE∽△DGC。在下列解法中△AGE∽△DGC的结论不重复证明。 相似文献
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第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且 △ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即 ∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理 等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的… 相似文献
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P为三角形ABC内一点,点P关于△ABC的边AB、BC、CA的对称点分别为P_1、P_2、P_3,我们称△P_1P_2P_3为点对称三角形(如图1).将点对称△P_1P_2P_3与原△ABC结合起来研究,可以得到下面有趣的性质. 性质1 P_1P_2=PB(2(1-cos2B)(1/2)); P_2P_3=PC(2(1-cos2C)(1/2)); P_3P_1=PA(2(1-cos2A)(1/2)). 性质2 ∠P_1P_2P_3=∠BPC-∠A; ∠P_2P_3P_1=∠CPA-∠B; ∠P_3P_1P_2=∠APB-∠C 相似文献
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我们把三角形一个角的顶点与对边上一点的连线叫做三角形的角分线 .角分线有如下性质 :定理 三角形角分线分对边的比等于两邻边与其相应分角正弦积的比 .下面给出该定理的证明 .已知 :如图 1 ,D点在△ ABC的 BC边上 ,AD为∠ A的角分线 .求证 :BDDC=ABsin∠ BADACsin∠ CAD.图 1证明 :过 B、C向角分线AD所在直线作垂线 ,E、F为垂足 ,则 BE =BAsin∠ BAD,CF =ACsin∠ CAD.因为∠ BED =∠ CFD= Rt∠ ,∠ BDE =∠ CDF,所以△ BED∽△ CFD.所以 BDDC=BECF=sin∠ BADACsin∠ CAD.很明显 ,当角分线分成等角时 ,si… 相似文献
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例如图1,梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AD=8,DC=2,AB=m(m>0)(1)当∠BPC=90°时,求证:△ABP∽△DPC;(2)当m为何值时,能使∠BPC=90°的点P分别有两个,一个,或不存在?(3)是否存在合适的m的值和P点的位置,使得△APB、△PDC、△PBC都相似?如果不存在,说明理由;如果存在,求出m的值和P点的位置.解(1)当∠BPC=90°时,易证得∠A=∠D=90°,∠1=∠3=90°-∠2,∴△ABP∽△DPC.(2)当△ABP∽△DPC时,也能证得∠BPC=90°,所以问题(2)转化为:“当m为何值时,能使△ABP∽△DPC的点P分别有两个,一个,或不存在?”假设存在合适的m值,使… 相似文献
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一、探索结论型 例1 如图1,D是△ABC的边AB上的一点,若△ADC与△BDC相似,请指出CD和AB有什么特殊的位置关系？并证明这个结论。分析 由△ADC∽△BDC,有∠ADC=∠BDC。因为∠ADC〉∠B,∠ADC〉∠DCB,因此,∠ADC不可能与∠B或∠DCB成对应角。又∠ADC＋∠BDC=180°,∴∠ADC=∠BDC=90°,即CD⊥AB。 相似文献
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在证明题中,常会出现二倍角问题,此类问题往往有一定难度,需要认真分析已知与结论之间的联系,添加适当的辅助线,从而化难为易.现举例说明. 一、作倍角的平分线例1 已知:如图1,在△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC.求证:△ABC是直角三角形. 证明:作∠ABC的平分线BD交AC于点D,取AB的中点E,连结DE. ∵∠ABC=2∠A,∠ABC=2∠1=2∠2,∴∠A=∠1=∠2.即△ABD为等腰三角形.∵E为AB边中点,∴DE⊥AB.∵BE=12AB=BC,∠1=∠2,BD=BD,∴△BDE≌△BDC.∴∠BCD=∠BED=90°.即△ABC为直角三角形.二、构造倍角的等角… 相似文献
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新版统编教材《几何》第二册第233页有这样一道题:已知,△ABC中,P是边AB上的一点,连结CP。 (1)当∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC。 相似文献
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于志洪 《中学课程辅导(初二版)》2006,(10):18-18
本文就等腰三角形的三类新题型解析如下,供同学们学习时参考.一、从已知图形中数等腰三角形的个数例1如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有()A.6个"B.7个"C.8个"D.9个(天津市中考题)解:因为AB=AC,∠A=36°,所以易求得∠1=∠2=∠3=∠4=36°,∠5=∠6=∠7=∠8=72°,从而图中共有8个等腰三角形,即:△ABC、△FBC、△BCD、△CBE、△DAB、△EAC、△CDF、△BEF.故应选C.二、从已知图形中找构成等腰三角形的点例2在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△… 相似文献
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应用相似三角形的性质证明线段成比例和角相等 ,是几何证题中的重点和难点 ,其关键在于能否在复杂的几何图形中迅速而正确地找到 (或构造出 )所需要的三角形 .下面就此谈几点认识 ,供同学们参考 :一、熟悉相似三角形四种基本类型相似三角形的常见的四种基本图形分类总结如下 :( 1)平行线型 :如图 1,D E∥ BC,则△ AD E∽△ ABC图 1( 2 )相交线型 :如图 2 ,已知∠ 1=∠ B,则可由公共角或对顶角 ,得△ A DE∽△ ABC图 2图 3图 4( 3)旋转型 :如图 3,已知∠ BAD =∠ CAE,则△ A DE绕点 A旋转一定角度后与△ ABC构成平行线型相似三角… 相似文献