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1.
一类五次系统的中心焦点判定 总被引：1，自引：0，他引：1
郑立文 《淮南职业技术学院学报》2001,1(1):96-99
给出五次系统x=λx-y+yR_2+xR_4,y=x+λy-xR_2+yR_4,R_2=b_1x~2++b_2xy+B_3y~2,R_4=a_4x~4+a_2x~3y+a_1xy~3+a_0y~4,在O(0,0)的各阶焦点量和O为中心的充要条件. 相似文献
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我们知道,关于多元二次多项式的因式分解,常常利用待定系数法来解决,但这种方法需解若干个方程组成的方程组,工作量很大。若利用一元二次三项式的因式分解来解决多元二次多项式的因式分解,就可收到事半功倍之效果。 [例1] 把f(x,y)=x~2+3xy+2y~2+4x+5y+3因式分解。分析:若f(x,y)能分解,则它必分解为。f(x,y)=(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)之形式。事实上,就是确定a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2。关于对它们的具体确定可在下面过程中来完成。至于原理的推证,请读者自行完成。解:分别分解关于x,y的一元二次三项式。 x~2+4x+3=(x+1)(x+3)……① 2y~2+5y+3=(y+1)(2y+3)……②通过①、②可确定a_1=1,b_1=1,c_1=1,a_2=1, 相似文献
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文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4 相似文献
4.
对于二次函y_1(x)=a_1x~2+b_1x+c_1与y_2(x)=a_2x~2+b_2x+c_2,(a_1.a_2(/)0),能否找到常数λ,使叠加得到的y_0(x)=y_1(x)+λy_2(x)的函数值不改变符号(定正或定负)? 下面用纯粹初等的方法进行探索: 因y_0(x)=a_1[x~2+b_1/a_1x+c_1/a_1+λa_2/a_1(x~2+b_2/a_2x+c_2/a_2)],若记b_/a_1=b、c_/a_1=c、λa_2/a_1=μ、 b_2/a_2=b_0、c_2/a_2=c_0,即考查y(x)=x~2+bx+c+μ(x~2+b_0x+c_0) 仍记为y(x)=y_1(x)+μy_2(x)〕在哪些情况下可以选取到实数μ使其定号。 相似文献
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六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。 相似文献
6.
形如f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)这类无理函数与圆锥曲线有密切联系,本文介绍借助圆锥曲线求其值域的两种方法。 1图象法 对于函数f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2为常数,且a_2≠0),若视f(x)为参数m,则原函数式为a_1x~2 b_1x c_1-m=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2),令y=a_1x~2 b_1x c_1-m和y=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)的图象分别为T_1,T_2,则当a_1=0时。T_1为直线,当a_1≠0时T_1为抛物线,由y= 相似文献
7.
在笛卡儿直角坐标系之下,平面上一条二次曲线的方程总可以表示为α_(11)x~2+α_(22)y~2+2α_(12)xy+2a_(13)x+2α_(23)y+α_(33)=0①当行列式|α_(ij)|≠0(i,j=1、2、3时),①式表示一条常态二次曲线;当行列式|α_(ij)|=0(i,j=1、2、3)时,①式表示一条变态的 相似文献
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早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法 相似文献
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黄熙宗 《苏州教育学院学报》1991,(1)
F(x.y)=a_(11)x~2+2a_(12)xy+a_(22)y~2+2a_(13)x+2a_(23)y+a_(33)=0 (1)设点P_0(x_0,y_0)为不在曲线(1)的焦点所在区域内的点,因而过P_0可向曲线(1)作二条切线,两个切点分别为P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),称联P_1P_2的直线l为曲线(1)关于P_0的切点弦。本文给出l的一种简易求法。 命题:若P_0(x_0,y_0)为平面上不在曲线(1)的焦点区域内的任一点,则曲线(1)关于P_0的切点弦方程为: 相似文献
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周华生 《河北理科教学研究》2006,(2):3-5
对一般常态二次曲线Γ:F(x,y)=a11 x2 2a12xy a22y2 2a23x 2a13y a33= 0 (1)有关中点弦和弦中点的研究文章很多,如[1]、[2],但论证过程太长,事实上相关的结论都可以非常简便地加以证明,从而篇幅可大为减少,为使这一理论更严谨,使论证简捷明快,特阐述如下: 相似文献
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灵活运用代数式x~2 xy y~2及其三个变形式x~2 xy y~2=(x (y/2))~2 (3~(1/3)y)~2≥0,x~ xy y~2=x~2 y~2-2xycos120°,x~2 xy y~2=(x-y)~2 3xy≥3xy能使某些问题化生为熟、化难为易,现以高考、竞赛题为例说明如下。 相似文献
12.
穆明发 《苏州教育学院学报》1995,(1)
定义1:如果直线L与圆锥曲线C相交于两个重合的点,则称L为圆锥曲线C的切线。 定义2:如果点M与圆锥曲线C的一个焦点F在圆锥曲线的同一部分,则称点M在圆锥 曲线C的内域。如果点M与圆锥曲线 C的焦点 F不在圆锥曲线 C的同一部分则称点 M在圆锥曲线C的外域。 设非退化圆锥曲线C的方程为F（x.y）=a_(11)x~2 2a_(12)xy a_(22)y~2 2a_(13)x 2a_(23)y a_(33)=0（1）,为了研究圆锥曲线 C的切线的存在性光给出三个预备定理。本文略去其证明过程。 定理1:点M（X_0,y_0）为曲线c的内点的必要条件是F（x_0,y_0）·I_3>0;点 M（X_0,y_0）为曲线 C的外点的必要条件是 F（X_0,y_0）I_3<0。其中: 相似文献
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多元函数最值问题不仅蕴含了丰富的数学思想和方法,而且有利于培养学生联想、化归的解题能力,下面通过例题介绍几种求这类最值问题的方法。一、配方法例1:求函数 f(x,y)=x~2-2xy 6y~2-14x-6y 72的最小值。解:f(x,y)=x~2-2xy 6y~2-14x-6y 72=(x-y-7)~2 5(y-2)~2 3≥3因此当 x-y-7-y-2=0即x=9,y=2时,f(x,y)的最小值为3 相似文献
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题 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数x、y满足4x~2-5xy4y~2=5,设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/(S_(min))=____·(答:8/5) 贵刊文[1]推广为:设实数x、y满足ax~2-(a 1)xy ay~2=a 1,(其中a>1或a<-(1/3),a≠-1),设s=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S-(min))=2a/(a 1) 本文将在文[1]的基础上作一点改进,给出更为一般的推广命题的两种解法. 命题 实数x、y满足Ax~2 Bxy cy~2=D(其中B~2<4AC,D>0),设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S_(min))=(A C)/D.(1)×S-(2)×D得(AS-D)x~2 BSxy (CS-D)y~2=0. 由题设知y≠0,∴(AS-D)(x/y)~2 BS(x/y) (CS-D)=0,∵x/y∈R,∴△=(BS)~2-4(AS-D)(CS-D)≥0. 即(B~2-4AC)S~2 4D(A C)S-4D~2≥0.又因B~2-4Ac<0,若记S_1相似文献
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用方程的思想求分式函数的值域 总被引：1，自引：0，他引：1
求形如下列的有理分式函数的值域 y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(a_2x~2+b_2x+c_2)(x∈D,D为定义域) (1)一般是把原函数式化成关于x的一元二次方程φ(y)x~2+ψ(y)x+g(y)=0 (*)(其中φ(y)、ψ(y)、g(y)是关于y的表达式),根据方程(*)的判别式△=ψ~2(y)-4φ(y)g(y)≥0求出y的取值范围,即得原函数的值域,这就是所谓的“判别式法”。大家知道,用上述方法求出的结果是不一定可靠的,可能会得出错误的结论。就方法本身而言,也使人疑虑:为什么能这样求?在 相似文献
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在六年制重点中学高中数学课本《解析几何》(平面)一书第194页上,有这样一道习题: 23.证明:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0时,二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+F_2y+F_2=0的交点同在一个圆上。这道题的题意是清楚的: 即:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)且≠0是二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 (1) A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0 (2)的交点在同一个圆上的充分条件。换句话说:只要有了条件(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0(1)和(2)就有交点,且交点在同一个圆上。但笔者认为:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0这个条件对本题的结论既不充分也不必要。 相似文献
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《中学数学研究(江西师大)》2006,(3)
第一天福州 1月12日上午8:00～12:30每题21分一、设实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=0,求证:二、正整数 a_1,a_2,…,a_(2006)(可以有相同的)使得 a_1/a_2,a_2/a_3,…,a_(2005)/a_(2006)两两不相等.问:a_1,a_2,…,a_(2006)中最少有多少个不同的数?三、正整数 m,n,k 满足:mn=k~2 k 3,证明不定方程 x~2 11y~2=4m 和 x~2 11y~2=4n 中至少有一个有奇数解(x,y). 相似文献
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本文给出下面两类绝对值方程的一种简便解法.定理(1) |(a_1x~2 b_1x c_1) (a_2x~2 b_2x c_2)|=|a_1x~2 b_1x c_1| |a_2x~2 b_2x c_2|(?)(a_1x~2 b_1x c_1) 相似文献
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肖振纲老师在[1]中以基本不等式x~2 y~2≥2xy为基础，导出了一个简单的代数不等式；设α，β，r,α′，β′皆大于零，而k＞－1，则这是一个应用极为广泛的母不等式，由它可导出许多著名的几何不等式。本文以不等式x~2 y~2≥2xy的加强为基础，导出一个比(1)更强的代数不等式，由此可进一步加强匹多(D．Pedoe)不等式等著名不等式。引理若a，b∈R，0≤x＜1，则a~2 b~2≥2ab x(a-b)~2(2)式中等号当且仅当a=b时成立．定理设A，B＞0，0≤x_2＜1,(i=1,2,…,n)，则对任意两组实数a_1,a_2…an_3b_1,b_2…，b_n，有式中等号当且仅当a_1=A/Bb_i(i=1… 相似文献
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第21届俄罗斯中学数学奥林匹克第三阶段八年级第6题是: 证明 对于任何实数x,y,有2x~4 2y~4≥xy(x y)~2 。 文[1]、[2]介绍了它的证法,本文从指数方面给出其推广并加以证明。 推广 证明:对于任何实数x,y,0≤n∈N,有 (1) 证 当xy≤0时不等式显然成立。 当x,y同为正(同为负时可转化为同为正)时,(1)两边同除以2(2n-1)xy得 令,则 相似文献