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1.方程思想例1等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50(Ⅰ)求通项an;(Ⅱ)若Sn=242,求n.解:(Ⅰ)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组(?)a1+9d=30,a1+19d=50.解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.(Ⅱ)由Sn=na1+(n(n-1))/2d,Sn=242得方程12n+(n(n-1)/2×2=242.解得n=11或n=-22(舍去).2.函数思想例2已知等差数列{an}中,a1≠0,前n项和为Sn,且S1=S2005,S9=Sn,求n的值.解:因为点P(n,Sn)在函数y=d/2x2+(2a1-d)/2x的图象上,且S1=S2005所以抛物线的对称轴为x=1003又S9=Sn,所以(n+9)/2=1003,即n=19973.整体思想例3等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,求S110.解:S100-S10=a11+a12+…+a100=(a11+a100)/2×90又S100- 相似文献
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定理 设数列 {an}是以d为公差的等差数列 ,Sn 为 {an}的前n项和 ,记bn=Snn ,则数列 {bn}是以d2 为公差的等差数列 .简证 数列 {an}是以d为公差的等差数列 ,则 Sn =na1+n(n- 1)2 d ,∴bn =Snn =a1+(n- 1)· d2 .易知 {bn}是以a1为首项 ,d2 为公差的等差数列 .利用这一性质 ,可以方便地解决等差数列中某些与前n项和有关的问题 ,方法简练、实用 ,也易于被同学们接受 .下面举例说明 .例 1 设 {an}是等差数列 ,Sn 为数列 {an}的前n项和 .已知S5=2 8,S10 =36 ,求S17.解 记bn =Snn ,由定理知 ,数列 {bn}是等差数列 ,设其公差为d′ ,则d′=… 相似文献
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等差数列的通项可以表示为an=dn+(a1-d),从函数的观点看,点列(n,an)在直线y=kx+b(k=d,b=a1-d)上.故有下面的命题:
命题 若[an]是等差数列,则点列(n,an)在同一条直线上.
设Sn是等差数列的前n项和,易证{Sn/n}为等差数列.由命题知下面的推论成立. 相似文献
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正等差数列的通项可以表示为an=dn+(a1-d),从函数的观点看,点列(n,an)在直线y=kx+b(k=d,b=a1-d)上.故有下面的命题:命题若{an}是等差数列,则点列(n,an)在同一条直线上.设Sn是等差数列的前n项和,易证Sn{}n为等差数列.由命题知下面的推论成立. 相似文献
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背景 :本文将高一数学新教材第一册(上 )第 1 4 2页复习参考题第 4题 :“有两个等差数列 {an},{bn},a1 + a2 +… + anb1 + b2 + b+… + bn=7n+ 2n+ 3=f ( n) ,求 a5b5.”进行深化延拓 .得到了等差数列与等比数列的两个新的性质 .定理 1 有两个等差数列 {an},{bn},其前 n项和 Sn 与 Sn′之比为 Sn Sn′=f( n) ,则 ( 1 ) ambm=f( 2 m- 1 ) ;( 2 ) am+ am+1 bm+ bm+1=f( 2 m) .证明 ( 1 )∵ {an) ,{bn}均为等差数列 ,∴ 2 am=a1 + a2 m- 1 ,∴ S2 m- 1 =a1 + a2 +… + a2 m- 1=a1 + a2 m- 1 2 ( 2 m- 1 ) =2 ( m- 1 ) am.同理 S2 m- 1 … 相似文献
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一、方程思想. 例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项an; (Ⅱ)若Sn=242,求n. 解析(Ⅰ)由an=a1+(n-1)d,a10=30, a20=50,得方程组(?)a1+9d=30,a1+19d=50. 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10. (Ⅱ)由Sn=na1+(n(n-1))/2d,Sn=242 得方程12n+(n(n-1)/2×2=242. 解得n=11或n=-22(舍去). 二、函数思想. 相似文献
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耿道永 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):25-27
下面结合几个实例谈谈函数思想在数列问题中的应用 .一、函数的定义在数列中的应用【例 1】给出以下三个结论 :① {an}是等差数列的充要条件是an 是n的一次函数 .② {an}是等差数列的充要条件是其前n项和Sn 是n的二次函数 .③ {bn}是等比数列 ,则bn 是关于n的指数函数形式 ,其中正确的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3分析 :{an}是等差数列 ,其通项为an =a1 +(n -1)d =dn+a1 -d ,其前n项和Sn =na1 +n(n-1)d2 .当d=0时 ,an 不是n的一次函数 ,Sn 也不是n的二次函数 .因此①、②都不对 .不难证明 ,{an}是等差数列 an =an+… 相似文献
8.
王锋 《数学大世界(高中辅导)》2003,(11):30-30
等差数列{an},若公差d≠0,可以把通项看作是项数n的一次函数,即an=an+b(a≠0),因此通项反映的点对(n,an)一定分布在该函数所表示的直线上.同样,由等差数列前n项和Sn=an2+bn,得出Sn/n=an+b,因此Sn/n是关于n的一次函数,其反映的点对(n,Sn/n)也分布在该函数所表示的直线上.运用 相似文献
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如下三道高考题有着较深的渊源: 题目1数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100,(Ⅰ)略;(Ⅱ)设数列{an}的通项an=lg(1+1/bn),记Sn是数列{an}前n项和,比较Sn与1/2lgbn+1的大小,并证明之. 相似文献
10.
对于等差数列{an}，若其公差d≠0，则其前n项和Sn=na1 (n(n-1)d)/2=d/2bn^2 (a1-d/2)n。 相似文献
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刘志 《中学生数理化(高中版)》2014,(1):16-18
<正>1.设数列{an}是等差数列,且其首项为a1（a1>0）,公差为2,前n项和为Sn,S11/2,S2（1/2）,S31/2成等差数列。求数列{an}的通项公式。2.已知数列{an}、{bn}满足a1=2,2an=1+anan+1,bn=an-1,设数列{bn}的前n项和为Sn,令Tn=S2n-Sn。（1）求数列{... 相似文献
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赵春祥 《数理化学习(高中版)》2003,(13)
由于等差数列运算的灵活性与技巧性较强,因此要学会借用等差数列的性质解题,以达到选择捷径,避繁就简,合理解题. 一、若数列{an}为公差不为零的等差数列,则其前n项和Sn必为n的不含常数项的二次函数,亦即Sn=an2+bn(a≠0). 例1 设Sn和Tn为等差数列{an}与{bn}的前n项和,对任何自然数,n∈N ,都有Sn:Tn=(7n+1):(4n+27),求a11/b11的值. 相似文献
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2008年全国高考江西卷数学(文科)第19题: 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn;{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960. 相似文献
14.
高中《数学》(试验修订本·必修 )第一册(上 )第 1 4 2页复习参考题第 4题为“有两个等差数列 {an},{bn},a1 + a2 +… + anb1 + b2 +… + bn=7n+ 2n+ 3,求 a5b5.”文 [1 ]将其深化、拓展 ,得出了关于等差与等比数列的两个结论 .受其启发 ,本文将作进一步的推广 .定理 1 有两个等差数列 {an},{bn},其前 n项和 Sn与 S′n 之比为 Sn S′n=f( n) ,对 m,l∈N*,且 m≤l,则 Sl- Sm- 1 S′l- S′m- 1=f( l+ m- 1 ) .证明 ∵ {an},{bn}为等差数列 ,∴ Sl- Sm- 1 S′l- S′m- 1=am+ am+1 +… + albm+ bm+1 +… + bl=2 ( am+ am+1 +… + al)2 (… 相似文献
15.
<正>题目(2013年山东高考题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+an+1/2n=λ(λ为常数),令cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Rn. 相似文献
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范长如 《数学大世界(高中辅导)》2004,(12):10-11
下面请看与两数列的相等项有关的例子.【例1】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠0),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,求实数a1和d的值.分析:由题意知,an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.由a4=b4,a10=b10得a1+3d=a1d3a1+9d=a1d9整理得d6+d3-2=0,解得d3=1或d3=-2.∵d≠1,∴d3=-2,即d=-32.将d=-32代入a1+3d=a1d3,得a1=32.【例2】在等差数列5,8,11,…,302与等差数列3,7,11,…,299中,有多少个相同项?错解:记这两个数列分别为{an}和{bn}.易知an=3n+2,bn=4n-1.设an=bn,则3n+2=4n-1,n=3.所以这两个数列中只有第3项相同.错因:在求两数列{an}与… 相似文献
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(2012年高考江苏卷第20题)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=an+bn/a2n+b2n,n∈N*.(1)设bn+1=1+bn/an,n∈N*,求证数列{(bn/an)2}是等差数列;(2)设bn+1=2·bn/an,n∈N*,且{an}是等比数 相似文献
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20.
刘允忠 《数理天地(高中版)》2003,(12)
1.分组某此既非等差,又非等比的数列,可拆开为等差数列、等比数列或常见的数列,分别求和. 例1 数列{an}的前n项和Sn=2an-1,数列{bn}满足b1=3,bn+1=an+bn(n∈N*). (1)证明数列{an}为等比数列; (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解(1)由Sn=2an-1,n∈N*,所以 相似文献