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形如f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)这类无理函数与圆锥曲线有密切联系,本文介绍借助圆锥曲线求其值域的两种方法。 1图象法 对于函数f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2为常数,且a_2≠0),若视f(x)为参数m,则原函数式为a_1x~2 b_1x c_1-m=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2),令y=a_1x~2 b_1x c_1-m和y=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)的图象分别为T_1,T_2,则当a_1=0时。T_1为直线,当a_1≠0时T_1为抛物线,由y= 相似文献
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近年来,国内外数学竞赛中经常出现两个一元二次方程有公共根的一类问题。本文将探讨两个一元二次方程的系数满足什么条件时才有公共根(以下的讨论是在复数域中进行)。为此,我们给出定理两个一元二次方程 a_1x~2+b_1x+c_1=0 (Ⅰ)和a_2x~2+b_2x+c_2=0 (Ⅱ)有一个公共根的充分必要条件是证明设x_1和x_2是方程(Ⅰ)的两个根, 相似文献
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(一)求有理分式函数y=(a_1x~2 +b_1x+c_1)/(a_2x~2+b_2x+c_2) 型的值域时,如果分子、分母没有公因式时,就可变形式形为 (a_2yg-a_1)x~2+(b_2y-b_1)x+c_2y-c_1=0(*) 设a_2y-a_1≠0时,方程*的判别式Δ≥0的解集为M,还不能确认集合M就是原函数的值域,因为当y=a_1/a_2时,方程*的二次项系数为零,此时必须考察y=a_1/a_2时,方程*是否有实数解,如果没有实数解,则所求的值域就是M,如果有实数解;所求的值域为 相似文献
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对于二次函y_1(x)=a_1x~2+b_1x+c_1与y_2(x)=a_2x~2+b_2x+c_2,(a_1.a_2(/)0),能否找到常数λ,使叠加得到的y_0(x)=y_1(x)+λy_2(x)的函数值不改变符号(定正或定负)? 下面用纯粹初等的方法进行探索: 因y_0(x)=a_1[x~2+b_1/a_1x+c_1/a_1+λa_2/a_1(x~2+b_2/a_2x+c_2/a_2)],若记b_/a_1=b、c_/a_1=c、λa_2/a_1=μ、 b_2/a_2=b_0、c_2/a_2=c_0,即考查y(x)=x~2+bx+c+μ(x~2+b_0x+c_0) 仍记为y(x)=y_1(x)+μy_2(x)〕在哪些情况下可以选取到实数μ使其定号。 相似文献
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本文给出下面两类绝对值方程的一种简便解法.定理(1) |(a_1x~2 b_1x c_1) (a_2x~2 b_2x c_2)|=|a_1x~2 b_1x c_1| |a_2x~2 b_2x c_2|(?)(a_1x~2 b_1x c_1) 相似文献
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李景华 《数理化学习(初中版)》2011,(7)
本文以初中数学竞赛题为例,将与一元二次方程有关的综合题进行归类分析,供参考.一、与一元二次方程相结合例1(1999年山东省初中数学竞赛题)已知方程x~2+a_1x+a_2a_3=0与x~2+a_2x+a_1a_3=0有且只有一个公共根,求证:这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程x~2+a_3x+a_1a_2= 相似文献
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形如y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)的分式线性函数的值域,特别是当x限制在某个区间上(x∈A)的值域问题是一个难点.一般是两边同乘以a_2x~2 b_2x c_2后整理成一个关于x的方程,通过研究该方程有解的条件(即 相似文献
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我们知道,关于多元二次多项式的因式分解,常常利用待定系数法来解决,但这种方法需解若干个方程组成的方程组,工作量很大。若利用一元二次三项式的因式分解来解决多元二次多项式的因式分解,就可收到事半功倍之效果。 [例1] 把f(x,y)=x~2+3xy+2y~2+4x+5y+3因式分解。分析:若f(x,y)能分解,则它必分解为。f(x,y)=(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)之形式。事实上,就是确定a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2。关于对它们的具体确定可在下面过程中来完成。至于原理的推证,请读者自行完成。解:分别分解关于x,y的一元二次三项式。 x~2+4x+3=(x+1)(x+3)……① 2y~2+5y+3=(y+1)(2y+3)……②通过①、②可确定a_1=1,b_1=1,c_1=1,a_2=1, 相似文献
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在三角问题中,有这样一类问题: 已知Asina+Bcosa=C,AB≠0,|C|/A~2+B~2≤1.求a_1sina+b_1cosa+c_1/a_2sina+b_2cosa+c_2的值。这类问题的一般解法是,先由已知条件求出sina和cosa,然后代入求值.运算非常复杂,解法不太简洁.本文将通过引设参数给这类问题一个巧妙的解法. 设a_1sina+b_1cosa+c_1/a_2sina+b_2cosa+c_2=k,则 (a_1-ka_2)sina+(b_1-kb_2)cosa=kc_2-C_1. 与已知条件联立,将由sina,cosa用k表示,再由sin~2a+cos~2a=1,求出k.从而问题获得解决. 例1 已知sina+3cosa=2.求sina-cosa/sina+cosa的值. 相似文献
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李武保 《延安教育学院学报》1997,(2)
中学代数讲过二元二次方程组的特殊解法.本文介绍二元高次方程组的一般解法.为此,先讨论两个一元多项式有公根的条件.一、结式的概念令f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) …… a_n(n>0)g(x)=b_0x~m b_1x~(m-1) …… b_m(m>0)是复数域c上两个一元多项式.在这里,我们并不假定a_0≠0,b_0≠0,这一点以后就可看出 相似文献
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本文拟将一代数定理的应用介绍如下,供同学们参考 [定理] 已知a_0+a_1+a_2+……+a_(n-1)+a_n=0,求证:一元n次方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)+……+a_(n-1)x+a_n=0(a_0≠0)有一个根为1。证明:(略)下面谈一下这个定理的应用: [例1] 已知方程(m+1)(x~2-x)=(m-1)·(x-1)的两根绝对值相等而符号相反,求m的值。解:原方程变形为(m+1)x~2-2mx+(m-1)=0,由题设知m+1≠0,但m+1-2m+m-1=0,∴此方程有一个根为1。而原方程两根绝对值相等、符 相似文献
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在实数范围内解无理方程,通常是把方程两边乘方同一次数,化为有理方程来解的,但对于形如 ax~2+bc+c+x(a_1x~2+b_1x+c_1)~(1/2)=0, (1)的无理方程,当c≠0时,若两边平方,一般会化为一个高于二次的整式方程,而这样的整式方程是中学生所不易解出的。本文运用不超过现行中学数学教材中的知识,从解决两个例子并通过对这两个特例的剖析入手,推 相似文献
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《南平师专学报》1982,(1)
(一) 引入。很久以前曾经流传过这样一个智力测验题:有12个球,外表全然一样,已知其中有一个球的重量异于其他,但不知其较轻或较重。试用无法码天平,称量比较三次,找出这个伪球X~*,并指出它较重或较轻于真球e。问题的解答如下:把12个球分为三组 A:a_1 a_2 a_3 a_4 B:b_1 b_2 b_3 b_4 C:c_1 c_2 c_3 c_4 今用无法码天平对A、B的重量进行一次比较,结果有两种可能 (Ⅰ)A=B 则 X~*∈C,a_1=b_i=e 第二次取c_1、c_2与c_3、e较若 c_1 c_2=c_3e,则 c_4=x~*由第三次比较可得x~*>e或x~*c_3e,比较c_1与c_2,则可断定c_3的真伪,从而定出c_1c_2 的情况,例如c_1>c_2则c_1=x~*>e等等。若c_1c_2相似文献
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定理 设△A_1B_1C_1和△A_2B_2C_2边长和面积分别为a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2和△_1,△_2,记s_i=a_i~2 b_i~2 c_i~2,i=1,2,H=a_1~2(-a_2~2 b_2~2 c_2~2) b_1~2(a_2~2-b_2~2 c_2~2) c_1~2(a_2~2 b_2~2-c_2~2),则有恒等式: 相似文献
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对形如(a_1x~2+b_1x+c_1)~(1/2)a_2x~2+b_2x+c_2的不等式的求解一般使用代数方法,必须分段讨论,如果借助于函数图象,不仅可以避免讨论,而且解法形象直观,便于理解。一、解一般的无理不等式例1.解不等式(x-1)~(1/2)>x-3。 相似文献
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关于分式函数y=a_1x~2 b_1x c_1/a_2x~2 b_2x c_2,x∈X,其中分子分母中的系数均为实数且X为使分母不为零的实数集,其极值问题看起来的确比较复杂,本刊1990—10上有文章讨论了这个问题.设, 相似文献
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第六届“祖冲之杯”数学邀请赛的一道试题,本刊曾提供了“巧解”,这里再提供一个“巧解”。原题:设a_1、b_1、a_2、b_2都是实数,a_1≠a_2且(a_1+b_1)(a_1+b_2)=(a_2+b_1)(a_2+b_2)=1, 求证:(a_1+b_1)(a_2+b_1)=(a_1+b_2)(a_2+b_2)=-1。证明将条件等式同除以(a_1+b_2)(a_2+b_1)得a_1+b_2/a_2+b_1=a_2+b_2/a_1+b_1=1/(a_1+b_1)(a_2+b_1)。而a_1+b_2/a_2+b_1=a_2+b_2/a_1+b_1=(a_1+b_2)-(a_2+b_2)/(a_2+b_1)(a_1+b_1)=a_1-a_2/a_2-a_1=-1,∴(a_1+b_1)(a_2+b-1)=-1。 相似文献