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1.
题目 已知函数f(x)(x∈R)满足如下条件:对任意实数x1,x2都有λ(x1-x2)^2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,其中λ是大于0的常数.设实数a0,a,b满足f(a0)=0和b=a-λf(a).(Ⅰ)证明λ≤1,并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0;(Ⅱ)证明(b-a0)^2≤(1-λ^2)(a-a0)^2;(Ⅲ)证明[f(b)]^2≤(1-λ^2)[f(a)]^2.分析 这是2004江苏高考题,形式新颖,在函数与不等式的交汇点上命题,旨在揭示函数的性态,与高等数学衔接紧凑,难度大,区分选拔功能明显. 相似文献
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2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题:
题目设函数f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b,其中a〉0,b为任意常数.证明:当0≤x≤1时,有|f(x)|≤max{f(0),f(1)}. 相似文献
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近期,笔者所在学校的高三综合测试中,选用了某兄弟学校的一道模拟试题:函数f(x)=1/2ax2-(1+1/a2)x+1/alnx,a∈R.(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间;(2)当a>0时,讨论f(x)的单调性;(3)g(x)=b2x2-3x+1ln2,当a=2,1≤x≤3时,g(x)>f(x)恒有解,求b的取值范围.客观的讲,这道题本身的难度不算太大,关键是第(3)小题如何进行等价转化.笔者在阅卷过程中发现学生主要有以下三种不同思路与水平的解法,其中的“对与错”、”真与假”值得玩味. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2012,(4)
《考虑问题不全面》实数。的取值范围为(一∞,1/2).提示:厂(z)在区间D上单调递增(或递减)的充要条件是:f1(z)≥0(f1(z)≤O),且f1(z)在D的任一子区间上不恒为0.当a=1/2时,f(x)=1/2,不是单调递减函数,不合题意. 相似文献
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众所周知在二次不等式解的法则中有(x-a)(x-b)≤0→a≤x≤b,(a〈6),那么以f(x)代换x,必有(f(x)-a)(f(x)-b)≤0→a≤f(x)≤b,虽然利用a≤f(x)≤b→(f(x)-an)(f(x)-b)≤0,可以将双链不等式转化为单向不等式,解题中我们若能注意利用这种转化关系,不少有关双链不等式的问题将会出奇制胜的得到解决,从而可以避免解不等式组或分向证明等复杂的运算过程,令人拍案叫绝.下面以例示明其奇效. 相似文献
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本文“恒成立不等式”问题的界定:形如,f(x,a)〉0(或≥0或〈0或≤0),当x∈区间D时恒成立,求a的范围的问题.所谓“x∈D时,f(x,a)〉0恒成立”,从集合的观点看,就是D是不等式f(x,a)〉0的解集的子集;从数形结合的观点看,就是当x∈D时,函数y=f(x,a)的图象在x轴上方;从函数观点看,就是x∈D时,函数y=f(x,a)的最小值大于0. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2011,(9)
与方程根的个数有关的参数问题设函数f(x)=(x+2)^2-2ln(2+x).若关于x的方程f(x)=x^2+3x+a在区间[-1,1]上只有一个实数根,求实数a的取值范围.解:方程f(x)=x^2+3x+a可化为x-a+4-2ln(2+x)=0.令g(x)=x-a+4-2ln(2+x),则g′(x)=x/(2+x). 相似文献
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一、利用导数求函数的单调区间应注意单调区间的写法
例1 求函数f(x)=x^4-2x^2+3的单调区间.
解f′(x)=4x^3-4x=4x(x+1)(x-1).
由f′(x)〉0,可得x〉1或-1〈x〈0;
由f′(x)〈0,可得x〈-1或0〈x〈1.
∴f(x)的增区间为[-1,0],[1,+∞);减区间为(-∞,-1],[0,1]. 相似文献
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贵刊93年7-8合刊上所发表的《二次方程在区间上有实根的条件及应用》一文中,提到方程f(x)=ax~2十bx十c=0(a≠0)在区间(a,β)内有一实根或两实根(包含重根)的充要条件是我们将指出,这一结论的第一部分是错误的.举一个简单的例子,就可说明问题:例如二次方程X~2-3X 2=0在区间(1,3)内虽然只有一个实根x=2,但是f(1).f(3)=0.如果再从图上来分析,方程在区间(a,β)内有一个实根的情况共有八种,如下图而满足f(a)f(β)<O的情况,只有前四种,不包括后四种,因此f(a)f(β)<0不能作为所述方程在(a,β)内有一个… 相似文献
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一道高三调研考试题的繁解、错解、简解 总被引:1,自引:0,他引:1
张世林 《中学数学教学参考》2007,(5):21-22
问题:(2007年武汉市高三2月份调研考试数学理科第21题)
已知函数f(x)=x^2+2x+alnx.
(Ⅰ)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围. 相似文献
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例 设函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)若a=0,求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围. 相似文献
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2010年高考新课标全国卷第21题:
设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围. 相似文献
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文[1]给出了一个命题,并利用该命题简解了一类问题:“对Vx≥0,f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中f(x)含参数a,试确定参数。的取值范围.”简解程序是:对Vx≥0,只要对f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)两边取导数,再从f′(x)≥g′(x)或f′(x)≤g′(x)中分离出参数a,转化为恒成立问题.该简解的确要比高考命题组提供的解答简单的多,然而笔者发现文[1]的那个命题是错误的,奇怪的是用该假命题解答文[1]的5道例题,结果居然全部正确,那是什么原因呢?本文先做一剖析,再给出这类问题的一个有别于高考解答的解法. 相似文献
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例1 已知a是实数,函数f(x)=2ax^2+2x-3=0.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
简单解法一 依题意可知a≠0且x≠3/2,∴方程2ax^2+2x-3-a=0可化为1/a=2x^2-1/3-2x.令3-2x=t, 相似文献
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有一类在给定区间上恒成立求参数的问题,学生大多感到棘手,不知如何是好.其实这类问题也有通法:即把问题转化为求最值问题,有两大类:(1)转化为形如a≥f(x)的形式,进而a≥[f(x)]max;(2)转化为形如a≤f(x)的形式,进而a≤[f(x)]min来解,常能获得通俗、简捷的解法.以下举例说明,希望对同学们有所帮助. 相似文献
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谷焕春 《中学数学研究(江西师大)》2009,(2):46-47
2002年全国高中数学联赛第15题:
设二次函数:f(x)=ax^2+b+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:(1)当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;(2)当x∈(0,2)时,f(x)≤(x+1/2)^2;(3)f(x)在R上的最小值为0.求最大的m(m〉1),使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有.f(x+t)≤x. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2011,(9)
忽视复合函数的定义城已知函数f(x)=2+log_3x(1≤x≤9),求函数g(x)=[f(x)]^2+f(x^2)的最大值和最小值.错解:由1≤x≤9,得0≤log_3x≤2.g(x)=(2+log_3x)^2+2+log_3x^2=(log_3x)^2+6log_3x+6=(log_2x+3)^2-3. 相似文献