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1.
椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)中除长轴两端点外的任一点P(x1,y1)与两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)所组成的三角形PF1 F2叫做焦点三角形 .焦半径|PF1|=a ex1,|PF2|=a-ex1.焦点三角形具有不少有益的结论,而对这些结论的证明亦颇有启迪性;并且这些结论在解题中也能起到不少帮助. 1.△PF1F2的周长为定值. 这个结论显而易见.由椭圆定义知|PF1| |PF2|=2a,而|F1F2|=2c,因此这个定值为2a 2c. 相似文献
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廖清蛤 《数学大世界(高中辅导)》2003,(11):32-32
设P(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上的点,F1、F2为其左、右焦点.由椭圆第二定义易得|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(e为离心率).这就是椭圆的焦半径公式,运用它可解决与焦点三角形有关的问题. 1.求坐标取值范围 相似文献
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本文介绍椭圆与双曲线的一个有趣性质,并说明其应用. 性质 1 设P点是椭圆b2x2+a2y2+a2b2(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则|PF1|·|PF2|=2b2/1+cosθ 简证:由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a (1) 在△PF1F2中,由余弦定理有 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ=4e2 (2) (1)2-(2)化简得 |PF1|·|PF2|= 2b2/1+cosθ 性质2 将性质1中的 b2x2+a2y2=a2b2改为b2x2-a2y2=a2b2(a>0,b> 0),其余不 相似文献
4.
设椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)是椭圆上的任意一点,且椭圆的离心率为e,则有|PF1|=a ex0,|PF2|=a-ex0(*),(*)式可由椭圆的第二定义很快证到,通常称之为椭圆的焦半径公式.…… 相似文献
5.
焦忠汉 《中学数学研究(江西师大)》2003,(3):35-36
在椭圆和双曲线的焦点三角形中,我们易推出其面积公式: 命题1 设F1、F2是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的两个焦点,P是异于长轴端点的椭圆上一点,若∠F1PF2=θ,则△PF1F2的面积S=b2tanθ/2(Ⅰ). 相似文献
6.
本文探索了椭圆、双曲线焦半径与焦半径夹角的关系,得到如下两个结论. 定义圆锥曲线上一点与其焦点的连线段叫做焦半径. 定理1 P(x0,y0)是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)是左右焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,则 2b2/1 cosθ=r1r2,且tanθ/2=c|y0|/b2. 证:如图,在△F1PF2中有 相似文献
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叶晓斌 《河北理科教学研究》2015,(3)
题目 (2014年湖北理数第9题)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π/3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()
A.4√3/3 B.2√3/3 C.3 D.2
解析:不妨设椭圆和双曲线的方程分别为x2/a212+t2/b12=1和x2/a22-y2/b22=1,其中:a1＞b1＞0,a2 ＞0,b2 ＞0,且椭圆和双曲线的离心率分别为e1和e2.记|PF1 |=m,| PF2 |=n,则由椭圆和双曲线的定义知:|m+n|=2a1①,| m-n |=2a2②.由①②得:m2+n2=2a2+ 2a2,mn=a12-a22③.在△F1 PF2中,应用余弦定理得:cos∠ F1PF2=m2+n2-(2c)2/2mn =1/2,即m2+ n2-4c2=mn. 相似文献
9.
宋吉 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z2)
大凡数学考试,总少不了选择题、填空题.如果我们能牢记一些常用的结论和公式,解这些题时就会快捷许多,省不少“事”.譬如,要记着下面这些——1.对椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)若F1F2是焦点,∠PF1F2=a,∠PF2F1=β,则椭圆离心率e= 相似文献
10.
《考试说明》要求考生:1掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程;2掌握圆锥曲线的初步应用.下面介绍圆锥曲线基础试题的考点和解析.考点1 求椭圆坐标的取值范围例1 (2000年新课程卷高考题)椭圆x29+y24=1焦点为F1和F2,点P为椭圆上的动点.当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围.解析:设P(x0,y0)是曲线x2a2±y2b2=1上的一点,则|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(e为离心率,F1、F2为左、右焦点).运用焦半径公式可简捷地解决与焦点三角形有关的问题.解:a=3,b=2,c=5.设P(x,y),由焦半径公式知|PF1|=3+53x.|… 相似文献
11.
蒋明权 《数理化学习(高中版)》2006,(3)
我们把连接圆锥曲线的焦点与曲线上任一点的连线段称为它们的焦半径,根据圆锥曲线的统一定义,很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式．下面是用得较多的焦半径公式: (1)对于椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)而言．|PF1|=a ex0,|PF2|=a-ex0． (2)对于双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b> 0)而言,|PF1|=ex0 a,|PF2|=ex0-a. (3)对于抛物线y2=2px(p>0)而言, |PF|=x0 p/2. 相似文献
12.
本文介绍椭圆与双曲线的一个有趣性质,并说明其应用. 性质 1 设P点是椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则|PF1|·|PF2|=2b2/1+cosθ 简证:由椭圆定义有|PF1|·|PF2|=2a (1) 在△PF1F2中,由余弦定理有|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ=4c2 (2) (1)2-(2)化简得 相似文献
13.
《中学生数理化(高中版)》2015,(4)
<正>定义:如图1,设F1,F2是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦点,P是椭圆上的任意一点(异于长轴的端点),则称△F1PF2为椭圆的焦点三角形.性质一:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为2b2/a. 相似文献
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《数学通报》2004(5)文[1]的性质7给出了椭圆焦点三角形的一个性质,本文把它作为命题1在以椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点F1、F2及椭圆上任一点P(除长轴两端点外)为顶点的△F1PF2中,∠F1PF2的外角平分线为l,过焦点F2(或F1)作l的垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程为x2+y2=a2(y≠0),(如下左图)本文先把命题1推广引申到双曲线、抛物的情形,再作进一步引申.命题2在以双曲线x2/a2?y2/b2=1(a>0,b>0)的两个焦点F1、F2及双曲线上任一点P(除实轴两端点外)为顶点的△F1PF2中,∠F1PF2的平分线为l,过焦点F2(或F1)作l的垂线,垂足为D,则点D的… 相似文献
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在解析几何中常见这样一类题:``(1)已知椭圆方程为x2/a2+y2/b2＝1(a＞b＞0),两焦点为F1、F2,如果椭圆上存在点P,使得∠F1PF2＝π/2,求该椭圆离心率e的取值范围. 相似文献
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所谓椭圆焦点三角形是指椭圆上任一点与其两焦点构成的三角形 .本文以椭圆 x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 )为例 ,利用其定义及性质来证明△F1PF2 的十一个性质 .记P(x0 ,y0 ) ,∠F1PF2 =γ ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β ,c =a2 -b2 ,e =ca ,则有以下性质 :性质 1 △F1PF2 的周长为 2a + 2c .证明略 .性质 2 |PF1| =a +ex0 ,|PF2 | =a -ex0 .证明略 .性质 3 △PF2 F1的面积S =b2 tan γ2 .证明 设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,则△PF2 F1的面积S =12 mnsinγ .由椭圆定义得m +n =2a .又由余弦定理得4c2 =m2 +n2 - 2mncosγ=(m +n) 2 -… 相似文献
17.
杨先义 《中学数学研究(江西师大)》2005,(7):21-21
笔者在教学中发现了圆锥曲线的两个有趣性质,介绍如下,供参考. 性质1 P(x0,y0)是椭圆x2/a2 y/b2=1(a＞b＞0)上一点,y0≠0,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,I的横坐标为xI,则xI/x0=e,其中e是椭圆的离心率. 相似文献
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赵春祥 《中学生数理化(高中版)》2005,(16)
我们把连接圆锥曲线的焦点与曲线上任一点的连线段称为它们的焦半径,根据圆锥曲线的统一定义,很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式. 下面是用得较多的焦半径公式: (1)对于椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)而言,|PF1|=a+ex0,|PF2|=a -ex0. 相似文献
19.
椭圆是一个完美的几何图形 ,笔者在最近的教学研究中 ,得到了三个与之有关的有趣的轨迹 ,现整理如下 ,供同行人士参考 . 图 1定理 1 (焦点三角形重心轨迹 )设A是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b >0 )上一点 ,F1(-c ,0 )、F2 (c ,0 )分别是左、右焦点 ,则△AF1F2 的重心轨迹是椭圆 x2(a/ 3) 2 + y2(b/ 3) 2=1,其离心率与原椭圆离心率相等 .证明 设点G(x ,y)是△AF1F2 重心 ,如图 1.因为点A在椭圆上 ,则A(acosθ ,bsinθ) .由三角形重心坐标公式x=-c+c+acosθ3=acosθ3,y =0 + 0 +bsinθ3=bsinθ3,消去θ整理得 x2(a/ 3) … 相似文献
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北京市朝阳区2007年高考数学第一次模拟试卷中有一道选择题:
已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,过点F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线,垂线交F1P的延长线于N,则点N的轨迹是( ). 相似文献