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1.
试题 已知复数z的辐角为60°,且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项,求|z|. 《参考答案》给出的解法是设z=r(cos60°+sin60°),则知道复数z的实部为r/2,且有z+z=r,z·z=r2.由题意容易得到|z-1|2=|z|·|z-2|,但要进一步得到(z-1)(z-1)=|z| 却比较困难(从实→虚→较简单 相似文献
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例1已知复数z的辐角为60°,且｜z-1｜是｜z｜和｜z-2｜的等比中项,求｜z｜.解设z=r(cos60°+isin60°)=r2+3姨2ri,则z的实部为r2.∴z+z=r,zz=r2.由题设知,｜z-1｜2=｜z｜·｜z-2｜.由公式zz=｜z｜2得(z-1)(z-1)=｜z｜·｜z-2｜2姨.∴(z-1)(z-1)=｜z｜穴z-2雪(z-2)姨,∴zz-(z+z)+1=｜z｜zz-2(z+z)+4姨,∴r2-r+1=r·r2-2r+4姨.化简整理得r2+2r-1=0.解得r=2姨-1,r=-2姨-1(舍去).∴｜z｜=r=2姨-1.例2求证:｜z1+z2｜2+｜z1-z2｜2=2(｜z1｜2+｜z2｜2).证明由公式zz=｜z｜2得｜z1+z2｜2=(z1+z2)(z1+z2)=(z1+z2)(z1+z2)=z1z1+z1z2+z2z1+z2z2=｜z1｜2… 相似文献
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人教版第一册 (下 )第 15 1页第 6题 :已知向量OP1,OP2 ,OP3满足条件OP1+OP2 +OP3=0 ,|OP1| =|OP2 | =|OP3| =1,求证 :△P1P2 P3是正三角形 .教参提供的解答如下 :由OP1+OP2 +OP3=0得OP1+OP2 =-OP3,∴ |OP1+OP2 | =| -OP3| =|OP3| ,即 (OP1+OP2 ) 2 =|OP3| ,OP21+OP22 + 2OP1·OP2 =OP23.由 |OP1| =|OP2 | =|OP3| =1得OP1·OP2 =- 12 .同理可得 OP2 ·OP3=OP1·OP3=- 12 .由平面几何知识得△P1P2 P3为正三角形 .这种方法是利用向量的数量积与模的性质 a2 =| a| 2 证明 .分析 观察条件中两个等式 ,联系… 相似文献
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洪丽华 《数学大世界(高中辅导)》2003,(12):31-32
2003年高考试卷(非新教材)中的理数第17题和文数第18题即为有关复数知识点的题目.原题为: 已知复数z的辐角为60°,且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项,求|z|. 该题目考核的知识点有:复数的模、辐角、复数的三角形式与代数形式、复数的几何意义以及等比 相似文献
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1 问题的提出文 [1]有命题 :设 z,w∈ C且 z± w≠ 0 ,则 z wz- w为纯虚数 | z| =| w| .文 [2 ]利用文[3]的方法将其推广为 :设 z,w1 ,w2 ∈ C,且 z≠ w1 ,w2 ,则 z- w1 z- w2 为纯虚数 z- w1 w22 =| w1 - w2 |2 ,这里提出的问题是 :文 [3]的方法中隐含着什么 ?2 结论及解释经研究 ,文 [3]用的是文 [4]的命题 ,即文[1]推论 4:z∈C,a∈R,且 az≠ 0 ,则| z a| =| z- a| z为纯虚数 .其实 ,该命题还可作如下深化 :定理 1 设 z,w∈C,w不为纯虚数且 z· w≠ 0 ,则 | z w| =| z- w| z为纯虚数 .证明 | z w| =| z- w| | z w|… 相似文献
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1998年湖北省黄冈市初中数学竞赛试卷中有这样一题试题 :使 | a- b| =| a| + | b|成立的条件是( ) .( A) ab>0 ( B) ab>1( C) ab≤ 0 ( D) ab≤ 1解 | a- b| =| a| + | b| | a- b| 2 =( | a| + | b| ) 2 - ab=| ab| ab≤ 0 .故应选 C.利用这道竞赛题的结论解可化为 | a- b|= | a| + | b|的方程 ,可获得十分简捷的解法 .例 1 方程 | x- 2 | + | x- 3| =1的实数解的个数有 ( ) .( A) 1个 ( B) 3个( C) 4个 ( D)无数多个(第四届《祖冲之杯》初中数学邀请赛试题 )解 ∵ | x- 2 | + | x- 3| =1 =| ( x- 2 )- ( x- 3) | … 相似文献
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安义人 《山西教育(综合版)》2003,(22):37-37
解答含有绝对值的问题时 ,我们习惯上考虑化去绝对值的方法。这样常常要分类讨论 ,过程较为繁琐。事实上 ,对于某些问题 ,利用添绝对值的变形 ,可避免分类讨论情况的发生。例 1 已知 ab<0 ,求 a2 |b|- b2 |a|+ab(|a|- |b|)的值。解 :由 ab<0 ,a2 >0 ,b2 >0 ,得 a2 =|a2 |,b2 =|b2 |,ab=- |ab|。原式 =|a2 |· |b|- |b2 |· |a|+(- |ab|) (|a|- |b|) =|a2 b|- |ab2 |- |a2 b|+|ab2 |=0。例 2 若 a>0 ,b<0 ,则方程 |x- a|+|x- b|=a- b的解集是。解 :注意到 a- b=a+(- b) >0 ,∴ |x- a|+|x- b|=|a- b|,∴ |a-x |+|x- b|=|(a- x) +(x- b) |,∴… 相似文献
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许多命题若能灵活运用共轭复数的性质处理 ,可达到事半功倍的目的 ,使解题更加简捷 .1 活用基本性质知识要点 z=z; | z| =| z| ;z z=| z| 2 =| z| 2 ; z1 ±z2 =z1 ±z2 ;z1 · z2 =z2 · z2 ;z1 z2 =z1 z2.例 1 设复数 z1 和 z2 满足关系式 :z1 z2 Az1 A z2 =0 ,且 A≠ 0 ,A∈ C.证明 :(1) | z1 A|· | z2 A| =| A| 2 ;(2 ) z1 Az2 A=| z1 Az2 A| .(1987年全国高考题 )剖析 若用常规方法 ,即设 zj=xj yji(j=1,2 ) ,A=a bi(xj,yj,a,b∈R) ,然后转化为实数集上的问题求解 .然而因字母太多 ,运算太繁 .利用共… 相似文献
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第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知sin18°=-14+5.则a=sin2007°,b=cos2007°,c=-1+tan2007°,d=sin2007°+cos2007°2的大小关系是().(A)b相似文献
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题目 :已知复数 z1 =i( 1 - i) 3,( )求 argz1 及 | z1 | ;( )当复数 z满足 | z| =1 ,求 | z- z1 |的最大值 .上述第 ( )题比较直观 ,可直接求得 .z1 =i( - 2 - 2 i) =2 - 2 i=2 2 ( cos7π4 isin7π4) ,从而 argz1 =7π4,| z1 | =2 2 .而第 ( )题则是复数模的最值问题 ,本文对其分析探究 ,给出下面六种解法 :解法 1 (代数法 )设 z=a bi,( a,b∈R) ,则由条件知 a2 b2 =1 ,∴ | z - z1 | =( a- 2 ) 2 ( b 2 ) 2 =9- 4 a 4 b.令 y=- 4 a 4 b,与 a2 b2 =1联立并消去 a,可得 32 b2 - 8yb y2 - 1 6 =0 ,则由题意有 Δ=6 4y2 -… 相似文献
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复数中 ,由 | z| 2 =z· z极易推导出两个复数积的性质 :性质 1 设 z1 ,z2 ∈C,| z1 | =r1 ≠ 0 ,| z2 |= r2 ≠ 0 ,且 r2 z1 + r1 z2 =z0 ≠ 0 ,则有 z1 · z2 =r1 · r2 · z20| z0 | 2 .证明 ∵ r2 z1 + r1 z2 =1r1 r2( r1 · r22 · z1 +r21 ·r2 ·z2 )= 1r1 r2( r1 ·z2 ·z2 ·z1 + r2 ·z1 ·z1 ·z2 )=z1 · z2r1 · r2( r1 ·z2 + r2 ·z1 )=z1 · z2r1 · r2·r1 ·z2 + r2 · z1 ,∴z1 ·z2 =r1 · r2 ( r2 z1 + r1 z2 )r1 · z2 + r2 · z1=r1 · r2 · z0z0=r1 · r2 · z20| z0 | 2 .推论 1 若 | z1 | =| z2 | =r≠ 0 ,… 相似文献
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逯中原 《数理化学习(初中版)》2006,(4)
近年来,各省市中考及初中数学竞赛中,经常有最值问题出现,现举例说明·一、利用判别式求最值例1(2004年全国初中数学竞赛试题)实数x、y、z满足x+y+z=5①,xy+yz+zx=3②,则z的最大值是·分析:消去一未知数,使之变为z为参数的一元二次方程·解:由①得y=5-x-z③把③代入②得x(5-x-z)+z(5-x-z)+zx=3整理得:x2+(z-5)x+z2-5z+3=0因为x为实数,所以Δ≥0所以(z-5)2-4(z2-5z+3)≥0所以(3z-13)(z+1)≤0所以-1≤z≤133·二、利用非负数性质求最值例2多项式P=2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值为·分析:将多项式配方,使之化为几个非负数之和·解:P=2x2-4xy+5y2… 相似文献
13.
刘玉舒 《山西教育(综合版)》2003,(10):40-40
1.概念模糊 ,混淆不清例 1 若 x3 + 2 x2 =- x x+ 2 ,则 x的取值范围是( )。(A) x<0 ;(B) x≥ - 2 ;(C) - 2≤ x≤ 0 ;(D) - 2 相似文献
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杨朝进 《中学数学教学参考》2001,(11)
题目 :Ｐ是椭圆ｘ21 6 ｙ22 5=1上的点 ,Ｆ1、Ｆ2为其焦点 ,若∠Ｆ1ＰＦ2 =90°,求△ＰＦ1Ｆ2 的面积 .解 :∵Ｓ△ＰＦ1Ｆ2 =12 |Ｆ1Ｆ2 |·|ＰＦ2 |,而|ＰＦ1| |ＰＦ2 |=1 0 ,|ＰＦ1|2 |ＰＦ2 |2 =|Ｆ1Ｆ2 |2 =3 6 ,联立求解得|ＰＦ1|·|ＰＦ2 |=1 0 0 -3 62 =3 2 .∴ Ｓ△ＰＦ1Ｆ2 =1 6 .一、以上解答正确吗 ?以上解答看上去无懈可击 ,但实际不正确 .我们再看以下解法 :其解法思路是先求出满足条件的Ｐ点坐标 ,然后再求△ＰＦ1Ｆ2 的面积 ,设满足题目条件的点Ｐ坐标为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) .∵∠Ｆ1ＰＦ2 =90°,∴ ( ｙ0 3 ) ( ｙ0 -3 ) ｘ0… 相似文献
15.
《中学数学月刊》2003,(2):47-49
1.下列命题是真命题的是 ( )1 a∥b 存在唯一的实数 λ,使 a=λb;2 a∥b 存在不全为零的实数 λ,μ,使 λa+μb=0 ;3a与 b不共线 若存在实数 λ,μ,使 λa+ μb=0 ,则 λ=μ=04 a与 b不共线 不存在实数λ,μ,使λa+ μb=0( A) 1和 4 ( B) 2和 3 ( C) 1和 2 ( D) 3和 42 .设 a,b为非零向量 ,则下列命题中 ,1 | a+ b| =| a- b| a与 b有相等的模2 | a+ b| =| a| + | b| a与 b的方向相同3| a| + | b|≤ | a- b| a与 b的夹角为钝角4 | a+ b| =| a| - | b| | a|≥ | b|且 a与 b方向相反真命题的个数是 ( )( A) 0 ( B) 1 (… 相似文献
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唐剑英 《第二课堂(小学)》2006,(6)
例1 已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,求使a+kb与kb+b的夹角为锐角的实数 k的范围．错解 (a+kb)·(ka+b)=ka2+(k2+1)a·b+kb2=k+(k2+1)×1×2×cos120°+4k=-k2+5k-1．由题意得-k2+5k-1>0, 相似文献
18.
命题 已知 a,b∈R,则| a| | b| =max{| a b| ,| a- b| }.证明 若 ab≥ 0 ,则| a| | b| =| a b| ,此时 | a b|≥ | a- b| ;若 ab<0 ,则 | a| | b| =| a- b| ,此时 | a b| <| a- b| .∴对于任意的实数 a,b,都有 | a| | b|=max{| a b| ,| a- b| }.下面举例说明命题中所述恒等式的运用 .例 1 解方程| 2 x- 1 | | x- 2 | =| x 1 | (x∈R) .解 由命题知 | 2 x- 1 | | x- 2 |=max{| 3 x- 3 | ,| x 1 | }=| x 1 | ,∴ | x 1 |≥ | 3 x- 3 | ,两边平方整理得 2 x2 - 5x 2≤ 0 ,解得 12 ≤ x≤ 2 ,∴原方程的解集是 {x… 相似文献
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2000年全国高中数学联赛吉林赛区初赛试题: 若|z|=1,则u=|z~3-3z 2|的最大值是______. 原解:u=|z~3-3z 2| =|(z~3-z)-2(z-1)| 相似文献
20.
黄伟东 《数理化学习(初中版)》2006,(6)
一、求根法用分解因式法表示出一元二次方程的两个解,再利用约数的特性及根据题意解决此类问题·例1已知方程a2x2-(4a2-5a)x+3a2-9a+6=0(a为非负整数)至少有一个整数根,那么a=·解:原方程变形,得[ax-(3a-3)][ax-(a-2)]=0,所以ax=3a-3或ax=a-2·因为a为非负整数,所以x1=3aa-3=3-3a,x2=a-a2=1-2a·当x1为整数时a为3的正约数,所以a=1或3;当x2为整数时a为2的正约数,所以a=1或2·所以a=1或2或3·二、判别式法当一元二次方程有整数根时,首先必须确定整系数和判别式必为完全平方数,然后进一步验证·例2设m为自然数,且1相似文献