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1999年山东省初中数学竞赛试卷的第 4题如下 :已知方程 x2 a1 x a2 a3=0与方程 x2 a2 x a1 a3=0有且只有一个公共根 ,求证 :这两个方程的另两个根 (除公共根外 )是方程x2 a3x a1 a2 =0的根 .这个题目原证明过程见 [1 ],在这里 ,我们要进一步探索的问题是 :形如 :x2 a1 x a2 a3=0 ,( 1 )x2 a2 x a1 a3=0 ,( 2 )x2 a3x a1 a2 =0 ( 3)的三个方程在什么情况下两两有且只有一个公共根 ?本文将给出具有以上形式的三个方程两两有且只有一个公共根的充分必要条件 .为了叙述的方便 ,我们先引进如下定义 .定义 如上形式三个方程两两… 相似文献
2.
关于一元二次方程的根的代数式求值问题,有时只用根与系数的关系求解,计算会很繁难,甚至无法解答。而借助方程根的定义,则可迎刃而解。 一、直接应用方程的根的定义,采用整体代入法求值 例1 已知a是方程x~2-3x+1=0的根,试求代数式(a~3-3a~2-2a)/(a~2+1)的值。 相似文献
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胡群立 《数理化学习(初中版)》2000,(8):9-10
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,只含一个未知数的方程的解也叫做方程的根．由方程根的定义可知,若a是方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根,则必有aa^2+ba+c=0;反之,若aa^2+ba+c=0,则a必是方程ax^2+bx+c=0的根,下面结合实例说明一元二次方程的根的定义在解(证)题中的应用,供初三同学学习时参考。 相似文献
4.
屈昕 《语数外学习(初中版)》2008,(10):29-29
对于一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）来说,当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a＋b＋c=0;反之,如果a＋b＋c=0时,方程的根又是什么呢？ 相似文献
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由根的定义可知：如果x1是方程的根,那么反之,如果,那么x1是方程bx＋c＝0的根．应用上述定义,能巧妙地解答许多中考题．现以1998年中考题为例,介绍根的定义的若干应用一、化简复杂的代数式例1已知,化简代数（199年锡山市）分析由根的定义可知x是方程ax2+bx＋c＝0的根,把ax2＝-bx－c两边平方后代人待求式得二、已知方程一根成另一根例二已知方程mx2＋4x＋3＝0有一根是1,则另一根是．（1998年天津市中考题）分析把x＝1代入方程得m＝－7,解方程7x2－4x－3＝0,得另一根为三、求方程中字母系数的值例3已知a、b是方程x2＋（k—2）X十1=… 相似文献
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于志洪 《数理天地(初中版)》2002,(4)
应用方程根的定义可解一些关于一元一次方程的问题.由于义务教材初中《代数》第一册(上)中介绍很少,现补充数例如下,供参考.例1关于x的方程3x+2a=0的根是2.则a=____.(2001年南京市中考)解由于2是方程的根,所以有 相似文献
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对一元二次方程 ax2 +bx +c=0 (a≠0 )而言 ,两根的表示形式是指方程的两根x1 ,x2 和三项系数 a,b,c之间的各种结合方式 .本文将展示两根的表示形式 ,并通过例举有关问题来显示它们在解题中所具有的重要作用 .1 一元二次方程两根的定义形式一元二次方程两根的定义形式是指方程的一般形式 ,即 ax2 +bx +c =0 (a≠0 ) (1) ,它表示了五个字母 x1 ,x2 ,a,b和 c之间最基本的结合方式 ,这种方式不仅具有明显的数学特征 ,而且可以演变出许多有价值的形式 .1.1 定义形式表明两根 x1 ,x2具有高度统一的形式针对一个具体的问题情景 ,如果某些数量… 相似文献
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胡怀志 《数理化学习(初中版)》2006,(6)
我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x… 相似文献
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数学中的定义是我们学习和认识数学知识的基础 ,离开了它我们对数学的学习和认识就举步维艰 .数学中的定义不仅可以帮助我们学用公式、定理、法则 ,而且可以直接利用定义去解题 ,著名数学教育家波利亚在《怎样解题》中就多次强调“回到定义去”.应用定义解题 ,不仅可以简化一些繁琐的解答过程 ,而且可以帮助我们对定义有更深入的理解 ,可谓一箭双雕 ,下面举例说明 .1 用方程根的定义例 1 已知方程 ax2 +bx +c=0 ( a≠ 0 )的两根之和为 S1 ,两根平方和为 S2 ,两根立方和为 S3 .求 a S3 +b S2 +c S1 的值 .分析 :常规思路是利用韦达定理… 相似文献
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一元二次方程是初中数学的重要内容,在数学竞赛中经常出现.它是解决高次方程和其他方程的基础.有些从表面上看不是一元二次方程的问题,通过变形等手段,可以构造一元二次方程来解决.下面以竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的4种方法.一、根据方程根的定义构造例1若a·b≠1,且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0,则ab的值是().(A)95(B)59(C)-20015(D)-20019(2001年全国初中数学竞赛题)解:5a2+2001a+9=0.(1)因为b=0不是方程9b2+2001b+5=0的根,故可得5·(1b)2+2001·1b+9=0.(2)由(1)、(2)和方程根的定义可知a、1b都是方程5x2+2001x+9=0的根,31200… 相似文献
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颜伏刚 《数理化学习(初中版)》2003,(5):16-17
本文介绍怎样利用方程根的定义构造方程,巧解一类数学题. 例1 已知:ab≠1,且有5a2+2002a+8=0及8b2+2002b+5=0,求a/b的值. 分析:第二个方程可变形为: 5(1/b)+2002(1/b)1+8=0, 相似文献
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在解决与一元二次方程有关的问题时,我们广泛地应用韦达定理,然而有些问题直接运用根的定义解题反显简单方便.下面举例说明. 例1如果。是方程扩一3x+1一O的根,求2口。一sa马+2口J一8口艺 aZ+1的值.分析如果先求出a二‘一3士了5一,、~,,,、、~一一~~廿习1且石,并十夕犷为IJI戈2、夕抓1且工、,j沦共轰 ‘运算量很大.根据方程根的定义知,口是方程尸一3x十1根,即护一3a+1一。,在此基础上求值就简便多了. 解丫a是扩一3x+1~0的根,…矿一3。+1一 又…2a5一504+2a3一802 =(。2一3。+1)(2a3+。2+3。)一3。 =0·(2“3+aZ+3口)一3。=一3“. 而aZ+1=… 相似文献
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一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2… 相似文献
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构造一元二次方程是重要的解题方法之一 ,一些试题由于其综合性、技巧性强 ,常使许多学生感到束手无策。若能够根据题目的条件和结论、结构的特征进行联想 ,构造出适当的方程来解证 ,不仅思路清晰、方法简捷 ,而且有利于培养学生的创新能力和思维能力。本文介绍几种构造方程的常用方法。一、根据根的定义构造方程若已知条件中有两个等式 as2 +bs+c=0和 at2 +bt+c= 0 (a≠ 0 ) ,则根据根的定义 ,可构造根为 s和 t的一元二次方程 ax2 +bx+c=0。例 1 设 a2 +2 a=b4 -2 b2 =1 ,且 1 -ab2≠ 0 ,求(ab2 +b2 +1a ) 2 0 0 1的值。解 :由已知等式得(… 相似文献
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李文祥 《中学数学教学参考》1995,(4)
构造方程解题,方法巧妙,过程简明,对此已有许多杂志载文介绍。然而,我们发现常常发生下面的错误。现抄录两例加以分析,以期引起大家注意。 例1 若a、b为实数,且a~2 3a 1=0,b~2 3b 1=0,求b/a a/b的值。 解:由已知及方程的定义可知,a、b是方程x~2 3x 1=0的两根,由韦达定理得a b=-3,ab=1。 相似文献
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本文例谈应用方程根的定义解题,方法新颖,简捷明快. 例1 已知a、b是关于z的方程 z2 sinθ z cosθ-1=0 的两个不等实根,求证:无论θ为何值,在坐标平面上过点A(a,a2)、B(b,b2)的直线恒切于一定圆. 相似文献
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方程与不等式是初中数学的核心内容,是历年中考命题的重点.现以2014年中考试题为例,把方程与不等式的常考内容归纳如下,供你复习时参考.
考点一 利用方程(组)解的定义解题
例1(2014年陕西卷)若x=-2是关于x的一元二次方程x2-5/2ax+a2=0的一个根,则a的值为().
A.1或4 B.-1或-4 C.-1或4 D.1或-4
解析:∵x=-2是关于x的一元二次方程x2-5/2ax+a2=0的一个根,∴4+5a+a2=0,解得a1=-1,a2=-4.选B. 相似文献