sum((1/(a~2))的下界估计     

唐新来 《中等数学》2003,(5)

文 [1 ]给出∑ 1a2 的上界估计 ,即设a、b、c为△ABC的三边长 ,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 ,则有∑ 1a2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2R2 r3 (1 6R - 5r) .①文 [2 ]将①式加强为∑ 1a2 ≤ 14r2 .②本文给出∑ 1a2 的下界估计∑ 1a2 ≥ 12Rr.③证明 :∑ 1a2 =b2 c2 +a2 c2 +a2 b2a2 b2 c2≥(bc) (ac) +(ac) (ab) +(bc) (ab)a2 b2 c2=c+a +babc .由三角形中的恒等式a +b +c =2p(其中p为半周长 ) ,abc =4Rrp代入上式即得③ .有趣的是由②和③可得2r≤ 12r∑ 1a2≤R .这里又出现了欧拉不等式的一个隔离 .sum((1/(a~2))的下界…  相似文献   

Milosevic不等式的一个类似结论     

谭文娟  刘先明 《中学数学研究(江西师大)》2022,(2)

设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径、半周长与面积分别为a,b,c,R,r,s,Δ,∑表示循环求和.引理1在△ABC中,有Δ=abc/4R=sr=s(s-a)(s-b)(s-c);∑ab=s²+4Rr+r²;sin A/2=(s-b)(s-c)/bc.  相似文献   

一个几何不等式的最佳形式     

丁遵标 《中等数学》2005,(3):20-20

设ta、tb、tc分别是ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长,R、r、p分别是三角形的外接圆半径、内切圆半径、半周长,∑表示循环和.文[1]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4.文[2]将此不等式加强为∑bct2a≥34Rp23.本文给出它的最佳形式∑bct2a=Rr 2.证明:由三角形角平分线长的公式知ta=2bccosA2b c.　　则t2a=4b2c2cos2A2(b c)2=2b2c2(1 cosA)(b c)2=2b2c2(b c)21 b2 c2-a22bc=bc(b c a)(b c-a)(b c)2=4bcp(p-a)(2p-a)2.故bct2a=(2p-a)24p(p-a)=14·pp-a 12 p-a4p.同理,cat2b=14·pp-b 12 p-b4p,abt2c=14·pp-c 12 p-c4p.　　于是,有∑b…  相似文献   

关于Milosvic不等式的一点加细     

杨晋 《河北理科教学研究》2007,4(4):1-2

本文约定:在△ABC中,a,b,c表示三边长,A、B、C表示三内角,R,r,S表示外接圆半径,内切圆半径以及半周长.∑、∏表示循环和以及循环积.如∑a=a b c,∏a=abc.  相似文献   

双圆半径的几何性质     

丁遵标 《数学教学通讯》2002,(3):48-48

本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC=  相似文献   

双圆四边形中一个关联四圆的不等式     

张赟  张云 《中学数学教学参考》2004,(10)

定理　设ABCD为双圆四边形 ,R、r分别为外接、内切圆半径 ,r1、r2 分别为△ABC、△ADC的内切圆半径 ,则有R≥4r (r -r1) (r-r2 )r1 r2.①证明 :记AB =a ,BC =b ,CD =c,DA =d ,△ABC、△ADC的面积分别为Δ1、Δ2 ,四边形ABCD的面积为Δ ,半周长为 p ,则Δ1=12 r1(a b AC) ,Δ2 =12 r2 (c d AC) .由Δ =Δ1 Δ2 ,得2Δ =r1(a b) r2 (c d) AC(r1 r2 ) .由文 [1 ]知Δ =abcd ,R =14(ab cd) (ac bd) (ad bc)abcd12 ,∴AC =(ac bd) (ad bc)ab cd12 =4RΔab cd≤4RΔ2Δ =2R ,∴ 2Δ≤r1(a b) r2 (c d) 2R(r1 r2 )…  相似文献   

三个不等式猜想的反例构造     

刘才华 《中学数学月刊》2000,(9):45-46

猜想 1　设 ma,mb,mc,wa,wb,wc,ha,hb,hc,ra,rb,rc表示△ ABC的中线、内角平分线、高线及旁切圆的半径之长 ,则有 4R2 4Rr 3r2 ≥ ∑mawahara .这是文 [1]中提出的猜想 .构造 Rt△ ABC,a =BC=1,b=CA =1,c=AB=2 ,通过计算得 ma =mb=52 ,mc=22 ,wa=wb=4- 2 2 ,wc=22 ,ha=hb =1,hc=22 ,ra =rb =12 ,rc=12 - 2 ,R=22 ,r=2 - 22 ,则∑ mawahara =2 10 - 5 2 2 - 12 ,4R2 4Rr 3r2 =9- 2 22 ,不难验证2 10 - 5 2 2 - 12 >9- 2 22 ,即此时有∑ mawahara>4R2 4Rr 3r2 ,故猜想1不成立 .猜想 2　设 ha,hb,hc,ra,rb,rc 表示△ ABC…  相似文献   

一个三角形不等式     

董林 《中等数学》2004,(6):19-19

命题　设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 :　记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a …  相似文献   

有奖解题擂台(128)     

郭要红 《中学数学教学》2020,(2):F0004-F0004

问题设a、b、c、R、r分别为△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径.证明:23+22r27R-6r≤ab+ccos2A2+bc+acos2B2+ca+bcos2C2≤98.第一位正确解答者将获得奖金100元.擂题提供与解答请电邮至guoyaohong1108@163.com.解答认定时间以电子邮件时间为准,欢迎广大读者踊跃提供擂题.  相似文献   

数学奥林匹克问题     

《中等数学》2004,(4):47-49

R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 .证明 :设BC =a ,CA =b ,AB =c ,AP交BC于点D .由重心性质知BD =DC .因为AG =23AD ,GD =13AD ,DP =BD·DCAD =a24AD,又AD2 =12 b2 c2 - 12 a2 ,所以 ,AG·GP =23AD 13AD a24AD =29AD2 16 a2=29× 12 b2 c2 - 12 a2 16 a2=19(a2 b2 c2 ) .易知a2 b2 c2 ≥bc ca ab .故AG·GP≥ 19(bc ca ab) .①设△ABC的三边BC、CA、AB上的高分别为ha、hb、hc.易证bc =ha2R ,ca =hb2R ,ab =hc2R .故bc ca ab =2R(ha hb hc) .②又ha=a b ca ·r,hb=a b cb ·r ,hc=a …  相似文献   

Finsler-Hadwiger不等式的改进     

武爱民 《福建中学数学》2006,(11)

本文设定:a、b、c为△ABC的边长;?、p分别为△ABC的面积和半周长;R、r分别为△ABC的外接圆的半径和内切圆的半径;d=R2?2Rr;∑表示循环和.所谓Finsler-Hadwiger不等式,即43? ∑(a?b)2≤∑a2≤43? 3∑(a?b)2.(1)当且仅当a=b=c时不等式(1)等号成立.本文将不等式(1)改进为:·24·43? 4∑(a?b)2/3≤∑a2≤43? 14∑(a?b)2/9.(2)当且仅当a=b=c时不等式(2)等号成立.先看下面的定理条件如文前设定,则有43? λ∑(a?b)2≤∑a2≤43? μ∑(a?b)2.(3)式中λ=1 2B2/((4R r)(4R r 3B2)),μ=1 2(2R?r 2d)/(4R r 3B1).其中B1=2R2 10Rr?r2?2(R?2r)d,2…  相似文献   

∑a/(h_b+h_c)的一个上界     

夏中全  刘洪 《数学教学通讯》2004,(7)

设△ ABC的三边长为 a、b、c,相应边上的高为 ha、hb、hc,其外接圆和内切圆半径分别为 R和 r,半周长为 p,面积为△ .1 987年 ,D.M.Milosevic证明了 :∑ ahb+ hc≥ 93 R2 (4 R + r) (1 )1 999年 ,姜卫东等给出了 (1 )的一个加强 :∑ ahb+ hc≥ 9R2 p (2 )以上“∑”表示循环和 ,下同 .本文讨论左端的上界 ,得到了下面的定理　在△ ABC中 ,有∑ ahb+ hc≤ p3 r (3 )其中等号成立当且仅当△ ABC是正三角形 .证明 :不妨设 a≥ b≥ c (4 )则 hb-hc=2△b -2△c =2△ (c-b)bc ≤ 0即 hb≤ hc,同理 ha ≤ hb.所以 ha ≤ hb≤ hc从而 1hb+ hc…  相似文献   

三角形中关于|∏((b-c)/a)|的一个不等式     

杨学枝 《福建中学数学》2006,(4)

定理设△ABC三边长为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,记Qb ca=∏?,则232151(4)22Qr r r r≤+R?R?R+R,(1)当且仅当b ca?,c ab?,a bc?中,有两个相等时(1)式取等号.证明记y1=∏b a?c+b a?c,2yb c c aa b=∏?+?,y3=∏b a?c+a?cb,则经计算有y1+y2+y3=0,y2y3+y3y1+y1y2=?(1?2R r+13Q2),312322(1)273y y y Q rQ=?+R.由此可知,y1,y2,y3是方程3(1212)232(1)3273y r Q y Q rQ??R+?++R=0,①的三个实根.根据三次方程有三个实根的充要条件可以得到1[232(1)]24273Q rQ?++R1[(121)]30273r Q+??R+≤,②即242324Q(840r4r)Q4(12r)0…  相似文献   

正八面体外接与内切球的几个不变量     

张敬坤  杜伟 《中学数学月刊》2003,(12):34-34

设正八面体 A1 - A2 A3A4A5- A6棱长为 a,Mi( i=1 ,… ,1 2 )为各棱中点 ,Nj( j=1 ,… ,8)为各面中心 ,O为其内切球和外接球中心 ,r与 R分别为其半径 ,则有定理 1　设 P为正八面体外接球上任一点 ,则( 1 ) ∑6i=1 PA2i=1 2 R2 ;( 2 ) ∑1 2i=1 PM2i=1 8R2 ;( 3) ∑8i=1 PN2i=323R2 .证明　由 O是外接球心 ,知 ∑6i=1 OAi=0 ,OP=OAi=R,∴∑6i=1 PA2i=∑6i=1 PAi2 =∑6i=1 ( OAi- OP) 2=∑6i=1 ( OAi2 + OP2 ) - 2 OP∑6i=1 OAi=∑6i=1 ( R2 + R2 ) =1 2 R2 .类似可证 ( 2 ) ,( 3) .应用相应结果 ,可证定理 2　设 P′为正…  相似文献   

一个几何不等式的加强及其它   总被引：1，自引：1，他引：0  

杨晋 《河北理科教学研究》2006,(3):56-57

符号约定:在△ABC中,a、b、c表示三边长,ma、mb、mc表示三条中线长,R、r、s表示外接圆半径、内切圆半径以及半周长,∑、∏表示循环和与循环积.文[1]中建立了如下一个有关三角形中线与边长之间的一个几何不等式:∑bmc2a≥2 2rR(1)本文建立了有关中线的一个新的更优的几何不等式.  相似文献   

一个不等式的改进     

周甫林 《中学数学月刊》2009,(8):F0004-F0004

文[1]给出三角形不等式: ∑m2a/bc≥2+r/2R (1) (其中a,b,c;mb,mc;s,R,r分别表示△ABC三边长,三中线长,半周长,外接圆和内切圆半径).  相似文献   

∑(a)/(ra)≥23的再加强及变换     

马占山 《中等数学》2001,(4)

文[1]建立了如下一个几何不等式: 设ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为ra、rb、rc.则 ∑(a)/(ra)≥23. (1) 文[2]对不等式(1)加强为: ∑(a)/(ra)≥(2(4R+r))/(4R2+4Rr+3r2). (2) 其中R、r分别为ABC的外接圆半径与内切圆半径,∑表示循环和,下同. 本文将(2)加强为: ∑(a)/(ra)≥24-(2r)/(R). (3) 证明:设ABC的半周长为s,由 ra=(sr)/(s-a),rb=(sr)/(s-b),rc=(sr)/(s-c) 和三角恒等式a2+b2+c2=2(s2-4Rr-r2),可知 ∑(a)/(ra)=(1)/(sr)[(a+b+c)s-(a2+b2+c2)] =(2(4R+r))/(s). 由O.kooi不等式 2s2(2R-r)≤R(4R+r)2. 可知(1)/(s)≥(4R-2r)/((4R+r)R). 故(2(4R+r))/(s)≥(24R-2r)/(R) =24-(2r)/(R). 则不等式(3)成立. 下面证明(3)比(2)强. 显然,仅需证 4-(2r)/(R)≥(4R+r)/(4R2+4Rr+3r2) 成立. 将上式平方整理得R≥2r. 由Euler不等式可知,上式成立. 这说明(3)强于(2).  相似文献   

关于有心二次曲线半径的一个结论及应用     

顾建兰 《数学教学通讯》2007,(10):44-45

定理椭圆ax22 yb22=1上任意一点P,A为椭圆的右顶点,∠AOP=θ,设OP=r,则1r2=coas22θ sibn22θ.证明:设点P的坐标为(x,y),则x=rcosθ,y=rsinθ.代入椭圆方程得:(rcoas2θ)2 (rsibn2θ)2=1.所以r12=coas22θ sibn22θ.推论1椭圆xa22 yb22=1,经过原点且互相垂直的两射线与椭圆交于两点P、M,设OP=r1,OM=r2,则r112 r122=a12 b12.证明:设A为椭圆的右顶点,∠AOP=θ,∠AOM=β,由引理得:r112=coas22θ sibn22θ,1r22=coas22β sibn22β.因为OP⊥OM,所以cos2θ=sin2β,sin2θ=cos2β.所以r121 r122=a12 b12.类似可以证明.推论2双曲线xa22-by…  相似文献   

与垂足三角形内切圆有关的一个等式     

唐传发 《中学数学月刊》2006,(7):35-35

定理设△ABC边为n，6，c，外接圆半径为尺，垂足△DEF的内切圆半径为r，则r=α^2＋b^2＋c^2-8R^2/4R.  相似文献   

一个不等式猜想的证明     

汪仁甩 《中学数学研究(江西师大)》2006,(6):33-34

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95题是:设锐角三角形的三边长、三傍切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为 a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R.则 r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r (1)本文将证明此猜想.证明:令 a=y z,b=z x,c=x y,则 x、y、z>0,  相似文献