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本刊85年第5期刊载了“一类三角命题的逆命题的解答”(以下简称“解答”)一文,读后很受启发,但总觉得过于繁琐,本文给出另一种解法,并顺便指出“解答”一文中逆命题3的不完备之处,供读者参考。首先介绍一个引理。若α,β为正锐角,且tg(α β)=tgγ=1/m(m∈N),则α、β的正切调和值(正整数的倒数),由下列不定方程m~2 1=np的正整数解与m的和的倒数确定。 相似文献
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现行高一数学课本(试验修订本·必修·下册)中有这样一道习题:已知α+β+γ=nπ丌(n∈Z),求证tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ.此等式的实质是三个角的正切之和与正切之积可以互相转化.再作深入探讨,还可以引伸出以下几个有趣而且也有广泛应用的新命题. 相似文献
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在三角函数这一章的学习过程中常遇到已知三角函数值求角度这方面问题 ,此类问题怎样求解较好呢 ?请看下面几例 :例 1 已知α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,求证 :α +β=π4.分析 ∵α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,∴ｃｏｓα =1 -ｓｉｎ2 α=1 -15=2 55. ｃｏｓβ=1 -ｓｉｎ2 β=1 -11 0 =3 1 01 0 .∴ｓｉｎ(α +β) =ｓｉｎαｃｏｓβ+ｃｏｓαｓｉｎβ=55×3 1 01 0 +2 55× 1 01 0 =22 .∴ α+β =π4.这种解法有没有错误呢 ?如果有 ,错误又在什么地方呢 ?∵ 0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,∴ … 相似文献
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本文拟给出证明有关角的不等式问题的一种简捷独特的方法,作为对文[1]和[2]的一点补充。方法要点:利用题中已有的角,造出三个正角α、β、γ而α+β+γ=π,便得到一个(以α、β、γ为内角的)三角形;结合题设并在此三角形中运用有关结论实现两个转化:由三角函数关系转化为边的关系;再由边的关系转化为角的关系,从而得到要证的角的不等式。兹举例来说明。例1 已知α、β为锐角,且sin(α+β)=2sinα,求证:α<β。证:∵α、β为锐角,∴π-(α+β)>0且α+β+[π-(α+β)]=π。于是α、β、π-(α+β)可作为一个三角形的三内角,设其对边长分别是a、b、 相似文献
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面对千变万化的数学问题,在会解答的情况下,我们怎样才能解得简捷?首先,要全面、深刻、细致地分析所给的数学问题,弄懂题意;其次,应用相关知识,选取恰当的解题方法,并预设解题步骤;最后,给出简明的数学表达过程.本文通过对一些常见的典型数学问题的简捷解答,总结出一些简捷解答数学问题的方法,以供参考.一、链接条件和结论充分挖掘已知条件和求证(解)目标之间的直接关系,剔除中间环节,实现已知和目标直接链接.例1已知锐角α,β,γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证:cotαcotβ+cotβcotγ+cotγcotα≤32.分析由cos2α+cos2β+cos2γ=1得到α… 相似文献
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杨新兰 《数理化学习(高中版)》2004,(22)
1.(全国)设α∈(0,π/2),若sinα=3/5,则cos(α π/4)=( ) (A)7/5 (B)1/5 (c)-7/5 (D)-1/5 2.(广西)已知α为锐角,且tanα=1/2,求sin2αcosα-sina/sin2αcos2α的值. 3.(广东)已知α,β,γ成公比为2的等比数列(α∈[0,2π]),且sinα,sinβ,sinγ也成等比 相似文献
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李长明 《数学大世界(高中辅导)》2003,(6):10-11
1.一道试题题目已知α、β都是锐角,且3sin2α+2sin2β=1①3sin2α-2sin2β=0②求证:α+2β=(π/2) 这是1978年全国统一高考中的一道试题,已被收录在许多复习资料中,本文以几何出发,给出两种新的解法. 2.几何解法I——利用正弦定理与射影先看条件②式 相似文献
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本文对一类具有“对称”性的不等式给出一种可行的证明方法——“配偶法”,先看几个实例: 例1:若α、β、γ∈(0,π),求证:sinα+sinβ+sinγ≤3sin(α+β+γ/3) 证:对任意的x、y∈(0,π)有: sinx+siny=2sin(x+y/2)·cos(x-y/2)≤2sin(x+y/2)(∵sin(x+y/2)>0) 所证不等式左边共三项,今配一项sin(α+β+γ/3),即成偶数项。 相似文献
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安振平 《中学数学教学参考》2011,(11):58-58,62
1.已知α,β,γ∈（0,π/2）,且tanα＋tanβ＋tanγ=3,求证：
1/cosα cosβ＋1/cosβ cosγ＋1/cosγ cosα≥6. 相似文献
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梁克强 《数理化学习(高中版)》2003,(1)
研究函数问题,要注意题设的特点,挖掘隐含条件,否则就会陷于繁杂计算.下面通过几个例题谈一谈如何构造函数,妙用函数的单调性. 例1 已知:α≠kπ+π/2(k∈Z),β≠kπ(k∈Z),且(3tanα+-cotβ)3+tan3α+4tanα+cotβ=0.求证:4tanα+cotβ=0. 相似文献
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反证法在代数、几何证题中的地位与作用,已广为人知。但作为数学的一个分支——三角,由于它有公式繁多、恒等变形十分灵活等特点,因此在三角证题中,学生往往只知道套用公式寻求直接证法,而易于忽视反证法在三角证题中的应用。一、证明等式或证明不等式问题。例1 设α、β为锐角,且sin~2α+sin~2β=sin(α+β),求证:α+β=π/2(1983年全俄中学生数学奥林匹克试题)。证明要证α+β=π/2,只须证α+β>π/2要α+β<π/2都不能成立。为此,将已知等式变形成: sinα(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ) (*) 假若α+β>π/2,则α>π/2-β,于是sinα>cosβ,cosα相似文献
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正问题对于ΔABC,求3sinA+4sinB+18sinC的最大值.这是一个形式简捷,内含丰富的三角不等式问题,被选为第三届全国大学生数学竞赛试题(数学类).解答:三角形三个角A,B,C的取值范围为(A,B,C)∈D={(α,β,γ)|α+β+γ=π,α0,β0,γ0}我们首先考虑3sinA+4sinB+18sinC在D的闭包E={(α,β,γ)|α+β+γ=π,α≥0,β≥0,γ≥0}上的最大值. 相似文献
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高中《代数》(甲种本)第一册P.217有一道习题: 在△ABC中,求证: tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC. 这道习题结论可进行如下的推广: (1)若实数α,β,γ,满足α+β十γ=kπ(k∈Z),则 tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ. (2)若实数α,β,γ,满足 tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ,则α+β+γ=kπ(k∈Z). 应用以上结论解决某些三角,代数,几何问题. 相似文献
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基本常数:1/4πε_0=8.99×10~9Vmc~(-1) 题1:在图一所示的电路中R_1,R_2……R_8是有限电阻器,电流计G与电阻R_8串联后接在B、F两端之间。如果定义α、β如下: α=R_1/R_6,β=(R_2+R_3)/(R_4+R_5),求证当R_5=0时,没有电流流过电流计的条件是α=β。再定义λ=R_4/(R_4+R_5), μ=R_5/R_7, 相似文献
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1 设f(x) =asin(πx +α) +bcos(πx +β) +4 ,其中a、b、α、β都是非零实数 ,若f( 1991) =5 ,求f( 1992 ) +f( 1993 ) +…+f( 2 0 0 4) 的值 .2 已知y1 =2x ,y2 =2y1 ,y3 =2y2 ,… ,y2 0 0 4=2y2 0 0 3 ,求 y1 ·y2 0 0 4.3 求证 :log2 0 0 3 2 0 0 4>log2 0 0 42 0 0 5 .4 求证 :1+12 2 +13 2 +14 2 +… +12 0 0 3 2 +12 0 0 42 <2 .参考答案1 ∵f( 1991) =5 ,∴asin( 1991π+α) +bcos( 1991π+β) +4 =-asinα -bcosα+4 =5 ,∴ -asinα-bcosβ=1,即asinα+bcosβ =-1.∴f( 1992 ) =asin( 1992π+α) + bcos( 1992π +β) +4=asinα… 相似文献