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1.
黄伟东 《数理化学习(初中版)》2006,(6)
一、求根法用分解因式法表示出一元二次方程的两个解,再利用约数的特性及根据题意解决此类问题·例1已知方程a2x2-(4a2-5a)x+3a2-9a+6=0(a为非负整数)至少有一个整数根,那么a=·解:原方程变形,得[ax-(3a-3)][ax-(a-2)]=0,所以ax=3a-3或ax=a-2·因为a为非负整数,所以x1=3aa-3=3-3a,x2=a-a2=1-2a·当x1为整数时a为3的正约数,所以a=1或3;当x2为整数时a为2的正约数,所以a=1或2·所以a=1或2或3·二、判别式法当一元二次方程有整数根时,首先必须确定整系数和判别式必为完全平方数,然后进一步验证·例2设m为自然数,且1相似文献
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黄细把 《山西教育(综合版)》2003,(18):38-38
一元二次方程的教学中 ,经常遇到一类有整数根的字母求值问题。这类问题综合性强 ,难度较大。解答此类问题时要求在熟练地掌握整数性质的基础上 ,灵活运用一些具体的方法。一、代入法例 1.已知关于 x的方程 3x2 + px- 18=0有一个整数根 ,则整数 p的值是。解 :设 x0 是已知方程的一个整数根 ,那么3x0 2 + px0 - 18=0 ,∴ p=18- 3x0 2x0=18x0- 3x0 。∵ p、x0 都为整数 ,∴ x0 =± 18,± 9,± 6 ,± 3,± 2 ,± 1。把 x0 的上述值分别代入 p的表达式中 ,∴ p=± 5 3,± 2 5 ,± 15 ,± 3。二、因式分解法例 2 .已知方程 a2 x2 - (3a2 - 8a) x+… 相似文献
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解含参数的一元二次方程的整数根问题,关键是要熟练掌握一元二次方程的基础知识,以及整数、完全平方数的性质,并能适当运用分类讨论等思想方法.现举例说明解决这类问题的常用思路与方法.一、判别式法若一元二次方程有整数根,则有Δ≥0,并且Δ恰为完全平方数.同时,方程的二次项系数不为零,由此可解决相关问题.例1当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的解都是整数?解依题意,有Δ1=(-4)2-4m×4≥0,Δ2=(-4m)2-4(4m2-4m-5)≥0.得16-16m≥0,-4m-5≤0.∴-45≤m≤1,而m为整数,∴m=-1,或0,或1.当m=-1时,方程mx2-4x+4=… 相似文献
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利用一元二次方程的求根公式,可以证明:方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0两根的a倍(a≠0)。运用这个结论,可以很快解决求作一个一元二次方程且使它的根分别是已知方程的各根的几倍问题。例1求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程3x~2-16x+5=0的两根的3倍。解:因为方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0的两根的a倍,所以,所求作的一元二次方程是x~2-16x+3×5=0,即x~2-16x+15=0.如果已知方程的二次项系数刚好等于所求方程的的根是已知方程各根的倍数,那么,就用已知方程二次项系数移乘常数项,二次项系数改为1,一次项不 相似文献
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一元二次方程是初中数学的重要内容,也是中考的热点.下面以2013年中考题为例,说明一元二次方程中常用的数学思想.
一、整体思想
例1 (2013年黔西南卷)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是____.
解析:∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,
∴12+a+b=0,∴a+b=-1,
∴.a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.
温馨小提示:本题主要考查一元二次方程解的概念,把根直接代入方程,即可求得a+b的值,然后整体代入求出代数式的值. 相似文献
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解答某些与一元二次方程有关的问题时,要注意把根代人方程中.例1如果x=1是已知方程x~2+kx+k-5=0的一个根,那么,k的值等于().解由x=1是已知方程的根,那么1+k+k-5=0,∴k=2.例2若a是一元二次方程x~2-3x+m=0的一个根,-a是一元二次方程x~2+3x-m=0的一个根,那么a的值等于().A.1或2 B.0或-3 C.-1或-2 D.0或3 相似文献
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高英军 《少年天地(小学)》2003,(11)
一元二次方程根的判别式主要用于判断方程根的情况,灵活运用它还可以解决其它问题.一、用于求值例1如果代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,求m的值.解:∵代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,∴(2m-1)x2+2(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.∴△=〔2(m+1)〕2-4×4(2m-1)=0.解之,得m=1或m=5.二、用于求最值例2已知a、b都是正实数,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解:设a+b=k,则b=k-a,将b=k-a代入a3+b3=2,并以a为主元整理,得3ka2-3k2a+k3-2=0.∵a是正实数,则关于a的方程必有实数根,∴△=(-3k2)2-12k(k3-2)≥0,解得0相似文献
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一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠θ)的系数和a+b+c=0,则x=1满足方程x2+bx+c=0,即x=1是该方程的一个根.反过来,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则ab+c=0.
运用这个结论可解决不少的问题.请看:
例1 解方程:4x2-5x+ 1=0.
分析与解:因为4+(-5)+1=0,所以x1=1是方程的一个根.设另一根为x2,由根与系数的关系,得1×x2=1/4,即x2=1/4,所以方程的解是x1=1,xx=1/4.
温馨小提示:已知一元二次方程的一个根,运用根与系数的关系可简捷地求出另一个根. 相似文献
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内容概述一元二次方程的整数根问题,将整数理论与传统的初中数学知识相结合,涉及面宽、范围广,且需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.例1 已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有___个.(2000年全国初中数学竞赛)分析:由于方程未指明是什么方程,因此要对a的取值进行讨论求解.略解:当a=1时,原方程即为x-1-0,有整数根x=1.当a≠1时,原方程为一元二次方程,分解因式得x=-1-1/a-1或x=1. 相似文献
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应用数学公式解题时,不仅要学会直接应用,还应学会根据问题的需要,将公式加以变形而活用.下面通过例题来学习这种方法.一、完全平方公式的活用完全平方公式经过适当移项后得a2 b2=(a b)2-2ab.例1已知a、b为方程x2-3x 1=0的两根,求a2 b2的值.解:由韦达定理得a b=3,ab=1,所以a2 b2=(a b)2-2ab=9-2=7.例2分解因式x4 1.解:x4 1=(x2)2 1=(x2 1)2-2·x2·1=(x2 1)2-(2姨x)2=(x2 2姨x 1)(x2-2姨x 1).二、完全立方公式的变形完全立方公式经过移项后得a3 b3=(a b)3-3ab(a b).例3已知x2-5x 1=0,求x3 12的值.解:由韦达定理得x 1x=5,所以x3 1x3=(x 1x)3-… 相似文献
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程俊松 《少年天地(小学)》2002,(10)
一、完全平方公式的变形变形一:a2+b2=(a+b)2-2ab.变形二:(a+b)2-(a-b)2=4ab.变形三:|a-b|=√(a+b)2-4ab.例1在实数范围内因式分解a4+1.解:由变形一,得a4+1=(a2)2+1=(a2+1)2-2·a2·1=(a2+2~(1/2)a+1)(a2-2~(1/2)a+1)例2 已知x2-5x+1=0,求x2+1/x2的值. 相似文献
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含参数的一元二次方程或二次函数题是中考常见的一类题型,由于参数值的不确定,它往往有较强的迷惑性,一不小心即掉入“陷阱”.下面略举数例,以引起同学们的重视和注意.例1关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为().(A)1(B)-1(C)1或-1(D)12解:选(B).评注:若只考虑题中的明显条件“一根为零”,而忽视了“二次项系数不能为零”这一隐含条件,则会误选(C).例2已知x1、x2是关于x的方程x2-x+a=0的两个实数根,且1x12+1x22=3,求a的值.解∵x1、x2是方程的根,∴x1+x2=1,x1x2=a,∴1x12+1x22=x12+x22x12x22=(x1+x2)2-2x1x2(x1x2)2=… 相似文献
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1.求证:任一面积为1的凸多边形必能被一个面积不大于2的平行四边形盖住。2.求方程l!+21+31+…十x!二扩的正整数解。3。求和:eosx+e0S3x—一l一一+。n吸x+e0SSX(l、2两题咬山提) 1eosx+eos(2凡+1)x(河北石家庄市二十六中段国兴提)4.方程x吕+y3一3xy+1=0的图形是什么?作出此图形。(树T提)上期问题解答 1.设一元二次方程xZ一3x+a+4=o的两根均为整数, (l)试证:(i)两根必为一奇一偶,(11)a为负偶数。 (2)当两根同号时,求两根及a 证明(l)设方程xZ一3x+a+4二O的两根为a、日, 由已知a+日=3a·日=a+4 八=(一3)“一4(a+4)二一4a一7>0 (i),.’a+日=3… 相似文献
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初中《代数》第三册P.115例5是:已知方程x~2-2x-1=0,利用根与系数关系求一个一元二次方程,使它的根是原方程的各根的立方。其实,本题若不利用根与系数的关系,也可获解,请看: 解:设y为新方程任一根,则对原方程相应的根x有:y=x~3。由原方程得:X~2=2x+1,所以x~3=2x~2+x=2(2x-1)+x=5x+2。因此,y=5x+2,即x=(y-2)/5,将它代入原方程并化简即得所求方程:y~2-14y-1=0。 相似文献
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一、数学课堂教学中典型问题情境创设成功范例剖析范例 1:阅读理解型问题情境设计。(摘自《中小学数学》1999年第三期《浅谈阅读型中考试题》)。阅读 :已知方程 x2 - 3x+ 1=0 ,求一个一元二次方程 ,使它的根是原方程各根的立方。解 :设方程 x2 - 3x+ 1=0的根为 x1,x2 ,所求方程的根为 x31,x32∵ x1+ x2 =3, x1· x2 =1第一步∴x31+ x32 =( x1+ x2 ) ( x21- x1x2 + x22 )第二步 =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2 - 3x1x2 ]第三步 =3× ( 32 - 3× 1) =3× 6 =18x31· x32 =( x1x2 ) 3 =13 =1根据以上阅读材料 ,完成以下填空 :1.得到… 相似文献
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如果一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么有x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,这就是根与系数的关系,简称为韦达定理.根与系数的关系应用很广泛,下面举例说明.
一、求一元二次方程的两根的和与积
例1 (1)(2013年雅安卷)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=-0的两根,则x1+x2的值是().
A.0 B.2 C.-2 D.4
(2)(2013年武汉卷)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1·x2的值是().
A.3 B.-3 C.2 D.-2
解析:(1)对于方程x2-2x=0,a=1,b=-2,.∴.x1+x2=2=--2/1=2.故选B.
(2)对于方程x2-2x-3=0,a=1,b=-2,c=-3,∴.x1·x2=c/a=-3/2=-3.故选B. 相似文献
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1案例背景已知关于x的方程x2=(2m+2)x?(m2+4m?3)中的m为不小于0的整数,并且它的两个实数根的符号相反,求m值,并解方程.本题源于以为青年教师执教的初三"一元二次方程复习课"的课堂练习. 相似文献
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<正>韦达定理在解答初中数学问题中有着极其重要的作用.历年来各地中考试题都有涉及,现举例谈谈它在初中代数中的应用.一、已知一元二次方程的一个根,求另一根例1已知方程x2-6x=-1的一个根为3-2*2(1/2),求另一个根.分析本题可直接解方程求出另一根,但如果应用韦达定理可更快解决.应用时应把方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).根据选择使得到另一根易于计算的原则,酌 相似文献