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1.
凹四边形的一个面积公式 总被引：1，自引：0，他引：1
唐传发 《中学数学教学参考》2003,(3):62-62
文 [1 ]证明了凸四边形的一个面积公式 ,本文应用类似的方法 ,证明了该公式也适用于凹四边形 .定理 设凹四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,对角线ＡＣ =ｍ ,ＢＤ =ｎ ,则其面积Δ =144ｍ2 ｎ2 -(ａ2 -ｂ2 +ｃ2 -ｄ2 ) 2 .证明 :不妨设Ｃ是凹顶点 (如图 ) .延长ＡＣ交ＢＤ于Ｅ ,记∠ＡＥＢ =θ ,ＢＥ =ｘ ,ＥＤ =ｙ ,ＣＥ =ｚ,则ｘ +ｙ=ｎ ,ＡＥ =ｍ +ｚ .由余弦定理 ,有ａ2 =ｘ2 +(ｍ +ｚ) 2 -2ｘ(ｍ +ｚ)ｃｏｓθ ,ｂ2 =ｘ2 +ｚ2 -2ｘｚｃｏｓθ,ｃ2 =ｙ2 +ｚ2 +2 ｙｚｃｏｓθ ,ｄ2 =ｙ2 +(ｍ +ｚ) 2 +2 ｙ(ｍ … 相似文献
2.
1 已知ｘ2 ｙ2 +ｘ2 +ｙ2 -4ｘｙ -8ｘ -8ｙ + 2 5=0 ,求ｘ、ｙ的值 .2 已知ａ、ｂ、ｃ都是正实数 ,且ａ >ｂ.求证 :ａ2 +ｃ2 -ｂ2 +ｃ2 <ａ-ｂ.3 已知 2 5ａ -5ｂ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.4 已知△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足不等式ａ+ｂ +ｃ + 1 7≤ 4ａ -8+ 6ｂ-3+ 8ｃ-1 ,试判定△ＡＢＣ的形状 .5 若ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 + 5ｘ -7=0的两个根 ,则 (2ｘ21+ 1 3ｘ1-1 9) (2ｘ22 + 1 3ｘ2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ) 2-8(ｘ +ｙ) + 1 6 =0 ,即 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ -4 ) 2=0 .∴ ｘ… 相似文献
3.
第 一 试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5ａ2 +ｂ2 ) =5ｃ2 满足ｃ≤2 0的正整数解 (ａ ,ｂ,ｃ)的个数是 ( ) .(Ａ) 1 (Ｂ) 3 (Ｃ) 4 (Ｄ) 52 .函数ｙ =ｘ2ｘ - 1(ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 1)的递增区间是( ) .(Ａ)ｘ≥2 (Ｂ)ｘ≤0或ｘ≥2(Ｃ)ｘ≤0 (Ｄ)ｘ≤1- 2 或ｘ≥ 23.过定点Ｐ(2 ,1)作直线ｌ分别交ｘ轴正向和ｙ轴正向于Ａ、Ｂ ,使△ＡＯＢ(Ｏ为原点 )的面积最小 ,则ｌ的方程为 ( ) .(Ａ)ｘ +ｙ - 3=0 (Ｂ)ｘ +3ｙ - 5 =0(Ｃ) 2ｘ +ｙ - 5 =0 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 4=04 .若方程ｃｏｓ 2ｘ +3ｓｉｎ 2ｘ =ａ +… 相似文献
4.
由向量基本定理可以得到 :设ＯＡ、ＯＢ是平面内两个不共线向量 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数ｘ ,ｙ ,使得ＯＣ =ｘＯＡ+ｙＯＢ且ｘ+ｙ =1.设ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ是空间不共面的向量 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共面的充要条件是存在唯一的一组实数ｘ、ｙ、ｚ ,使得ＯＤ =ｘＯＡ +ｙＯＢ +ｚＯＣ且ｘ +ｙ+ｚ =1.用好这两个充要条件 ,在证明有关问题时可省去很多证明过程 .例 1 已知ＯＡ =ａ ,ＯＢ =ｂ,ＯＣ =ｃ ,ＯＤ=ｄ ,ＯＥ=ｅ.又Ｏ、Ａ、Ｂ不共线 ,如果ａ=3ｃ,ｂ =2ｄ ,ｅ=ｔ(ａ+ｂ) .试问 :ｔ为何值时 ,Ｃ、Ｄ、Ｅ三… 相似文献
5.
在△ＡＢＣ中 ,有著名的Ｆｉｎｓｌｅｒ Ｈａｄｗｉｇｅｒ不等式∑ａ2 ≥ 43△ + ∑(ｂ-ｃ) 2 .①其中ａ、ｂ、ｃ、△分别是△ＡＢＣ三边、面积 ,∑为循环和 .文 [1 ]将其加强为∑ａ2 ≥ 43△ + ∑(ｂ -ｃ) 2 +∑[ｂ(ｃ+ａ -ｂ) -ｃ(ａ +ｂ -ｃ) ]2 .②事实上 ,Ｆ—Ｈ不等式①可以这样得到 :对任意正数ｘ、ｙ、ｚ,有恒等式(ｘｙ +ｘｚ+ｙｚ) 2=3ｘｙｚ(ｘ+ｙ +ｚ) + 12 [ｘ2 (ｙ -ｚ) 2+ｙ2 (ｘ -ｚ) 2 +ｚ2 (ｘ -ｙ) 2 ].③在③中 ,令ｘ =ｓ -ａ ,ｙ =ｓ -ｂ ,ｚ =ｓ-ｃ,得[∑(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) ]2=3ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)+ 12 ∑(ｓ-ａ)… 相似文献
6.
张洁运 《中学数学教学参考》2002,(5):59-59
定理 在四面体Ｐ ＡＢＣ中 ,设ＰＡ =ｚ ,ＰＢ =ｘ ,ＰＣ =ｙ,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,记 ｙ2 ｚ2 -ｂ2 =Ｘ2 ,ｚ2 ｘ2 -ｃ2 =Ｙ2 ,ｘ2 ｙ2 -ａ2 =Ｚ2 ,则四面体体积Ｖ =11 2 [4ｘ2 ｙ2 ｚ2 -ｘ2 Ｘ2 -ｙ2 Ｙ2 -ｚ2 Ｚ2 Ｘ2 Ｙ2 Ｚ2 ]12 .先证如下 :引理 从一点Ｏ引 相似文献
7.
例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明 设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2 在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明 设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ… 相似文献
8.
定理 1 如图所示 ,记椭圆Ｃ的切线ｌ与以椭圆长轴为直径的圆Ｏ从左至右依次交于Ａ、Ｂ两点 ,则直线Ｆ1Ａ ⊥ｌ且直线Ｆ2 Ｂ ⊥ｌ(其中Ｆ1、Ｆ2 表示椭圆的左、右焦点 ) .证明 当切点是椭圆的顶点时结论显然成立 ;当切点不是椭圆的顶点时 ,设Ｃ的方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｂ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 ) ,则圆Ｏ的方程为ｘ2 + ｙ2 =ａ2 .设直线ｌ与椭圆Ｃ的切点为Ｍ(ａｃｏｓθ ,ｂｓｉｎθ) ,则得切线ｌ的方程为ｂｃｏｓθ·ｘ +ａｓｉｎθ·ｙ=ａｂ . ①由①解出 ｙ并代入ｘ2 + ｙ2 =ａ2 ,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 θ +ｂ2 ｃｏｓ2 θ)·ｘ2 - 2ａｂ2… 相似文献
9.
知识链接 二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是- ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .所以 ,当ａ <0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ >0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .例 1 用长 8ｍ的铝合金条制成如图 1形状的矩形窗框 ,使窗户的透光面积最大 ,那么这个最大透光面积是 ( ) .(Ａ) 6 42 5 ｍ2 (Ｂ) 43ｍ2 (Ｃ) 83ｍ2 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市中考题 ) 解 设窗户的宽为ｘｍ ,高为ｙｍ ,则 3ｘ+2ｙ=8.∴ ｙ =4- 32 ｘ .设透光面积为Ｓｍ2 ,则Ｓ =ｘｙ=ｘ 4- 32 ｘ … 相似文献
10.
蒋祝权 《中学数学教学参考》2001,(6)
定理 设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′ ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′… 相似文献
11.
一、选择题 (5分 × 12 =60分 )1.设集合Ｍ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙｉ｜=1},Ｎ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙ｜=1},其中ｘ ,ｙ∈Ｒ ,则Ｍ∩Ｎ的元素个数是 ( ) (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 42 .过点Ｐ(-2 ,1)且垂直于向量ａ=(2 ,1)的直线方程是 ( ) (Ａ) 2ｘ + ｙ=0 (Ｂ) 2ｘ + ｙ + 3 =0 (Ｃ) 2ｘ + ｙ + 4=0 (Ｄ) 2ｘ + ｙ -3 =03 .若ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ都是实数 ,且满足以下三个条件 :①ａ +ｂ=ｃ +ｄ ,②ａ +ｄ<ｂ +ｃ,③ｄ>ｃ,则有 ( ) (Ａ)ａ >ｂ>ｄ >ｃ (Ｂ)ｂ>ｄ >ｃ >ａ (Ｃ)ａ>ｄ >ｃ>ｂ (Ｄ)ｄ >ｃ… 相似文献
12.
《中学生理科月刊》2001,(6)
一、1 Ｃ 2 Ｂ 3 Ｄ 4 Ａ 5 Ｃ 6 Ｄ 7 Ｂ 8 Ｄ 9 Ａ 10 Ｃ二、11 若ａ∥ｂ ,ｂ∥ｃ ,则ａ∥ｃ(或若ａ∥ｂ ,ａ⊥ｃ ,则ｂ⊥ｃ等 ) 12 32 13 160° 14 98ｍ 15 ｙ2 <ｙ3 <ｙ1 16 9 17 7或 2 5 18 180° 19 ＡＣ =ＣＥ ,ＣＤ ∥ 12 ＢＥ ,ＣＤ⊥ＡＢ ,ＣＤ平分ＡＢ ,ＣＤ过圆心 ,ＡＤ2 =ＣＤ·ＤＦ ,… 2 0 13+ 2 3+ 33+… +ｎ3=(1+ 2 + 3 +… +ｎ) 2 或 13+ 2 3+ 33+… +ｎ3=ｎ(ｎ + 1)22三、2 1 原式 =- 2ｘ2 .∵ ｘ2ｘ2 - 2 =11- 3 - 2 ,∴ ｘ2 - 2ｘ2 =1- 2ｘ2 =1- 3 - 2 .∴ - 2ｘ2 =- (… 相似文献
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我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 : ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2… 相似文献
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《中学生理科月刊》2001,(7)
一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 若ｘ -2 +ｙ +3 =0 ,则 ｙｘ 的值是 ( ) .(Ａ) 32 (Ｂ) 23 (Ｃ) -32 (Ｄ) -232 若ａ、ｂ为实数 ,则下列命题中正确的是 ( ) .(Ａ)ａ >ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｂ)ａ≠ｂ ａ2 ≠ｂ2(Ｃ) |ａ|>ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｄ)ａ >|ｂ| ａ2 >ｂ23 若关于ｘ的二次方程 (ｂ -ｃ)ｘ2 +(ａ -ｂ)ｘ +ｃ -ａ =0有相等的两实数根 ,则ａ、ｂ、ｃ间的关系是 ( ) .(Ａ)ａ =ｂ +ｃ2 (Ｂ)ｂ =ａ +ｃ2 (Ｃ)ｃ =ａ +ｂ2 (Ｄ)ａ +ｂ +ｃ =04 若 4ｘ3-ｘ =1,则 8ｘ4+12ｘ3-2ｘ2 -5ｘ +5的值… 相似文献
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设△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,Ｆ是△ＡＢＣ内的费尔马点 ,延长ＡＦ、ＢＦ、ＣＦ分别交对边于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′ ,记ＡＡ′=ｘ ,ＢＢ′ =ｙ ,ＣＣ′=ｚ .文 [1]、[2 ]分别建立了如下不等式 :ｘ ｙ ｚ≤ 32 (ａ ｂ ｃ) ,(1)1ｘ 1ｙ 1ｚ ≥ 6ａｂ ｂｃ ｃａ. (2 ) 本文给出不等式 (1)、(2 )的统一加强形式 ,即定理 在△ＡＢＣ中 ,有ｘ ｙ ｚ≤ 32 ａｂ ｂｃ ｃａ. (3) 引理 1[3] 设Ｐ为△ＡＢＣ内任一点 ,∠ＡＰＢ、∠ＢＰＣ、∠ＣＰＡ的平分线与边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ分别交于Ｅ1、Ｅ2 、Ｅ3,则ＰＡ ＰＢ ＰＣ ≥ 2 (Ｐ… 相似文献
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二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1 推证几个重要结论命题 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明 由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上… 相似文献
17.
类似于圆 ,我们把椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1或双曲线 ｘ2ａ2- ｙ2ｂ2 =1上任意一点到中心的连线段叫做椭圆或双曲线的半径 ,用ｒ表示 ,则有椭圆 :1ｒ2 =ｃｏｓ2 αａ2 ｓｉｎ2 αｂ2 (1)双曲线 :1ｒ2 =ｃｏｓ2 αａ2 - ｓｉｎ2 αｂ2 (2 )其中α为半径所在直线的倾斜角 ,(2 )中当α在[ａｒｃｔｇ ｂａ ,π-ａｒｃｔｇ ｂａ]时ｒ不存在 .1 公式证明设直线 ｙ =ｔｇα·ｘ交椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1于Ａ ,Ｂ的点 ,则｜ＯＡ｜ =｜ＯＢ｜ =ｒ .由ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1,ｙ =ｔｇα·ｘ ,可知 ｜ＯＡ｜=ｒ=ａｂｂ2 ｃｏｓ2 α ａ2 ｓｉｎ2 α,即… 相似文献
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《现代中小学教育》2000,(6)
一、1 - 1 0 2 9× 10 - 9 2 .ｘ =3 3.ｘ8-ａ8 4 .ｘ≤ 1 5.0 6 .- 2 7.负数 8 ｘ≠ 0 ,ｘ≠ 2 9.2 5ａ2 ｂ2 10 .ｘ12 11.ａ ｂ 12 .ｘ <0 13.- 2ｘｙ 14 ａ ,ｂ互为相反数且ｂ≠ 0 15 ｘ =1ｙ =4 ｘ =2ｙ =2二、1 Ａ 2 Ｃ 3 Ｃ 4 Ａ 5 Ｂ 6 Ｃ 7 Ｃ 8 Ｄ 9 Ｂ 10 Ｄ三、1 2 56ｘ8- 32ｂ4 ｘ4 ｂ8 2 .ａ6 - 2ａ3ｂ3 ｂ6 3.2ｘｙ - 2 ｙ2 - 2 ｙｚ 4 .43ａ6 ｂ55.3ｂ2 - 2ａｂ - 25ａ2 6 .ａｘｎ 2 -ｂｎ 1 ｃｘｎ四、1 ｘ =83ｙ =23 2 .ｘ =136ｙ =- 144 55… 相似文献
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背景知识 二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是 -ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .这就是说 ,当ａ<0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ>0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .图 1例 1 用长 8ｍ的铝合金条制作如图 1形状的矩形窗框 ,如果要使窗户的透光面积最大 ,那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) .(Ａ) 6 42 5ｍ2 (Ｂ) 43ｍ2(Ｃ) 83ｍ2 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市、衢州市中考题 )解 设这个矩形窗框的宽为ｘｍ ,面积为ｙｍ2 ,则窗框的长度为 8-3ｘ2 ｍ .于是 ,有ｙ =ｘ 8-3ｘ2… 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1.已知 ａ3+ｂ3+ｃ3- 3ａｂｃａ +ｂ +ｃ =3.则(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ａ -ｂ)·(ｂ-ｃ)的值为 ( ) .(Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 42 .规定“△”为有序实数对的运算 ,如下所示 ,(ａ ,ｂ)△ (ｃ,ｄ) =(ａｃ +ｂｄ ,ａｄ +ｂｃ) .如果对任意实数ａ、ｂ都有 (ａ ,ｂ)△ (ｘ ,ｙ) =(ａ ,ｂ) ,则 (ｘ ,ｙ)为( ) .(Ａ) (0 ,1) (Ｂ) (1,0 ) (Ｃ) (- 1,0 ) (Ｄ) (0 ,- 1)3.在△ＡＢＣ中 ,2ａ=1ｂ+1ｃ.则∠Ａ( ) .(Ａ)一定是锐角 (Ｂ)一定是直角(Ｃ)一定是钝角 … 相似文献