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1.
李新荣 《数理天地(高中版)》2003,(2)
题设二次函数f(x)=ax2+bx+c,当x∈[-1,1]时|f(x)l|≤1成立,试证明:对一切x∈[-1,1],都有|2ax+b|≤4. 分析1 结论为当x∈[-1,1]时,|ax+b|≤4,而已知x∈[-1,1]时|f(x)|≤1恒成立,很自然想到先把a,b表示成f(x)的形式,然后对[-1,1]上的x进一步讨论|2ax+b|与4的大小. 相似文献
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1996年全国高考试题第 2 5题 ,是一次、二次函数和不等式的综合性试题 ,当年的考生反应强烈 ,得分率很低 .实际上 ,除试题本身较难、思维层次高外 ,也说明学生对一次、二次函数特别是一次函数的性质掌握得不好 .现将原题及解答抄录于下 :已知 a,b,c是实数 ,函数 f ( x) =ax2 +bx +c,g( x) =ax +b,当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,( 1)证明 :|c|≤ 1;( 2 )证明 :当 - 1≤ x≤ 1时 ,|g( x) |≤ 2 ;( 3)设 a >0 ,当 - 1≤ x≤ 1时 ,g( x )的最大值为2 ,求 f ( x) .解 :由 ( 1)由条件当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,取 x =0得 |c|=|f ( 0 ) |… 相似文献
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文 1、文 2分别利用图象法和均值代换法解决了一类在给定条件下三角函数取值范围问题 .本文利用函数的单调性来解决这类问题 (下面的例子都是文 1、2中的例题 ,以后不再说明 ) .例 1 已知 sin x+ 2 cos y=2 ,求 2 sin x+ cos y的取值范围 .解 由条件得 sin x=2 ( 1 - cos y) ,1∴ 2 sin x+ cos y=4 - 3cos y,2由 1 ,有 2 | ( 1 - cos y) | =| sin x|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 32 .又 | cos y|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 1 . 3令 t=cos y,则由 2 ,3有2 sin x+ cos y=4 - 3t,其中 t∈ [12 ,1 ].令 f( t) =4 - 3t ( 12 ≤ t≤ 1 ) .易知 f( t)在 [12… 相似文献
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先看一例 :已知二次函数 f(x)满足条件 :| f(0 ) |≤1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1.试证 :对于 x∈[- 1,1]时必有 | f(x) |≤ 54.证 设 f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 ) ,则由f(0 ) =c,f(1) =a b c,f (- 1) =a- b c,可得 a =f (1) f (- 1) - 2 f (0 )2 ,b =f (1) - f (- 1)2 ,c=f(0 ) .又∵ | f(0 ) |≤ 1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1及 x∈ [- 1,1],∴| f (x ) | =| f(1) f(- 1) - 2 f(0 )2 x2 f (1) - f(- 1)2 x f (0 ) | =| f(1)2 (x2 x) f (- 1)2 (x2 - x) f(0 ) (1- x2 ) |≤ 12 | x2 x| 12 | x2 - x| | 1- x2 | … 相似文献
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如何确定恒成立或有解的不等式中参数的范围是一个难点 ,如果能将参数分离出来 ,再运用有关的函数方程等知识可以较好解决 .下面分情况说明 .一、a 0在 | x|≤ 2时恒成立 ,求 m的范围 .解 :原不等式等价于 ( x2 - x + 1) m 0 ,m f ( x… 相似文献
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高考答题是能力与时间的角逐 ,能力“到位”还要讲究思路和方法 ,一般在“巧解”上作文章 ,这就要积累平时的解题经验与捕捉他人之“玉” .本文提供 7个途径 ,供取长补短 .1 适时代换 ,减轻负担例 1 设a为实数 ,函数f(x) =x2 |x -a| 1,x∈R .求f(x)的最小值 .解 令 |x -a|=t (t≥ 0 ) ,则f(x) =|(x -a) a|2 |x -a| 1≥|t-|a||2 t 1=t2 -( 2 |a|-1)t a2 1=[t-( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 / 4.①设g(t) =[t -( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 /4.当 |a|-1/ 2≤ 0 ,即 -1/ 2≤a≤ 1/ 2时 ,g(t)在 [0 , ∞ )上递增 ,从而g(t) min=g( 0 )=a2 1.当 … 相似文献
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文 [1 ]简解了 2 0 0 1年中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试第 6题 :记F =max1≤x≤ 3|x3-ax2 -bx -c| ,当a、b、c取遍所有实数时 ,求F的最小值 .下面给出另一个简解 :令f(x) =x3-ax2 -bx -c,在区间 [1 ,3]内对称地取 4个点x =1 ,32 ,52 ,3,易验证- 23f(1) +43f 32 - 43f 52 +23f(3) =1①成立 .因F≥| -f( 1 ) | ,F≥ f 32 ,F≥ -f 52 ,F≥|f( 3) | ,则4F =23F + 43F + 43F + 23F≥ - 23f( 1 ) + 43f 32 +- 43f 52 + 23f( 3)≥ - 23f( 1 ) + 43f 32 -43f 52 + 23f( 3)=1 .故F≥14 .等号成立当且仅当| -f( 1 ) | =f 32 =-f 52=|f( 3) … 相似文献
11.
梁新潮 《数理化学习(高中版)》2003,(6)
题目已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.(1)证明:|c|≤1;(2)证明:当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2;(3)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x). 这是1996年高考理科卷的压轴题,主要考查函数的性质、含有绝对值不等式的性质,以及综合运用数学知识分析问题、探究问题与解决 相似文献
12.
殷建忠 《雁北师范学院学报》2001,17(3):91-91
数形结合是数学基本思想方法之一 .用这个观点和方法处理问题 ,常常可以简化求解过程 ,使问题化难为易 .1 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合这一类数形结合有效地提示了各类函数的定义域、值域、单词性、奇偶性、周期性等基本属性 ,体现了数形结合的特征与方法 .例 1、如果 |x|≤ π/4那么函数 f( x) =cos2 x siny的最小值是 .A ( 2 -1 ) /2 , B ( 2 1 ) /2 ,C -1 ,D ( 1 -2 ) /2 .解 :令 sinx=X,则f ( x) =-x2 x 1 =-( x-1 /2 ) 2 5/4 .由题设 |x|<π/4可知 ,|x|≤ 2 /2 .所以 ,f ( x) =-x2 x 1 ( |x|≤… 相似文献
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文 [1 ],[2 ]各用一种方法介绍了形如函数 f( x) =ax2 + b- x( x≥ 0 ,a>1 ,b≥ 0 )(下称函数 )的最小值的求法 ,文 [3]用三种不同策略研究了比函数 更一般的函数f( x) =m x2 + 1 + nx(其中 mn<0 ,且 | nm|<1 ) (下称函数 )的值域 .本文再给出函数 的值域的一种新求法 .用待定系数法将 f( x)变形为f( x) =m+ n2 ( x2 + 1 + x) + m- n2( x2 + 1 - x) .( 1 )若 m>0 ,n<0 ,则由 | nm| <1得- m0 ,m- n2 >0 ,又 x2 + 1 + x>| x| + x≥ 0 ,x2 + 1 - x=1x2 + 1 + x>0 ,故由基本不等式得 f( x)≥ 2·m+ n2 ( x2 + … 相似文献
15.
赵忠彦 《数理化学习(高中版)》2004,(16)
函数y=|ax2 bx c|(a≠0)在区间[p,q]上的最大值,由其图象易知只能在x=p或x=q或x=-b/2a处取得,利用这一性质可以直观明晰地解决有关问题. 例1 已知二次函数f(x)=ax2 bx c,当|x|≤1时,有f(x)≤1.求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 分析:只需证|f(-2)|、|f(2)|均不大于7,且当|-b/2a|≤2时,|f(-b/2a)|也不大于7 相似文献
16.
本文准备谈一下关于([f(x)]~2)~(1/2)=|f(x)|的逆用,作为本刊83年第6期“(a~2)~(1/2)型根式变形教学管见”一文的补充。例1.求证|f(x)|~2=[f(x)]~2 证明:|f(x)|=([f(x)]~2)~(1/2) 两边平方,得|f(x)|~2=[f(x)]~2。例2.化简|(1+sinα)~(1/2)-(1-sinα)~(1/2)|(0≤α≤π) 解:原式=(((1+sinα)~(1/2)-(1-sinα)~(1/2))~2)~(1/2) 例3.求证|asinx+bcosx|≤(a~2+b~2)~(1/2)。证明:|asinx+bcosx|=((asinx+bcosx)~2)~(1/2)=(a~2sin~2x+b~2cos~2x+2absinxcosx)~(1/2)=((a~2+b~2)-(a~2cos~2x+b~2sin~2x-2absinxcosx)~(1/2)=(a~2+b~2-(bsinx-acosx)~2)~(1/2)≤(a~2+b~2)~(1/2)。 相似文献
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高中数学新教材有这样两道习题 :题 1 已知 f(x) =lg1-x1+x,a、b∈ (- 1,1) ,求证 f(a) +f(b) =f(a +b1+ab) .(高一上册第 89页 )题 2 已知 ｜a｜<1,｜b｜<1,求证 :a+b1+ab <1.(高二上册第 2 2页 )文 [1]作者谈了题 1、题 2的 4点思考 :①题 1中 f(a) ,f(b) ,f(a+b1+ab)有意义是必须证明的 ;②题 1不属于“恒等式证明” ;③题 1在高一现有知识范围内可以有不同的证明方法 ;④题 2可以通过构造题 1的函数来证明 .笔者完全赞同这 4点 ,并愿意作 4点补充 :1 要积极挖掘函数值之间的关系 ,培养发现能力题 1中的函数值关系式 f(a) +f(b) =f(a+… 相似文献
18.
刘少平 《第二课堂(小学)》2004,(1)
一、求函数的定义域的试题例1 已知f(x+1)的定义域是[-2,3),求,f(1/x+2)的定义域.解∵f(x+1)的定义域为[-2,3),即-2≤x<3, ∴-1≤x+1<4 ,∴-1≤1/x+2<4.∴x≤-1/3或x>1/2故f(1/x+2)的定义域为(-∞,-1/3]∪(1/2,+∞).二、确定取值范围的试题例2如果函数f(x)的定义域为{x|x>0},且,f(x)为增函数,f(x·y)=f(x)+f(y). 相似文献
19.
徐照武 《中学生数理化(高中版)》2004,(5):34-34
116 .问 :函数 f(x) =x2 |x -a| 1的最小值是多少 ?(huangkun1988@tom .com)答 :f(x) =x - 122 a 34(x≤a) ,x 122 34-a(x≥a) .若a≤ - 12 ,则 f(x)在 (-∞ ,a]上单调递减 ,其最小值为 f(a) =a2 1;f(x)在 [a , ∞ )上的最小值是 f - 12 =34-a .因a2 1≥ 34-a ,故 f(x)的最小值是 34-a .若 - 12 ≤a≤ 12 ,则 f(x)在 (-∞ ,a]上单调递减 ,其最小值为 f(a) =a2 1;f(x)在 [a , ∞ )上单调递增 ,其最小值为f(a) =a2 1.故f(x)的最小值为a2 1.若a≥ 12 ,则 f(x)在 (-∞ ,a]上的最小值为 f 12 =a 34;f(x)在 [a , ∞ )上单调递增 ,其最… 相似文献
20.
20 0 2年的高考数学压轴题是 :已知 a>0 ,函数 f( x) =ax- bx2 .( )当 b>0时 ,若对任意 x∈ R都有f ( x)≤ 1 ,证明 a≤ 2 b ;( )当 b>1时 ,证明 :对任意 x∈ [0 ,1 ],| f ( x) |≤ 1的充要条件是 b- 1≤ a≤ 2b ;( )当 0 相似文献