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统编初中平面几何第二册第85页的例1是一道典型的基本例题。其思考方法十分典型。我们把它称为命题1: 已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径。求证:AB·AC=AD·AE。教材上给出了△ABC为锐角三角形的图形,并用三角形相似的办法给出了证明。事实上,△ABC是直角三角形或钝角三角形的情形时,结论仍然成立。另外,用三角形的面积公式和正弦定理也可以证明: ∵BC=2R·sinA=AE·sinA。 相似文献
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1 命题若 AD为 Rt△ ABC的斜边 BC上的高 ,则 1AD2 =1AB2 1AC2 .图 1证明 如图1 ,因 AB⊥ AC,AD⊥ BC,故 AB· AC= AD· BC,于是 1AD2 =BC2AB2 · AC2 =AB2 AC2AB2 · AC2 =1AB2 1AC2 .2 应用例 1 在 Rt△ ABC中 ,∠A=90°,以CB,CA,AB为轴将△ ABC旋转一周所得几何体的体积分别记为 Va,Vb,Vc,试证明 :1V2a= 1V2b 1V2c.证明 如图 1 ,有Vb=13πAB2·AC,Vc=13πAC2 · AB,Va=13πAD2·BD 13πAD2·DC =13πAD2 · BC=13πAD· AB·AC.故 1V2b 1V2c=1( 13πAB· AC) 2( 1AB2 1… 相似文献
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性质三角形任意两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积. 已知(?)O是△ABC的外接圆,AD是边BC上的高,AE是(?)O的直径. 求证:AB·AC=AD·AE. 证明如图1,连结BE,则有 相似文献
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与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜。由于角平分线具备“角相等”和“公共边”这两个自身条件,因此,解决这类问题,常可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法。例1如图1,在△ABC中,∠BAC的外角平分线上取一点D,连结BD、CD。求证:BD+CD>AB+AC·证明:在BA延长线上截取AE=AC,连结DE.图1∵∠1=∠2,AD公用∴△ADC≌△ADE∵ED=CD在△EBD中,ED+BD>BE,∴BD+CD>AB+AC·例2如图2,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,AC=AB+BD·求证:∠ABC=2∠C·证明:延长AB到E,使AE=AC,连结DE·图2∵AE=AC,∠1=∠2,AD=A… 相似文献
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吕建恒 《中学数学教学参考》2006,(8)
题目已知:在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边上一点.求证:AB~2=AD~2+BD·CD.思路分析1:因为 BD、CD 在同一边上,从而考虑相交弦定理,于是作△ABC 的外接圆进行论证.证法1:作△ABC 的外接圆 O,延长AD 交⊙O于 E,连结 BE(如图1),∵AB=AC,∴∠1=∠E.∴△ABD∽△AEB,∴AB~2=AD·AE=AD·(AD+DE)=AD~2+AD·DE. 相似文献
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<正> 一、构造相似三角形法例1 如图1,在△ABC中,∠A的平分线交BC于D,交外接圆于E,∠B的平分线交AD于F,证明:EF是AE和DF的比例中项.证明 相似文献
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翻开数学辅导书或模拟试卷,会发现许多练习题、测试题都直接或间接地用到了人民教育出版社出版的《几何》第三册第36页例2的知识,有的就是它的变形.因此,加深对该例题的理解,有助于我们提高证题能力.一、分析该例题的证题思路例如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆的直径.求证:AB·AC=AE·AD.简析:求证比例式,首先应考虑构造两个相似三角形,因为以AC、AD、DC为边的三角形为直角三角形,又考虑到AE为直径,故而想到连结BE(或CE),证△ABE∽△ADC(或证△ACE∽△ADB)即可.证明略.二、拓展及练习1.如图2,△ABC内接于⊙O,AB=AC… 相似文献
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随着课程改革的不断深入,教育理念在不断更新,培养学生的创新意识和创新能力被提到一个全新的高度上来.掌握科学的解题方法,不断探索简洁、明快的解题规律,达到快速解题、触类旁通,实乃培养学生创新精神的良好途径.下面就九年义务教育人教版初三几何P79例2结论的广泛应用,略举几例,以供同学们参考.例题如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径,求证:AB·AC=AE·AD.证明:连接BE.因为AE为⊙O的直径,所以∠ABE=90°.因为∠ADC=90°,所以∠ABE=∠ADC.因为∠E=∠C,所以△ABE∽△ADC,所以ABAD=AEAC,所以AB·AC=AE·AD.… 相似文献
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王庆金 《中学数学研究(江西师大)》2014,(1):F0004-F0004
正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过 相似文献
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1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC. 相似文献
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闵耀明 《中学数学教学参考》2008,(6)
1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD. 相似文献
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全日制十年制学校初中几何第二册习题二十第28题:求证三角形一边上的高与外接圆直径的积等于其他两边的积。证明:如图,AE为直径,连BE,则∠ABE=90∵ AD⊥BC,又∠C=∠AEB,∴△AEB～△ACD,∴AB/AD=AE/AC,即AD·AE=AB·AC。中学现行课本未进一步阐明这题的作用,其实运用此命题在证某些题时可以说是一条“捷径”,能简化某些习题的论证。在教学中经常注意这种解题的分析、总结工作,对提高教学质量十分有效。例如,借助它,可以引导学生方便地去解与圆有关的以 相似文献
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例1 如图1,以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D,交AC于E,EF⊥BC于F,BF:FC =5:1,AB=8,AE=2.求:AD的长. 相似文献
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定理1 △ABC中,AD是中线,F为AD上任一点、BF交AC于E,若AE(?)EC=m,则AF:FD=2m.证 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则AF:FD=AE:EG.∵ D为BC中点,∴AF/FD=AE/((1/2)EC),即AF:FD=2m.定理2 △ABC中,D为BC上一点,E为AC上的一点,AD、BE交于点F,若AE:EC=m,CD:DB=n,则AF:FD=m(1 n).证明 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则 相似文献
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题目如图1,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且AE=AF,△AEF的外接圆交线段AD于点P.若点P满足PD~2=PE·PF,证明: 相似文献
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《时代数学学习》2005,(10)
一、填空题(每小题5分,共40分)1.如图1,AO=BO,AE=BD,P是AD和BE的交点,该图中有对全等三角形.图1图22.如图2,∠A=∠C,AF=CE,若要证明△ABE≌△CDF,还需补充一个条件,(1)若以“SAS”为依据,则补充的条件是.(2)若以“ASA”为依据,则补充的条件是.3.若等腰三角形的一个内角为150°,腰长为a,则腰上的高等于.4.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AC的垂直平分线交AB于D,则图3∠BCD=.5.如图3,△ABC中,AB=16,AC的垂直平分线MN交BC于N,若△NBC的周长为26,则BC=.6.如图4,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=3,下列各图所示的三角形… 相似文献
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题1如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的平分线，①点E在△ABC内部，且EC⊥AD交AB于F，②ED∥AC．③求证：射线AE平分边BC．④ 相似文献
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庞尔新 《雁北师范学院学报》2001,17(3):92-92
有些几何题 ,若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化 ,就会收到化难为易、事半功倍的效果 .1 求边长例 1、如图 1所示 ,在△ABC中 ,AB=4 ,BC=3 ,∠ABC=1 2 0°,求 AC的长 .解 :经过 A作 CB延长线的垂线 ,垂足为 E.因为∠ABC=1 2 0°,故∠ ABE=60°.在 Rt△ ABE中 ,AE=AB· sin60°=4× 3 /2=2 3 ,BE=AB· cos60°=4× 1 /2 =2 .在 Rt△ACE中 ,AC=AE2 CE2=( 2 3 ) 2 52 =3 7.2 求角例 2 如图 2所示 ,在△ ABC中 ,AB=4 ,AC=2 1 ,BC=5,求∠ B的度数 .解 :作 AD⊥ BC于 D.设 BD=x,则 D… 相似文献
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如图 1 ,在△ABC中 ,BC边上依次有B、D、E、C ,AC边上依次有A、G、F、C ,满足BD =CE =14BC ,图 1CF =AG =14AC ,BF交AE于J ,交AD于I,BG交AE于K ,交AD于H ,且S△ABC=1 ,则S四边形KHIJ=。(天津师大《中等数学》2 0 0 1年第四期第 40页数学奥林匹克初中训练题 )如果将此题的条件改为CF =AG =1nAC ,CE =BD =1nBC ,那么四边形KHIJ与△ABC的面积的比值能否用n的式子表达呢 ?请看下面的命题 :引申 如图 2 ,在△ABC中 ,BC边上依次有B、图 2D、E、C ,AC边上依次有A、G、F、C满足BD =CE =1nBC ,CF =AG =1n A… 相似文献
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严琳 《数理化学习(初中版)》2013,(8):49
1.作第三线例1四边形一组邻边的中点的连线平行于另一组对边中点的的连线.分析:如图1,连接AC,根据三角形中位线定理可证.2.作第三角例2设AD为△ABC的外接圆的直径,AH为BC边上的高,那么∠BAC的平分线AE二等分AD和AH的夹角. 相似文献