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1.
一、反序相加法例1已知f(x)=4x4 x2,求f(1101) f(1021) … f(110010)的和.解设x y=1,则有f(x) f(y)=44x x2 44y y2=44x x2 41-x41-x 2=1.令S=f(1011) f(1021) … f(110010),则S=f(110010) … f(1021) f(1011).上述两式对应相加,得2S=1 1 … !#"#$1100个=100.∴S=50.二、错位相减法例2求和:Sn=1 3x 5x2 7x3 … (2n-1)xn-1.解当x=0时,Sn=1.当x=1时,Sn=1 3 5 7 … (2n-1)=n2.当x≠0且x≠1时,等式两边同时乘以x,得xSn=1·x 3x2 5x3 7x4 … (2n-1)xn.原式与上式作差,得(1-x)Sn=1 2x 2x2 2x3 2x4 … 2xn-1-(2n-1)xn.再利用等比数列的求和公式,… 相似文献
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历来中学数学课本关于等比数列求和公式的推导都采用“错位相减法”,就是为了求等比数列前n项的和Sn先把等比数列{a_n}前n项的和写成 Sn=a_1+a_1q+…+a_1q~(n-2)+a_1q~(n-1)(1)在(1)的两边分别乘以公比q,得到 qSn=a_1q+a_1q~2+…+a_1q~(n-1)+a_1q~n(2)然后(1)、(2)两式错位相减,可以消去许多相同的项。 相似文献
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肖鹏 《中学生数理化(高中版)》2013,(7)
数列求和一直是高考的热点,因此,正确快速求和就显得尤为重要.对于一般的等差乘等比数列常用错位相减法来求和.
例 求Cn=(2n-1)2n的前n项和.
解:由Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n,得2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)·2n+1.
两式项减得:-Sn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)·2n+1. 相似文献
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肖宪龙 《数学大世界(高中辅导)》2005,(12)
公比不为“1”的等比数列{an}求和公式为:Sn=a1(11--qqn)(q≠1).应用层次一正用【例1】若1<|a|<|b|,求li mn→∞1 a a2 … an-11 b b2 … bn-1.解:因1<|a|<|b|,则||ba||<1,故有li mn→∞1 a a2 … an-11 b b2 … bn-1=li mn→∞1-an1-a1-bn1-b=li mn→∞(1-b)(1-an)(1-a)(1-bn)=li mn→∞anbn·(1-b)a1n-1(1-a)b1n-1=0应用层次二逆用【例2】li mx→1x x2 … xn-nx-1=.解:li mx→1x x2 … xn-nx-1=li mx→1(x-1) (x2-1) … (xn-1)x-1=li mx→1[1 (1 x) (1 x x2) … (1 x x2 … xn-1)]=li mx→1{n (n-1)x (n-2)x2 … [n-(n-1)]xn-1}=n (n-1) … 相似文献
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试题已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3…(Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;(Ⅲ)记bn=a1n+an1+2,求数列{bn}的前n项和Sn,并证明Sn+3Tn2-1=1.解(Ⅰ)由a1=2,且点(an,an+1)在f(x)=x2+2x的图象上,所以an+1=a2n+2an>0(n=1,2,3,…)所以llgg((11++aan+n)1)=lg(1lg+(12+ana+n)a2n)=2,所以数列{lg(1+an)}是以2为公比的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{lg(1+an)}的公比为2,第1项为lg3,从而lg(1+an)=2n-1lg3=lg32n-1,即1+an=32n-1(1)因此数列{an}的通项为an=32n-1-1.由(1)得… 相似文献
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刘学文 《中学数学研究(江西师大)》2009,(10):27-28
若{an}是等差数列,通项为an=a1＋（n-1）d（d≠0）;{bn}是等比数列,通项为bn=b1q^n-1（q≠1）,求数列{anbn}的前n项和Sn．此类问题高考中经常出现,解决的方法是错位相减法,而错位相减法涉及比较复杂的运算,考试时学生十有八九是算不对答案的．为了避免繁琐的运算,本文给出两种方法,供大家参考． 相似文献
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在很多书刊中 ,均可看到如下的一道命题 :等比数列 {an}共有 3n项 ,其前 n项和记为 Sn,则 Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n也是等比数列 .事实上 ,该命题是一个假命题 ,例如 :有穷数列 1 ,- 1 ,1 ,- 1 ,1 ,- 1的前两项和、中两项和及后两项和 ,组成的数列为 0 ,0 ,0 .显然不是等比数列 .一般地 ,等比数列 {an}只有满足条件 1 q … qn- 1≠ 0时 (其中 q为公比 ) ,才能具有下列性质 若数列 {an}是等比数列 ,公比为q,其前 n项和记为 Sn,当 1 q … qn- 1 ≠ 0时 ,则数列 Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n,… ,S(k 1 ) n-Skn,…是等比数列 (这里 k∈ N… 相似文献
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耿道永 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):25-27
下面结合几个实例谈谈函数思想在数列问题中的应用 .一、函数的定义在数列中的应用【例 1】给出以下三个结论 :① {an}是等差数列的充要条件是an 是n的一次函数 .② {an}是等差数列的充要条件是其前n项和Sn 是n的二次函数 .③ {bn}是等比数列 ,则bn 是关于n的指数函数形式 ,其中正确的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3分析 :{an}是等差数列 ,其通项为an =a1 +(n -1)d =dn+a1 -d ,其前n项和Sn =na1 +n(n-1)d2 .当d=0时 ,an 不是n的一次函数 ,Sn 也不是n的二次函数 .因此①、②都不对 .不难证明 ,{an}是等差数列 an =an+… 相似文献
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等差数列和等比数列有一个有趣的现象:若S_n是等差数列{a_n}或等比数列{a_n}的前n项的和,则S_0=0.这个结论看上去是毫无道理的,因为Sn的下标必须是正整数.但是,这个结论却是说的通的.因为等差数列的前n项的和为Sn=2dn2+a1-2dn,从函数的观点看,总有S0=0.等比数列的前n项的和Sn=na1(此时公比q=1)或Sn=a1qq n--1a1(此时公比q≠1,且为非零常数).从函数的观点看,也总有S0=0.所以S0=0是说的通的.我们可以说:S0=0是一个数列为等差数列或等比数列的必要条件.看似无理的结论形式,从函数的观点看,是毫无问题的了.仅仅说的通还不行,这个结论能否帮助我们思考及解决问题.我们看下面的问题:问题1下列说法中正确的是.(1)等比数列{an}的前n项的和Sn=mqn+p-rk,则m+p-rk=0.(2)数列{an}的前n项的和Sn=3×2n-1,则通项an=3×2n-1.分析(1)通常情况下,有两种思考方法:法1:求出a1=S1=mq+p-rk,a2=S2-S1=mq2-mq,a3=mq3-mq2,由a22=a1a3得,m+p-rk=0.法2:先求通项公式,即当n=1时,a... 相似文献
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数列求和是中学数学的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象之一.它对于提高数学思维能力十分有益,下面介绍数列求和的几种常用方法。一、错位相减法设数列{a_n}是等比数列,数列{b_n}是等差数列,则求解数列{a_nb_n}或{a_n/b_n}的前n项和S_n均可用错位相减法.例1设{a_n}是等差数列,{b_n}是各项都为正数的等比数列,且a_1=b_1=1,a_3b_5=21,a_5＋b_3=13,（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式; 相似文献
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数列求和是中学数学教学的重要内容。在现行的中学教材中,只安排了等差、等比数列的求和内容。但高考题中出现的数列大多数都是由等差、等比数列构造而成的非简单的等差、等比数列。本文拟对几种常见类型的数列求和公式作探讨。 命题1 设数列{a_n}是公差为d（d≠0）等差数列,数列{b_n }是公比为 q（q≠1）的等比数列,则数列{a_nb_n}的前n项和 S_n=(a_1b_1-a_nb_nq)/(1-q) (b_1q(1-q~(n-1))d)/(1-q)~2 证记 S_n=a_1b_2 a_2b_2 a_3b_3 … a_nb_n 将①式两边同乘以q得: 相似文献
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一、倒序相加求和例1已知f(x)=4x4x+2,求S=1000k=1移f(k1001).解S=f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f(10001001).①∵f(x)+f(1-x)=4x4x+2+41-x41-x+2=1,把①式右边倒转过来,得S=f(10001001)+f(9991001)+f(9981001)+…+f(11001).②①式加上②式,得2S=眼f(11001)+f(10001001)演+眼f(21001)+f(9991001)演+眼f(31001)+f(9981001)演+…+眼f(10001001)+f(11001)演=1000.∴S=1000k=1移f(k1001)=500.二、错位相减求和形如邀a1b1,a2b2,…,anbn,…妖的数列中,若邀an妖为等差数列,邀bn妖为等比数列,那么数列邀anbn妖的前n项和Sn的求法,通常用错位相减… 相似文献
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李映华 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):6-7
现行高中《数学》(必修 )第一册 (上 )第3 .5节例 4是 :已知Sn 是等比数列 {an}的前n项和 ,S3,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .这是一道难得的好题 ,具有很好的研究价值 .一、例题引申引申 1:若Sn 是公比q≠ 1的等比数列{an}的前n项和 ,a2 ,a8,a5成等差数列 ,则S3,S9,S6 成等差数列 .证明 :设等比数列 {an}的首项为a1 (a1 ≠ 0 ) .∵a2 ,a8,a5成等差数列∴ 2a8=a2 +a5.即 :2a1 q7=a1 q +a1 q4∴ 2q6 =1+q3,∴q3+q6 =2q9.又q≠ 1,∴S3+S6 =a1 ( 1-q3)1-q +a1 ( 1-q6 )1-q=a1 [2 -(q3+q6 ) ]1-q=2a1 ( 1-q9)1-q =2S9.∴S3,… 相似文献
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<正>笔者在教学中发现,凡是需要用错位相减法的数列题,其实都可以用裂项相消法来解决.这为那些害怕用错位相减法的学生提供了新的选择.问题设数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列,cn=anbn.求数列{cn}的前n项和Sn. 相似文献
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陈艳梅 《四川教育学院学报》2000,(12)
众所周知 ,公比 q≠ 1的等比数列的有些性质对于公比 q=1的等比数列不适合 ,前 n项和公式就是例证。同样 ,公比 q≠ - 1的等比数列的有些性质对于公比 q=- 1的等比数列也不适用 ,因此在解决等比数列问题时 ,不可忽视 q=1及 q=- 1的等比数列。先看下面的命题 :若 {an}是等比数列 ,Sn 是其前 n项和 ,则Sk,S2 k- Sk,S3 k- S2 k,… ,Sn k- S(n- 1) k,…是等比数列。很多书刊都视它为真命题 ,其实这个命题是一个假命题 ,现举反例如下 :若 {an}是公比为 - 1的等比数列 ,且 k为偶数时 ,Sk= S2 k- Sk=S3 k- S2 k=… =Snk- S(n- 1) k=… =0 ,∴… 相似文献
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刘允忠 《数理天地(高中版)》2003,(12)
1.分组某此既非等差,又非等比的数列,可拆开为等差数列、等比数列或常见的数列,分别求和. 例1 数列{an}的前n项和Sn=2an-1,数列{bn}满足b1=3,bn+1=an+bn(n∈N*). (1)证明数列{an}为等比数列; (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解(1)由Sn=2an-1,n∈N*,所以 相似文献