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1.
一个猜想不等式的证明 总被引：2，自引：0，他引：2
文 [1 ]的末尾提出如下一个猜想不等式 :证明或否定 :对于任意正实数ｘ、ｙ、ｚ ,有ｘｘ ｙ ｙｙ ｚ ｚｚ ｘ≤322 ①经反复推敲 ,①式是一个真命题。现给出其证明。证明 为方便起见 ,记①式的左边为Ｍ ,设ｕ =ｙ ｚ ,ｖ =ｚ ｘ ,ｗ =ｘ ｙ ,由此解出 :ｘ =ｖ ｗ -ｕ2 ,ｙ =ｗ ｕ -ｖ2 ,ｚ =ｕ ｖ -ｗ2 ,代入①式左边 ,得Ｍ =ｖ ｗ -ｕ2ｗ ｗ ｕ -ｖ2ｕ ｕ ｖ -ｗ2ｖ②注意到长度分别为ｕ、ｖ、ｗ的三条线段构成三角形 ,设其对角分别为Ａ、Ｂ、Ｃ ,正弦定理应用于△ＡＢＣ ,得ｖ ｗ -ｕｗ =ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ -ｓｉｎＡ… 相似文献
2.
汪仁友 《中学数学教学参考》2000,(7)
本刊 1 999年第 1 1期刊出邵、高两位老师对ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ下界的改进 ,本文给出定理 设ｎ∈Ｎ ,ｎ >1 ,0 <ｎｘ <π2 ,则ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ >1ｓｉｎ π2ｎ.证明 :由已知得 0 <ｘ <π2ｎ.下面证明 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ 在区间 (0 ,π2ｎ)上为减函数 ,事实上 ,有ｆ′(ｘ) =ｎｃｏｓｎｘｓｉｎｘ -ｓｉｎｎｘｃｏｓｘｓｉｎ2 ｘ =ｕ(ｘ)ｓｉｎ2 ｘ,则 ｕ′(ｘ) =(-ｎ2 ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ ｎｃｏｓｎｘｃｏｓｘ) -(ｎｃｏｓｎｘｃｏｓｘ -ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ)=-(1 -ｎ2 )ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ <0 .∴ｕ(ｘ)在 (0 ,π2ｎ)上… 相似文献
3.
ＩＮＴＲＯＤＵＣＴＩＯＮＦｏｒｎ≥ 2 ,ｍ≥ 2 ,ｌｅｔＳｎ - 1 ａｎｄＳｍ - 1 ｂｅｔｈｅｕｎｉｔｓｐｈｅｒｅｉｎＲｎａｎｄＲｍｒｅｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ,ｅｑｕｉｐｐｅｄｗｉｔｈｔｈｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄｌｅｂｅｓｇｕｅｍｅａｓｕｒｅ .ＬｅｔΩｂｅａｆｕｎｃｔｉｏｎｄｅｆｉｎｅｄｏｎＳｎ - 1 ×Ｓｍ - 1 ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇΩ∈Ｌ1 (Ｓｎ - 1 ×Ｓｍ - 1 )ａｎｄ∫ｓｎ-1 Ω(ｕ ,ｖ)ｄｕ =0 ,( ｖ ∈Ｓｍ- 1 )∫ｓｍ-1 Ω(ｕ ,ｖ)ｄｕ=0 ,( ｖ ∈Ｓｎ- 1 ) ( 1 )ＴｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇＭａｒｃｉｎｋｉｅ… 相似文献
4.
先引述原题 :有ｎ个人 ,已知他们中的任意两人至多通电话一次 ,他们中的任意ｎ -2个人之间通电话的总次数相等 ,都是 3ｋ 次 ,其中ｋ是自然数 ,求ｎ的所有可能值。题目很精采 ,给人以求解的广阔想象空间。下面给出一种图论的解答 :视ｎ个人为ｎ个顶点 ,顶点ｘ和 ｙ相邻当且仅当ｘ和 ｙ通电话 ,得一ｎ阶简单图 ,记作Ｇ ,其顶点集记作Ｖ ,其边数记作ω(Ｇ)。已知条件 ,“他们中的任意ｎ -2个人之间通电话的总次数相等 ,都是 3ｋ 次” ,相当于 :对于任意的ｘ、ｙ∈Ｖ ,Ｇ的ｎ -2阶子图Ｈｘ,ｙ=Ｇ -ｘ -ｙ的边数ω(Ｈｘ ,ｙ) =3ｋ。因此 ,Ｇ中 {… 相似文献
5.
为了便于证明 ,首先介绍几个引理 :引理 1 秩 (Ａ) +秩 (Ｂ)≤秩 Ａ 0Ｃ Ｂ证明 :设Ａ为ｍ阶矩阵 ,Ｂ为ｎ阶矩阵 ,则有ｍ阶可逆矩阵 Ｐ1,Ｑ1和ｎ阶可逆矩阵Ｐ2 、Ｑ2 使得 :Ｐ1ＡＱ1=Ｅｒ1 00 0 Ｐ2 ＢＱ2 =Ｅｒ2 00 0则 :Ｐ1 00 Ｐ2Ａ 0Ｃ ＢＱ1 00 Ｑ2=Ｐ1Ａ 0Ｐ2 Ｃ Ｐ2 ＢＱ1 00 Ｑ2=Ｐ1ＡＱ1 0Ｐ2 ＣＱ1 Ｐ2 ＢＱ2=Ｅｒ1 00 0 0Ｐ2 ＣＱ1 Ｅｒ2 00 0 (Ⅰ)显然秩Ｐ2 ＣＱ1Ｅｒ2 00 0≥秩 Ｅｒ2 00 0 =ｒ2所以由 (Ⅰ)秩 Ａ 0Ｃ Ｂ=秩Ｅｒ1 00… 相似文献
6.
求函数值域的方法很多 ,也没有一种固定的方法 .只能依据函数解析式的结构特征来选择相应的解法 .常用的方法有 :一、配方法形如 ｆ(ｘ) =ａｇ2 (ｘ) +ｂｇ(ｘ) +ｃ的函数的值域问题 ,都可使用配方法 .例 1 求函数 ｙ =-ｘ2 +2ｘ+3 的值域 .解 令ｕ=-ｘ2 +2ｘ +3=-(ｘ2 -2ｘ+1 ) +4=-(ｘ-1 ) 2 +4,显然有 0 ≤ｕ ≤ 4.由 ｙ =ｕ ,得 0≤ ｙ≤ 2 .因此 ,函数的值域为 [0 ,2 ].例 2 求函数 ｙ =ｓｉｎ2 ｘ -2ｓｉｎｘ +2 -π4<ｘ≤π 的值域 .解 令ｕ =ｓｉｎｘ -π4<ｘ≤π ,则-22 <ｕ≤ 1 ,函数 ｙ=ｕ2 -2ｕ+2=(ｕ-1 ) 2 +1 .… 相似文献
7.
运用矩阵的初等变量和初等矩阵的理论，给出了用贴边矩阵求向量空间Ｆ＾ｎ中某些生成子空间的基和维数的一个方法。 相似文献
8.
1 Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｉｎｅｃｏｌｏｇｙ ,ａｐｒｅｄａｔｏｒ ｐｒｅｙｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｂｏｔｈｐｏｐｕ ｌａｔｉｏｎｓｉｎｏｎｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｉｓｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｙｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｓｙｓｔｅｍ[1] :ｕｔ(ｘ ,ｔ) =ｕｘｘ ｕＭ (ｕ ,ｖ) ,ｖｔ(ｘ ,ｔ) =βｖｘｘ ｖＮ(ｕ ,ｖ) ,(1)ｗｈｅｒｅβｉｓａｐｏｓｉｔｉｖｅｃｏｎｓｔａｎｔ,ｕａｎｄｖａｒｅｔｈｅｐｒｅｙａｎｄｐｒｅｄａｔｏｒｄｅｎｓｉｔｉｅｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ,ａｎｄｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓＭａｎｄＮａｒｅ… 相似文献
9.
第九届天原杯试题第 8题及常见解法为 :原题 :测得某溶液中含Ｃｕ2 、Ｋ 、ＳＯ42 - 、Ｃｌ- 四种离子 ,且阳离子个数比为 :Ｃｕ2 ∶Ｋ =3∶4,则ＳＯ42 - 与Ｃｌ- 的个数比可能是 ( )。Ａ、3∶2 Ｂ、1∶3 Ｃ、1∶8 Ｄ、2∶5解析 :根据电荷守恒法 ,可得其比值。设溶液中含ＳＯ42 - ｘ个 ,Ｃｌ- ｙ个。则 :2ｘ 5ｙ=3ｎ× 2 4ｎ× 1所以ＳＯ42 - 与Ｃｌ- 的个数比可能有以下特征 :(1 )当ｘ=ｎ时 ,ｙ =8ｎ,ｘ∶ｙ =1∶8(2 )当ｘ=2ｎ时 ,ｙ=6ｎ ,ｘ∶ｙ=1∶3(3)当ｘ=3ｎ时 ,ｙ=4ｎ ,ｘ∶ｙ=3∶4(4 )当ｘ=4ｎ时 ,ｙ=2ｎ ,ｘ∶ｙ=2∶1… 相似文献
10.
董裕华 《中学数学教学参考》2000,(5)
复合函数是函数知识的综合和拓展 ,在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识 ,在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现 ,但现行中学数学教材中没有作出系统研究 .本文拟讨论形如 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的复合函数的性质及其应用 .一、基础知识1 定义 .设函数ｙ =ｆ(ｕ) ,当ｕ∈Ｐ时 ,ｆ(ｕ)∈Ｑ ;ｕ又是ｘ的函数 ,ｕ =ｇ(ｘ) ,当ｘ∈Ｍ时 ,ｕ∈Ｐ .从集合Ｍ中每一个给定的ｘ ,通过Ｐ中唯一的元素ｕ与集合Ｑ中唯一的元素 ｙ相对应 ,则ｙ也是ｘ的函数 ,称为这两个函数的复函数 ,记为ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ] .其中ｙ=ｆ(ｕ)叫做复合函数的外函数 ,ｕ =… 相似文献
11.
计算ｃｏｓｎ2π7 ｃｏｓｎ4π7 ｃｏｓｎ6π7的一个通项公式逆用如下组合恒等式[1] : [ｎ2 ]ｋ =0 Ｃｋｎｃｏｓ(ｎ -2ｋ)ｘ=2 ｎ - 1ｃｏｓｎｘ(ｎ为奇数 ) ,2 ｎ - 1ｃｏｓｎｘ 12 Ｃｎ2ｎ(ｎ为偶数 ) ,即将ｘ =2π7,4π7,6π7代入 ,三式相加 ,当ｎ为奇数时 ,ｆ(ｎ) = ｉ=2 相似文献
12.
设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则不等式ｂ21ａ1 ｂ22ａ2 … ｂ2ｎａｎ≥(ｂ1 ｂ2 … ｂｎ) 2ａ1 ａ2 … ａｎ,当且仅当 ｂ1ａ1=ｂ2ａ2=… =ｂｎａｎ时等号成立 .证明 设 ｂｉｂ1 ｂ2 … ｂｎ=ｕｉ,ａｉａ1 ａ2 … ａｎ=ｖｉ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) .∵ ｕ21ｖ1 ｖ1≥ 2ｕ1,ｕ22ｖ2 ｖ2 ≥ 2ｕ2 ,… ,ｕ2ｎｖｎ ｖｎ≥ 2ｕｎ ,将这ｎ个不等式相加得ｕ21ｖ1 ｕ22ｖ2 … ｕ2ｎｖｎ≥ 1,即 ｂ21ａ1 ｂ22ａ2 … ｂ2ｎａｎ≥(ｂ1 ｂ2 … ｂｎ) 2ａ1 ａ2 … ａｎ.当且仅当ｕ1=ｖ1,ｕ2 =ｖ2 ,…… ,ｕｎ=ｖｎ ,即ｂ1ａ1=… 相似文献
13.
《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题 设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数… 相似文献
14.
裘良 《中学数学教学参考》2001,(8)
定理 两个ｎ(ｎ≥ 2 )次方程ａｉｘｎ ｂｉｘ ｃｉ=0○i(ｉ=1 ,2 )有公共根的充要条件是(ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 ) ｎ =(ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1) ｎ - 1(ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1) .③证明 :设①、②有公根ｘ0 ,记 ｙ =ｘ0 ｎ,ｚ =ｘ0 ,则关于 ｙ、ｚ的方程组ａ1ｙ ｂ1ｚ ｃ1=0 ,ａ2 ｙ ｂ2 ｚ ｃ2 =0 ④有解 ( ｙ ,ｚ) .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1≠ 0时 ,④的解是ｙ =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1,ｚ =ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1.⑤因 ｙ=ｘ0 ｎ=ｚｎ,由⑤可验证③成立 .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1=0时 ,因④有解 ,只有ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1=0 ,即③成… 相似文献
15.
第 3 0届ＩＭＯ训练题中有一道试题 :对满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =1的正数ｘ、ｙ、ｚ,求ｘ1 -ｘ2 +ｙ1 -ｙ2 +ｚ1 -ｚ2 的最小值 .安振平先生将其推广为[1] :已知ａｉ ∈Ｒ+(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,∑ｎｉ=1ａｎ - 1ｉ =1 .则 ∑ｎｉ=1ａｎ - 2ｉ1 -ａｎ- 1ｉ≥ ｎｎ -1ｎ - 1ｎ .受其启发 ,笔者发现可将其进一步推广为 :已知ａｉ∈Ｒ+(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,α1、α2 、ｋ∈Ｎ ,ｃ>ａｋα2ｉ ,且∑ｎｉ=1ａα1+α2ｉ =ｎ ｃｋ +1α1+α2ｋα2 .则∑ｎｉ=1ａα1ｉｃ-ａｋα2ｉ≥ ｎｋｃｋ +1α1-ｋα2ｋα2 .证明 :令ｘｉ=ａα2ｉ(ｃ … 相似文献
16.
在解析几何中 ,求与二次曲线中点弦有关的系列问题 ,很多同学都是通过直线和二次曲线组成的方程组来进行讨论 ,往往都很繁 .本文通过介绍两个定理 ,提供一个极其简单的方法来求解这一类问题 .定理 1 已知曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0为二次曲线 ,Ｑ为直角坐标平面内一点 ,其坐标为 (ｍ ,ｎ) .则恒有 :(1)曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0和曲线Ｃ′ :Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ-ｙ) =0关于Ｑ点对称 ;(2 )直线ｌ :Ｆ(ｘ ,ｙ) -Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ - ｙ) =0为过Ｑ点的一条直线 ;(3)若直线ｌ和曲线Ｃ相交于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则直线ｌ和曲线Ｃ必有另一公共点Ｐ′(2ｍ -ｘ0 ,2ｎ… 相似文献
17.
文 [1]给出了在约束条件Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 =Ｍ下 ,求函数ω =Ａｘ2 Ｄｘｙ Ｃｙ2 (Ａ、Ｃ、Ｍ ∈Ｒ ,Ｂ、Ｄ ∈Ｒ)最值的一种方法 ,其实求解这类问题的关键在于设法消去乘积项ｘｙ .众所周知 ,任意两个实数ｘ、ｙ ,均可表示成ｘ=ｕ ｖ,ｙ=ｕ -ｖ的形式 ,于是ｕ2 -ｖ2 =ｘｙ,从而也达到了消去乘积项ｘｙ之目的 .我们不妨称这种方法为和差换元法 ,运用和差换元法可以解决更具一般性的问题 ,我们先以文 [1]中的例题予以说明 .例 1 (1993年全国高中数学联赛试题 ,文 [1]中例 1)设ｘ、ｙ∈Ｒ ,且 4ｘ2 - 5ｘｙ 4ｙ2 =5 ,记Ｓ=ｘ2 ｙ2 ,… 相似文献
18.
张德科 《中学数学教学参考》2000,(11)
一元多项式是各级各类数学竞赛的热点内容 ,它的研究和讨论是基于初等数学中的一元二次方程等方面的有关内容类比和推广而展开的 ,对于培养学生正确理解数学思想 ,掌握数学解题方法和策略是非常重要的 .在内容上 ,本讲重点研究一元ｎ次方程根的个数、根与系数的关系及整除性问题等 .一、基础知识1.形如 ｆ(ｘ) =ａｎｘｎ ａｎ - 1 ｘｎ - 1 … ａ1 ｘ ａ0 (其中ｎ为非负整数 ,ａ0 ,ａ1 ,ａ2 ,…ａｎ∈Ｃ ,且ａｎ≠ 0 )的代数式称为关于ｘ的复系数一元ｎ次多项式 .特别地 ,当系数ａ0 ,ａ1 ,… ,ａｎ∈Ｒ(或Ｑ或Ｚ)时 ,ｆ(ｘ)称为实系数 (… 相似文献
19.
本文的ｆ(ｘ)是定义在Ａ上的函数 ,对于任何一个ｘ ∈Ａ ,都有ｆ(ωｘ φ) =ｆ(ｘ) (其中ω、φ为常数 ) .众所周知 ,在上式中当ω =1、φ≠ 0时 ,,ｆ(ｘ)是Ｔ=φ的周期函数 ;当ω =- 1时 ,ｆ(ｘ)的图像关于直线ｘ =- φ2 对称 ;当ω =0时 ,ｆ(ｘ)是常值函数ｙ =ｆ(φ) .那么 ,当ω≠± 1、0时 ,ｆ(ｘ)又是如何的函数呢 ?设ｕ=ωｘ φ ,ｘ0 是Ａ上的任意一个自变量值 .1)若｜ω｜ <1,记ｕ1=ωｘ0 φ ,ｕ2 =ωｕ1 φ=ω2 ｘ0 ωφ φ ,… ,ｕｎ=ωｕｎ-1 φ=ωｎｘ0 ωｎ-1φ … ωφ φ=ωｎｘ0 1-ωｎ1-ωφ ,… .当ｎ→ ∞时 ,ｕｎ… 相似文献
20.
设 Ａ =ａ11ａ12 …ａ1ｎａ2 1ａ2 2 …ａ2ｎ…………ａｎ1ａｎ2 …ａｎｎ是数域Ｆ上的矩阵。如果把Ａ的每一个列都看作一个向量 ,叫做Ａ的列向量 ,那么这几个列向量属于向量空间Ｆｍ。设Ａ经过一次行的初等变换后得到Ａ1,Ａ和Ａ1的列向量分别记为α1,α2 ,… ,αｎ 和α′1,α′2 ,… ,α′ｎ。如果Ａ1的任何一部分列向量 (为说话方便 ,假设前ｔ个向量 ,ｔ ｎ)满足线性关系式ｘ1α′1+ｘ2 α′2 +… +ｘｔα′ｔ =0 (ｘｉ∈Ｆ ,ｉ =1,2 ,… ,ｔ) ,即ｘ1α′1+… +ｘｔα′ｔ+ 0·α′ｔ+ 1+… + 0 ·α′ｎ =0 ,亦即( 1)Ａｘ1…ｘｔ 0… 相似文献