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若在四边形ABCD内存在点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的几个计算公式.为了叙述方便,假设四边形的边AB,BC,CD,DA的长度为a,b,c,d,边AP,BP,CP,DP的长度分别为m,n,s,t,△ABP,△BCP,△CDP,△DAP的面积依次 相似文献
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若在凸四边形ABCD内,存在点P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做凸四边形的勃罗卡点,而角α称为凸四边形的勃罗卡角.(见图)关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论凸四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的一个计算公式.为了叙述方 相似文献
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若在四边形ABCD内,存在点P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.(见图1)关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论.本文假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的.文献[2]中利用杨学枝的一个性质.给出了凸四边形内勃罗卡角的一个计算公式,之后文献[3]中利用正弦与余弦定理给出了四边形内勃罗卡角的几个计算公式.本文给出勃罗卡角的三个重要公式,进一步丰富了四边形内关于勃罗卡角的性质. 相似文献
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吴嘉程 《苏州教育学院学报》2000,(4)
设P为△ABC内一点,且上∠PAC=∠PCB=∠PBA=α,则称P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,(如图1).作为平面几何的亮点名角,二者相辅相存,交相辉映.多层次剖析、全方位透视勃罗卡角,既可以欣赏其优美,领略其精采,又可以激发学习兴趣,磨炼钻研意志.一、勃罗卡角的性质及推论二、性质 如图1,设P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,则ctgα=ctgA ctgB ctgC勃罗卡角的这一性质定理,证法很多,这里只用一种方法证之.证明:∵∠BPC=∠A ∠C=180°-∠B同理上:∠APB=180°-∠A,∠CPA=∠180°-∠C∴ 在△BPC、△APB中用正弦定理可得: 相似文献
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如图1,已知△ABC中,P是其内部一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则α称为勃罗卡角,点P称为勃罗卡点,据有关文章介绍,任意一个三角形都有两个勃罗卡点和两个勃罗卡角,本文拟给出勃罗卡点到三角形各顶点的距离公式,及包括勃罗卡角计算公式在内的几个重要结论。定理已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,设PA=x,PB=y,PC=z,则 相似文献
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魏春强 《陕西教育学院学报》1998,(4)
如图1,P为△ABC中一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称P点为勃罗卡点,角α为勃罗卡角。文[1]给出设P到三角形三边BC,CA,AB的距离分别为x,y,z,△表△ABC面积文[2]给出实际上,如图所示作出的勃罗卡点是唯一的,则P点到三顶点、三边距离应是确定的。定理1:P是△AB 相似文献
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文[1]给出:若△ABC面积为?,Brocard角为α,则Brocard点在三边的射影为顶点的三角形面积为?sin2α.文[2]推广为:P是双圆四边形ABCD的Brocard点,∠P AB=∠P BC=∠P CD=∠P DA=α,P点在AB、BC、CD、DA上的射影分别为A'、B'、C'、D',记四边形ABCD的面积为?,则四边形A'B'C'D'的面积为?'=?sin2α.文[3]指出文[2]“双圆四边形”的条件是多余的,并将上述结论推广到凸多边形A1A2A3L An,得到:设凸多边形A1A2A3L An的Brocard点为P,其Brocard角为θ,点P在直线Ai Ai+1上的射影为Bi(i=1,2,L,n且A n+1为A1),多边形A1A2A3L An和… 相似文献
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刘南山 《中学数学研究(江西师大)》2014,(9):21-22
设P是AABC内的一点,若∠PAB=∠PBC=PCA=α,则称点P为αABC的勃罗卡点,α称为△ABC的勃罗卡角.关于三角形中勃罗卡点的研究文献已有不少,本文给出它到三顶点距离的几个不等式.为行文方便,记△BC的三内角分别为A,B, 相似文献
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关于勃罗卡点的两个命题 总被引:1,自引:0,他引:1
本文介绍与勃罗卡点相关的三角形、双圆四边形中的两个命题. 命题1 设P是△ABC的勃罗卡点(如图),△BPC、△CPQ、△APB的内切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△_a、△_b、△_c,△ABC的内切圆半径和面积为r、 相似文献
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1 问题提出
如图1,凸四边形ABCD,如果点P满足∠APD=∠APB=α,且∠BPC=∠CPD=β,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.…… 相似文献
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如图1,已知△ABC中,P是其内部一点,如则α称为勃罗卡角,点P称为勃罗卡点.文[1]指出了P点到A、B、C、三点的距离之和为本文打算用较简明的方法.分别求出点P到A、B、C三点的距离.为此,先证明下面的预备定理(图1);已知P是△ABC的一个勃罗卡点.相应的勃罗卡角是中,由余弦定理得同理可得上面三式相加.并注意代入化简即得下面的定理,给出了PA、PB、PC的计算公式.定理:已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是证明:(图2)过A作AB的垂线,与线段AC的中垂线相交.设交点为O.∴AB是△PCA外接圆的切线,A是… 相似文献
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第一天 1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部。证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。 相似文献
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张永召 《中学数学教学参考》1997,(6)
关于勃罗卡角、点的两个关系式河南石油勘探局职工大学张永召如图,P为△ABC中一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则P点称为勃罗卡点,角α称为勃罗卡角.定理1设α为△ABC的勃罗卡角,则1sin2α=1sin2A+1sin2B+1sin2C.证明... 相似文献
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第39届IMO试题解答 总被引:1,自引:0,他引:1
1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部,证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。 证明:先证必要性:即当A、B、C、D四点共圆时,有S_(△ABP)=S_(△CDP). 相似文献
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第39届IMO第一题,是一个很有趣的几何题,题目如下: 题在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与CD不平行.点P为线段AB、CD垂直平分线的交点,且P点在四边形ABCD内部.证明:ABCD为圆内接四边形的充分而必要条件是:△ABP与△CDP的面积相等. 相似文献
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<正>本文以一道期末试题为例,谈谈如何从复杂的图形中剥离出基本图形,从而建构学生的模型思想,进一步提升学生的核心素养.一、试题呈现感知(1)如图1,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,点E在边CD上,∠AEB=90°,AE=EB,求证:△AED≌△EBC.探究(2)如图2,在四边形ABCD中,∠C=∠ADC=90°,点E在边CD上,点F在边AD的延长线上,∠FEG=∠AEB=90°,且AE=EB,EF=EG,连结BG交DC于点H.求证:BH=GH. 相似文献