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《中学生数理化(高中版)》2009,(6)
1.设sin α+sin β=1/3,则sin α-cos2β的最大值是( ). A.4/3 B.4/9 C.-11/12 D.-2/3 错解:由sin α+sin β=1/3,得sin α=1/3-sin β,则y=sin α-cos2β=1/3-sin β-cos2β=1/3-sin β-(1-sin2β)=(sinβ-1/2)2-11/12. 相似文献
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彭香武 《数理天地(高中版)》2003,(6)
题化简sin~2 20° cos~2 50° sin20°cos50°.我想出了这道题的两个解法:解法1 sin~2 20° cos~2 50° sin20°cos50° =1-cos40°/2 1 cos100°/2 cos20°-sin30°/2=2-sin30° (cos100° cos20°)-cos40°/2 相似文献
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不少学生对诱导公式背得“滚瓜烂熟”,但却不能“倒背如流”,也就是不能“逆用”诱导公式。究其原因,还是不能灵活运用诱导公式。所谓诱导公式的“逆运用”,顾名思义,就是把诱导公式反回去应用。例如,能根据需要把sinα写成形如sin(π-α),-sin(π+α),-sin(2π-α),sin(2π+α),-sin(-α),cos(π/2-α),-cos(π/2+α),-cos(3π/2-α),cos(3π/2+α)等形式。在反三角函数的讨论及复数的研究中都需要大量“逆用”诱导公式。例1 求下列各式的值。 (1) arc sin(sin4) (2) arc ctg(ctg5) 对本题只需“逆用”恰当的诱导公式把自变量化 相似文献
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吴文尧 《数学大世界(高中辅导)》2005,(3):14-14
在三角变换中,对于同角三角函数习惯于把sin2α cos2α化简为1,下面举例说明之.【例1】 求证1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α=32分析:①易见要解决本题,只需“装腔作势”地把左边化简,且化简的结果为32②注意到左边分子、分母的次数分别为6次、4 次, 故对于分子中的“1”可代换成(sin2α cos2α)3,对于分母中的“1”代换成(sin2α cos2α)2;这样可使分子、分母都化成齐次,有利于问题的解决.证明:左边=(cos2α sin2α)3 -sin6α-cos6α(cos2α sin2α)2 -sin4α-cos4α=3(sin4α·cos2α sin2α·cos4α)2sin2α·cos2α=3sin2α·cos2… 相似文献
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毋绪道 《数理化学习(高中版)》2006,(20)
在高中数学中,求函数的值域是一种较为复杂的问题,往往方法较为灵活.现举一例,给出多种解法,同学们可从中受到启发.例题求函数y=sinx2-cosx的值域.解法一:(利用三角函数的有界性)去分母化为sinx+ycosx=2y,即y2+1sin(x+φ)=2y.因为|sin(x+φ)|≤1,所以|2y|≤y2+1,即3y2≤1.解得值域是[-33,33].解法二:(利用解析几何方法)函数变形为:y=0-(-sinθ)2-cosθ.联想到斜率公式,(如图1)可知y是连结A(2,0)与圆x2+y2=1上的点(cosθ,-sinθ)的斜率.所求值域就是这斜率的取值范围.设AB,AC为两切线,它们的斜率分别是-33,33.所以值域是[-33,33].解法三:(… 相似文献
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罗泉 《数学大世界(高中辅导)》2006,(4)
一、利用单位圆,比较三角式的大小． [例1] 已知0<θ<π/2,试比较1-sinθ/1-cosθ和tanθ的大小．解:在图1所示的单位圆中的第一象限中任取点P, 令∠POx=θ,再取点A(1,1), 则KOP=tanθ, 相似文献
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《中学数学教学》1994,(3)
1.陕西省武功县普集高中刘康宁来稿 （邮编:712200）题 已知z∈C,且│z│=1,解方程z~7 z=1。解法一 设z=cosθ isinθ,则(cos7θ cosθ) (sin7θ sinθ)i=1,∴(cos7θ cosθ)=1 (sin7θ sinθ)=0 即 cos7θ=1-cosθ ① sin7θ=-sinθ ②①~2 ②~2得(1-cosθ)~2 (-sinθ)~2=1。 解得 cosθ=1/2,sinθ=±3~(1/2)/2。 故原方程的解是z=(1±3~(1/2)i)/2。解法二 原方程可化为z~7=1-z。对上式两边取模,得│z~7│=│1-z│。 相似文献
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复数的模的最值问题,涉及知识面广,灵活性大,在各级各类考试中经常出现,现将几种常用解法予以归纳.1.利用复数的几何意义求最值例1已知复数z的模为2,则z-i的最大值为()A.1B.2C.!5D.3解:∵z=2,所以z所对应的点在以原点为圆心、2为半径的圆上,如图所示;∴z-i就表示圆上的点到点B的距离,即z-i的最大值为AB=3∴选D.2.利用三角函数法求最值例2已知z,z∈C,求W=z2-z 1的最值.解:∵z,可设z=cosθ isinθ∴W=z2-z 1=(cos2θ-cosθ 1) i(sin2θ-sinθ)=!(cos2θ-cosθ 1)2 (sin2θ-sinθ)2=!3-4cosθ-2cos2θ=!4cos2θ-4cosθ 1=2cosθ-1.当cosθ… 相似文献
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三角法解几何题是较为常见的,三角法解代数题则较为少见。下面略举不同类型代数题的三角解法,其目的在于揭示三角代换法常用时机,常用范围及使用技巧。〈一〉分解因式例1.已知x~2-y~2-z~2=0试将x~3-y~3-z~3分解因式解:由已知得:y~2+z~2=x~2令y=xsinθz=xcosθ则 x~3-y~3-z~3=x~3(1-sin~3θ-cos~3θ) =x~3(sin~2θ-sin~3θ+cos~2θ-cos~3θ) =x~3[sin~2θ(1-sinθ)+cos~2θ(1-cosθ)] =x~3[(1-cos~2θ)(1-sinθ)-(1-sin~2θ)(1-cosθ)] =x~3(1-sinθ)(1-cosθ)(1+cosθ+1+sinθ) =(x-xsinθ)(x-xcosθ)(2x+xcosθ+xsinθ) 相似文献
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“数”与“形”是数学研究的两大对象,在数学解题中以“形”研究“数”,会使问题直观形象,解法灵活简便,因此在解某些代数问题时,可依据题目的特征,构造出一些简单的几何图形,把所求的问题转化为几何问题,然后运用几何等知识去解决所求问题.笔者将对某些代数题构造几何图形妙解进行归类分析。 1 构造单位圆解三角题 例1 已知cosα cosβ-cos(α β)=3/2,α,β∈(0,π),求α,β的值. 解 由cosα cosβ-cos(α β)号得cosα cosβ-cosαcosβ sinαSinβ-3/2=0. (1-cosβ)cosα sinβsinα cosβ-3/2=0.(1) 相似文献
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将x=a kβ、y=β/2代入公式2cosxsiny=sin(x y)-sin(x-y)与2sinxsiny=cos(x-y)-cos(x y),将k取0,1,2,…,n所得的n 1个等式分别相加,即得如下两个有限三角数列和公式: 相似文献
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公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos… 相似文献
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李婧怡 《数学大世界(高中辅导)》2004,(6):34-35
题目:已知sin2α=a,cos2α=b,则 tan(α+π4)的值是( ) (A)b1-a(B)1+ab (C)1+a+b1+b-a(D)a-b+1a+b-1 解法(一):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=cos2α-sin2α(cosα-sinα)2=cos2α1-sin2α =b1-a.故选(A) 解法(二):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α … 相似文献
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河南、河北、安徽、江西、山东、山西等地使用 三、解答题 :本大题共 6小题 ,共 74分理 ( 1 7) [文 ( 1 8) ]求函数 f (x ) =sin4 x cos4 x sin2 xcos2 x2 -sin 2x 的最小正周期、最大值和最小值 .基本解法 :f(x)=(sin2 x cos2 x) 2 -sin2 xcos2 x2 -2sinxcosx=1 -sin2 xcos2 x2 ( 1 -sinxcosx)=12 ( 1 sinxcosx) =14sin 2x 12 .所以函数 f(x)的最小正周期是π ,最大值是 34,最小值是 14.巧思妙解 :解法 1 (河北 /王双记 安徽 /章腊华 李永革 山东 /董林 )f(x) =sin4 x cos2 x(cos2 x sin2 x)2 -2sinxcosx=sin4 x cos2 x2 ( 1… 相似文献
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题若α,β,γ∈R,求u=sin(α-β) sin(β-γ) sin(γ-α)的最大值和最小值.在本刊2006年第1期第40页上,应用4元均值不等式给出了该题的一种初等解法,其实,逆向利用行列式,可以给出该问题的一种巧思妙解.解u=sinαcosβ sinβcosγ sinγcosα-cosαsinβ-cosβsinγ-cosγsinα=sinαcosα1sinβcosβ1sinγcosγ1,构造点A(sinα,cosα),B(sinβ,cosβ),C(sinγ,cosγ),则|u|=2S△ABC. 1很明显,上面的三点A、B、C都在单位圆:x2 y2=1上.因为圆内接三角形,以正三角形的面积为最大,所以当△ABC为正三角形时,S△ABC取得最大值343,于是|u… 相似文献
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《数学教学通讯》1983年第4期上“证明不等式的若干特殊方法”一文中的例9:若θ∈(0,π/2),求证:cos(sinθ)>sin(cosθ)。笔者认为条件“θ∈(0,π/2)”可以取消,没有必要。现证明如下: 设f(x)=cos(sinx)-sin(cosx) (x∈R) 则 f(x)=cos(sinx)-cos(π/2-cosx)=-2sin((sinx-cosx+π/2)/2)×sin((sinx+cosx-π/2)/2) 相似文献
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在平面三角中有与代数中的平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)形似的恒等式: sin~2α-sin~2β=cos~2β-cos~2α=sin(α+β)·sin(α-β),(1)与 cos~2α-sin~2β=cos~2β-sin~2α=cos(α+β)·cos(α-β)。(2) 这两组恒等式不妨叫做三角中的“平方差”公式。熟记这两组恒等式对于解答某些三角问题、几何问题或综合题会有所帮助。恒等式(1)证明如下: ∵sin~2α-sin~2β=1/2(1-cos2α)-1/2(1-cos2β)=1/2(cos2β-cos2α)=sin(α+β)sin(α-β), 相似文献