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韦云燕 《中学生数理化(高中版)》2004,(10):24-26
换元法就是在解决复杂的数学问题时,用变量代换的方法将式子中重复出现的或比较复杂的部分用一个字母或较为简单的式子表示,从而达到突出主要矛盾,简化解题过程的目的.换元法是数学解题中的一种重要的思想方法,常用在求值域、求最值、求解析式、数列计算、不等式证明、解方程之中.但在解题时要注意换元后变量的取值范围. 相似文献
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一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,… 相似文献
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《数学大世界(高中辅导)》2002,(3)
一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0),当x∈R时,当且仅当△=b2-4ac≥0,判别式法在数学解题中有着广泛应用,但学生往往忽视它成立的三个条件;x∈R;a≠0;实系数;否则将会出现错误,下面分类说明. 条件一 x∈R. 例1 方程sin2x-2asinx 3a=0有解,求a的取值范围. 相似文献
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高考答题是能力与时间的角逐 ,能力“到位”还要讲究思路和方法 ,一般在“巧解”上作文章 ,这就要积累平时的解题经验与捕捉他人之“玉” .本文提供 7个途径 ,供取长补短 .1 适时代换 ,减轻负担例 1 设a为实数 ,函数f(x) =x2 |x -a| 1,x∈R .求f(x)的最小值 .解 令 |x -a|=t (t≥ 0 ) ,则f(x) =|(x -a) a|2 |x -a| 1≥|t-|a||2 t 1=t2 -( 2 |a|-1)t a2 1=[t-( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 / 4.①设g(t) =[t -( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 /4.当 |a|-1/ 2≤ 0 ,即 -1/ 2≤a≤ 1/ 2时 ,g(t)在 [0 , ∞ )上递增 ,从而g(t) min=g( 0 )=a2 1.当 … 相似文献
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例1 已知a是实数,函数f（x）=2ax^2＋2x-3=0．如果函数y=f（x）在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围．
简单解法一 依题意可知a≠0且x≠3/2,∴方程2ax^2＋2x-3-a=0可化为1/a=2x^2-1/3-2x.令3-2x=t, 相似文献
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集合相关问题的处理中 ,认真、仔细是我们正确找出答案的一个重要条件 .以下就一些易忽视的情况加以说明 :1 忽视解题后的反思和检验例 1 已知 A ={x|x2 +2 x -8=0 },B = {x|x2 -5 x +6=0 },C={x|x2 -ax +a2 -19=0 },若 A∩ C = ,B∩ C≠ ,求a的值 .错解 :A ={2 ,-4 },B ={2 ,3 }由 A∩ C = ,知 2 C,-4 C又据 B∩ C≠ ,得 3∈ C于是由 3 2 -a . 3 +a2 -19=0 ,得a =-2或 a =5 .分析 :这里由 3∈ C,可以得到 a =-2 ,a= 5 ,但由 a =-2 ,a=5 ,能得出 2 C,-4 C,即 A∩ C≠ 吗 ?只有通过验证才能确定 .正解 :接上解当 a =-2时 ,… 相似文献
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利用“换元法”，通过代数与三角，无理式与有理式等形式的相互转化，从而达到化难为易，化繁为简解决问题的目的，这是一种有效的解题技巧，但在换元过程中，常常可以见到一些初学者，忽视原变量的可取值与新变量的允许值范围的一致性，从而导致错误．本文就这一问题略举几例，谈谈用“换元法”解题的几点注意1．忽视正（余）弦函数的有界性在解一些题目的过程中，若应用三角代换，则应注意正（余）弦函数的有界性，以免在解题过程中产生错误．例1k为何值时，方程(k 1)cos~2x 4cosx-4k 4=0有实数解.错解令y=cosx，则原方程为错因分析用换元… 相似文献
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值此 2 0 0 3年来临之际 ,特拟一组与 2 0 0 3有关的新年趣题 ,使同学们在解题中感悟新年快乐 ,并祝大家在新的一年里取得优异成绩 .1.已知 a=2 0 0 22 0 0 3 -1,求 12 a3 -a2 -10 0 1a+ 1的值 .2 .设α、β是方程 2 0 0 1x2 + 2 0 0 2 x -2 0 0 3 =0的两根 ,若 Sn =αn +βn.求 2 0 0 1S2 0 0 3 +2 0 0 2 S2 0 0 2 -2 0 0 3 S2 0 0 1 + 2 0 0 3的值 .3 .方程 (2 0 0 3 x) 2 -2 0 0 2× 2 0 0 4x-1=0的较大根为 p ,较小根为α,方程 x2 + 2 0 0 2 x -2 0 0 3 =0的较小根为 q,求 p-q-2 0 0 3 αq的值 .4.已知 a≠ b,a2 0 0 3× 23 -a2 0 0 3… 相似文献
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朱宜新 《学生之友(初中版)》2013,(Z2):33-33
ax~2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式,这里的条件是a≠0.在解决问题时,同学们往往会忽略这一个隐含条件,导致解题失误.例1:已知方程kx~2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.错解:因为方程有两个不相等的实数根,所以b~2-4ac>0,即【-(2k+1)】~2-4k~2> 相似文献
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已知一个等式求多个未知数的问题,学生解题时,感到比较困惑,其实这类题目往往无外乎以下几种情形.一、两二次根式的被开方数互为相反数例1若a,b为实数,且b=a2-1a 11-a2 2,求ab的值.分析仔细观察,已知等式中的两个二次根式的被开方数互为相反数,所以有这两个被开方数相等且等于0.解∵(a2-1)与(1-a2)互为相反数,又∵a2-1≥0,1-a2≥0,∴a2-1=1-a2=0,∴a2=1.又∵a 1≠0,∴a≠-1.∴a=1.∴b=01 0 1 2=1.∴ab=1.二、可以化为几个非负数相加得零的形式下面的两个性质是常用的:若a≥0,则|a|,a2,a均具有非负性.如果|a| a2 a=0,一定有|a|=0,a2=0,a=0.… 相似文献
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换元法是数学中的一个重要的思想方法 .巧妙地利用换元法解题 ,可以使问题化繁为简 ,化难为易 .例 1 已知 x 3- x- 1 =2 ,求x 3 x- 1的值 .解 设 x 3 x- 1 =m,将此式与已知式相乘可得 ( x 3) - ( x- 1 ) =2 m,∴m=2 ,即 x 3 x- 1 =2 .评注 这种在求某代数式的值时 ,把这个式子的本身进行换元的方法可称之为“自身代换 .”例 2 解方程( 7 4 3) x2 ( 2 3) x- 2 =0 .解 因为 ( 2 3) 2 =7 4 3,故可设 t=( 2 3) x,则原方程即t2 t- 2 =0 ,解得 t1 =1 ,t2 =- 2 ,∴x1 =( 2 - 3) t1 =2 - 3,x2 =( 2 - 3) t2 =- 4 2 3.评… 相似文献
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<正>已知一元二次方程解的情况,我们可以利用根的判别式求方程中参数的取值范围.而在学习了二次函数的图象和性质后,我们更习惯采用数形结合的方法来解决问题.下面通过一例说明和比较这两种方法的运用.例题二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),(a,b,c为常数)的图象如图1所示.(1)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个相等的实数根,求k的值;(3)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)没有实数根,求k的取值范围. 相似文献
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一、忽略区间端点致误例1已知关于x的不等式ax-5x2-a<0的解集为M,若3∈M且5M,求实数a的取值范围.错解由3∈M且5M得3a-59-a<0,且5a-525-a≥0.这等价于不等式组(a-53)(a-9)>0,(a-1)(a-25)≤0且a≠25 解得a∈犤1,53)∪(9,25).剖析因为当a=25时,x=5恰好不是25x-5x2-25<0的解,即5M,此时却仍有3∈M.所以要找回a=25这个特殊的区间端点值,故a∈犤1,53)∪(9,25犦为所求.二、忽略观察图象致误例2已知logax+3logxa-logxy=3,设x=at(a>1),试用a、t表示y,并求a=16时y的取值范围.错解∵x>0且x≠1,由x=at(a>1)得t=logax(t∈R且t≠0).由换底公式得logax… 相似文献
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一、一元二次方程及其解的概念。1．关于x的方程（k^2-1）x^k^2-2k-1＋x＋k=0为一元二次方程，求k的值．2．若a是关于x的方程x^2＋bx＋a=0的根，且a≠0，求a＋b的值． 相似文献
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设α、β为一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的二根,利用韦达定理和恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ可求得α~2 β~2的值,进而解决一些问题。类似的恒等式还有(α-β)~2=(α β)~2-4αβ,α~3 β~3=(α β)[(α β)~2-3αβ]等。一、求代数式的值例1 a为实数,方程x~2 2x a=0的两根为α,β,求|α| |β|的值解:α β=-2,α·β=a,当△=4-4a≥0,即a≤1时,α,β为实数, 相似文献
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第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 已知非空集合A ={x|1≤x≤a},B ={y|y =x 1 ,x∈A},C ={y|y=x2 ,x∈A},若B∩C≠ ,则实数a的取值范围为( )(A)a≥0 (B)a≥2 (C) 1≤a≤2 (D)a≤12 若cosα·cotα≥0 ,k∈z,则α的取值范围是( ) (A) (2kπ,2kπ π)(B) (2kπ,2kπ π2 )∪(2kπ π2 ,2kπ π)∪{2kπ-π2 }(C) (2kπ,2kπ π)∪{2kπ-π2 }3 设函数f(x)在定义域内可导,y =f(x)的图象如图1所示,则导函数y =f′(x)的图象可能为( … 相似文献
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王朝璇 《数理化学习(高中版)》2002,(3)
变量代换是一种重要的数学方法,在不等式的证明,研究函数的性质及化简求值中应用较多.变量代换实质上是实施数学中的转化思想,即化生疏为熟悉,化未知为已知,化难为易,化繁为简,从而优化解题过程.值得一提的是,变换时一定要注意等价. 一、均值代换 例1 设方程ax2-4ax 1=0的两根为α、β,满足不等式|1gα-1gβ|≤1,试求实数a的取值范围. 分析:由α β=4,可设a=2十p,β=2-p(0≤p<2),注意到a=1/αβ方,此时可用p表示a,再根据p的范围确定a的范围. 相似文献
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所谓线性分式方程,是指形如的微分方程,一般分三种类型加以考查。第一类,C1=C2=0,此时方程（1）是齐次方程,容易求解。第二类,C12＝C22≠0,且k。此时可用代换a2x＋b2y=u把方程（1）化为变量可分离方程,也不难求解。比较麻烦的是第三类,即的情形。对此,各种文献上介绍的方法都是一样的：先解代数线性方程组得到x＝a．y=β．再作变换则方程（1）就可化为新变量X、Y的方程这是齐次方程,求解后再作代换X=x－a,Y=y－β,即得原方程（1）的解。为什么会想到先解代数方程组（2）,再作变换（3）呢？一般教材中很少加以解释,令初学… 相似文献
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换元法是用“整体变量”观念将复杂变量用新的变量代换 ,达到“化繁为简 ,化难为易”的目的 .常见的换元转化方式有 :分式向整式 ,无理向有理 ,超越向代数 ,以及函数、三角、几何、复数等的互化 .下面就换元法的作用分类说明 .一、换元法求外层函数由复合函数知 ,外层函数由对应法则和定义域构成 ,且定义域为内层函数的值域 .换元后一定要对新变量求范围 .例 1 函数 f ( x)满足 f ( x2 - 3) =lg x2x2 - 6 ,判断f ( x)的奇偶性 .简析 :本题实质是换元法求外层函数 ,设 u =x2 - 3,由题设知 x2 - 6 >0 ,则 u =x2 - 3=( x2 - 6 ) +3>3,解出 x2 … 相似文献