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1.
刘健 《河北理科教学研究》2013,(3)
1919年,R.Weitzenbǒck[1]给出了下述三角形不等式:△ABC的三个边长与面积分别为a,b,c和△,则有a2+b2+c2≥4√3△,(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
在1961年举行的国际数学竞赛中,不等式(1)被选为赛题.从此这一不等式广为人知,并被称为Weitzenbǒck不等式. 相似文献
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一个不等式的推广 总被引：3，自引：0，他引：3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
4.
设P为△ABC所在平面上任意一点,△为其面积.则成立不等式PA2sinA PB2sinB PC2sinC ≥2△, (1)其中等号当且仅当P为△ABC的内心时成立. 相似文献
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安振平 《中学数学教学参考》1994,(5)
1983年,笔者曾在大学毕业论文中证得 定理 设x,y,z∈R~ ,则在△ABC和△A′B′C′中,有式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′且x:sin2A=y:sin2B=z:sin2C时成立. 在通用符号下,①式可变形或特殊化为 其中λ,μ,u∈R~ .由①～⑤式可推出外森比克不等式、费-哈不等式、高灵不等式、纽贝格-匹多不等式及一系列结果,这些在文[1]、[2]、[3]中曾作过讨论。下面再给出几个新的结果。 相似文献
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Bokov不等式 :设ha、hb、hc 分别是△ABC的三边a、b、c上的高 ,r为△ABC的内切圆半径 .则∑ haha- 2r≥9.①其中∑ 表示循环和 .本文将给出式①的两种形式的加强 .命题 1 在△ABC中 ,有∑ haha- 2r≥3pr23.②其中p为△ABC的半周长 ,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立 .证明 :令∏ 表示循环积 ,则∏ haha- 2r=∏2pra2pra - 2r=∏ pp -a=p3(p -a) (p-b) (p-c) =p3pr2 =pr2 .由三元均值不等式可得∑ haha- 2r≥3∏ haha- 2r13=3pr23.易见上式当且仅当ha=hb=hc 即a =b=c时等号成立 .由不等式p≥33r和式②可知式①成立 ,故式②强于式① … 相似文献
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8.
设a、b、c为正实数,则有 222[1]1(),2abcabcbccaab (1) 222[2]1().2abcabcabbcca (2) 文[3]将不等式(1)、(2)统一推广为 定理1 设a、b、c为正实数,l、m、u是不全为零的非负实数,则有 2aabcabclmulmu 宄 . (3) 其中表示对a、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lmu==时成立. 本文从指数方面考虑,给出不等式(3)的推广. 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、u是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabclmulmu-- 宄 . (4)证明 22()mmaaabcabclmulmu=? 22()()maabclmu? (根据Cauchy不等式)① 22()()maalmu= … 相似文献
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在△ABC中,有不等式cos^2A＋cos^2B＋cos^2 C≥3/4^[1]等号成立当且仅当△ABC为正三角形． 相似文献
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在△ABC中:tg~2A/2 tg~2B/2 tg~2C/2≥2—8sinA/2·sinB/2·sinC/2,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。 上述不等式就是所谓的“Garfunkel—Bankoff”不等式(以下简称“G—B”不等式)。下面给出“G—B”不等式的一个新的证法。 相似文献
11.
吴卫兵 《黄冈师范学院学报》1993,(2)
设a,b,c,Δ与a′,b′,c′,Δ′分别代表△ABC与△A′B′C′的三边与面积,则著名的Pedoe不等式是: a′~2(-a~2+b~2+c~2)+b′~2(a~2-b~2+c~2)+c′~2(a~2+b~2-c~2)≥16ΔΔ′,式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′时成立。文[1]证明了: 设△.表示a~(1/2),b~(1/2),c~(1/2)组成的三角形的面积,则有 相似文献
12.
刘健 《教学月刊(中学下旬版)》2010,(13)
设△ABC的外接圆半径与内切圆半径及半周长分别为R,r,s,则有不等式:
s4-2(2R2+10Rr-r2)s2+r(4R+r)3≤0, (1)
等号当且仅当△ABC为等腰三角形时成立. 相似文献
13.
设,,abc皆为正实数,则有 32cbabacabc++?++, (1) 等式成立当且仅当abc==. 不等式(1)是广为人知的循环不等式[1]、[2],并且已推广到多元情形[3],本文给出它的一个加权形式的推广. 定理 设,,abc皆为正实数,,,lmu是不全为零的非负实数,且2mul+?则有 ababcbcalmulmu+++++ 3ccablmulmu+?+++, (2) 等式成立当且仅当lmu==或abc==. 为证明定理,我们先给出一条引理: 引理[4] 设,iaR(1,2,,),ibRin?L则有 22111()niniiniiiiaabb===, 等式成立当且仅当1122///nnababab===L. 定理的证明 由假设,不等式(2)的左边的三个分母均大于零,于是… 相似文献
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正1919年,Weitezenbock提出了关于三角形的著名不等式:a2+b2+c2≥槡4 3 S,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.关于它的推广与加强被广泛研究,但大多数是增加不等式右边的项数,如著名的Finsler-Hadwiger不等式:a2+b2+c2≥槡4 3S+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.本文从新的角度给出它的一个有趣隔离如下:定理在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C的中线长为m a,m b,m c,内角平分线长为w a,w b,w c,高线长分别为h a,h b,h c,△ABC面积记为S,则 相似文献
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1989年，陈计与楼红卫建立了下述一个优美的几何不等式：设P为△ABC内一点，△ABC的三边为a,b，c，则事实上，不等式（1）对平面上任一点P都成立，这从[1]中的证明可知.1993年，作者得出了类似的结论：对等式，下面将分别介绍它们.为简单起见，本文省略所有不等式等号成立条件的确定过程.另外，恒用a，b，c表示△ABC的三边，而s，r，R,△分别表示其半周、内切圆半径、外接圆半径和面积.一、不等式（1）、（2）的比较在拙文[2]中，我们已经指出不等式（2）强于Bodewadt不等式；PA PB PC≥容易知道，不等式(1)与后者不分强弱.这使我们… 相似文献
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关联三角形半径的一个不等式链 总被引：1，自引：0，他引：1
由荷兰几何不等式专家O.Bottema与著名的南斯拉夫不等式小组合作的久享盛誉的专著《几何不等式》一书中载有R.R.Janic建立的一个有趣不等式:设△ABC的三边长为a,b,c,对应的旁切圆半径为r_a,r_b,r_c,则a~2/r_br_c b~2/r_cr_a c~2/r_ar_b≥4 (1)当且仅当△ABC为正三角形时,(1)式取等号。 相似文献
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设△ABC的外接圆与内切圆的半径分别为R与r,则R≥2r,其中等号成立当且仅当△ABC为正三角形.这就是著名的欧拉不等式,它不仅形式简洁、优美,而且应用极为广泛,众多的三角形不等式都是其等价形式(参见文[2]).关于它的证明常见于许多书刊,如文[1]给出了其三角证法.纵观这些证明,均较繁琐.本文给出一种极为简捷的证法及其推广如下.1 欧拉不等式的简证 证明:如图 1,记△ABC的三边长分别为 相似文献
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安振平 《中学数学教学参考》2008,(3):28-28
在文[1]中,作者提出并探讨了一个关于三角形内角的不等式：
问题1 在锐角△ABC中,有
∑1/sin 2A≥∑1/sin A.
当且仅当△ABC为正三角形时等号成立． 相似文献
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本文设定:a、b、c为△ABC的边长;?、p分别为△ABC的面积和半周长;R、r分别为△ABC的外接圆的半径和内切圆的半径;d=R2?2Rr;∑表示循环和.所谓Finsler-Hadwiger不等式,即43? ∑(a?b)2≤∑a2≤43? 3∑(a?b)2.(1)当且仅当a=b=c时不等式(1)等号成立.本文将不等式(1)改进为:·24·43? 4∑(a?b)2/3≤∑a2≤43? 14∑(a?b)2/9.(2)当且仅当a=b=c时不等式(2)等号成立.先看下面的定理条件如文前设定,则有43? λ∑(a?b)2≤∑a2≤43? μ∑(a?b)2.(3)式中λ=1 2B2/((4R r)(4R r 3B2)),μ=1 2(2R?r 2d)/(4R r 3B1).其中B1=2R2 10Rr?r2?2(R?2r)d,2… 相似文献
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196 1年 ,在匈牙利举行的第三届国际数学竞赛中 ,有一道由波兰命题的三角形不等式证明题 :已知三角形的边长分别为 a,b,c,面积为 S,证明 :a2 +b2 +c2≥ 4 3S,(1)并求出在什么条件下等号成立 .这就是著名的魏琴伯克 (Weitzenbock)不等式 (1919年 ) ,等号成立的条件是此三角形为正三角形 .后来 ,Finsler(1937年 )又将它加强成2 bc+2 ca+2 ab- a2 - b2 - c2 ≥ 4 3S.(2 )本文将 (1)左式缩小 ,建立如下的定理 :在△ABC中 ,如上所设 ,有2 ab+c2 ≥ 4 3S,(3)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .根据三角形面积的不同的表达形式 ,下面给出几… 相似文献