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问题1如图,已知两定点A(-1,0),B(2,0),求使得∠PBA=2∠PAB的点P的轨迹方程.解设直线AP,BP的斜率分别是kAP,kBP,点P的坐标为(x,y),设∠PBA=β,∠PAB=α,因β=2α,则tanβ=tan2α,tanβ=12-tatannα2α.①∵kAP=x y1=tanα,kBP=x-y2=tan(π-β)=-tanβ,∴代入①有-x-y2=2yx 11-x y12②整理得3x2-y2=3,即为点P的轨迹方程.解答错了!错在哪里?评析上述解法有以下几处错误:(1)推导点P的轨迹方程时,只考虑了点P的x轴上方的情况,未对点P在x轴下方的情况进行分析.(2)由题设∠PBA=2∠PAB,从而有|PA|>|PB|,故轨迹在线段AB的垂直平分… 相似文献
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人教社出版的《全日制普通高中教科书试验修订本必修·第二册·上》第133页第5题如下:两定点的坐标分别为A(-1,0)、B(2,0),动点M满足条件∠MBA=2∠MAB,求动点M的轨迹方程.配套的教参给出了如下的解答:如图1,设∠MBA=α,∠MAB=β,(α>0,β>0),点M的坐标为(x,y),∵α=2β,∴tanα=tan2β=2tanβ1-tan2β,当点M在x轴上方时,tanβ=yx+1,tanα=-yx-2,所以-yx-2=2y1+x1-y2(x+1)2,也就是,3x2-y2=3,当点M在x轴的下方时,tanα=yx-2,tanβ=-yx+1,仍可得上面的方程.又α=2β,∴|AM|>|BM|,因此点M一定在线段AB垂直平分线的右侧,所以所求的轨… 相似文献
3.
高群安 《数理化学习(高中版)》2014,(7):3-4
问题：如图1,电影屏幕的上下边缘A、B到地面的距离AD=a、BD=b（a＞b）,屏幕的正前方地面上一点P,求视角∠APB的最大值,以及当∠APB最大时,P、D两点的距离.解：设∠APB=β,∠BPD=α,PD=x,则因为β为锐角,所以当tanβ最大时,∠APB最大.由tan（α＋β）=a x,tanα=b x得tanβ=tan（（α＋β）-α）=a x-b x/1＋a x·b x=a-b/ x＋ab x≤a-b/2√ab,当且仅当x=ab/x即x=√ab时,tanβ有最大值a-b/2√ab.故得结论。 相似文献
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麻尚忠 《数理化学习(高中版)》2006,(14)
一、结论及证明1·如图1所示,轨迹上任意一点P(x,y),P点速度方向的反向延长线交x轴于A点,A点的横坐标等于P点横坐标的一半,即XA=12XP·证明:P点坐标(x,y),则x=v0t,y=21gt2·因为cotβ=vv0Y=gv0t,AB=ycotβ=12v0t=21x,OA=OB-AB=12x·所以XA=21XP·2·如图2所示,平抛运动的物体,轨迹上任意一点的坐标P(x,y),P点速度的偏向角为β,其正切值等于位移方向与X轴夹角正切值的两倍,即tanβ=2tanα·证明:P点坐标为(x,y),则x=v0t,y=21gt2,tanα=xy=2gvt0·vx=v0,vy=gt,tanβ=vvyx=vg0t·比较得tanβ=2tanα·二、结论妙用带电粒子垂直进入… 相似文献
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王云化 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
《普通高中课程标准实验教科书》数学5(必修,2004年人教版)习题3.4B组第113页第2题:树顶A离地面a米,树上另有一点B离地面b米,在地面的C处看此树上的A,B两点,离此树多远时视角最大(图形此处略,以下简称问题).1.问题的解决解法1(三角法)设树与地面相交于一点O,则∠OCB=α,∠OCA=β,∠ACB=θ=∠OCA-∠OCB=β-α,OC=x,则有tanα=xb,tanβ=xa所以tanθ=tan(β-α)=1ta ntβa-ntβtaannαα=xa -axbb(1)由已知有a>b,x>0,故由(1)知tanθ>0,所以θ为锐角,由基本不等式得tanθ≤a-b2x·axb=2a-abb,由三角函数得sinθ≤aa -bb,所以θmax=arc… 相似文献
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题目已知M,N为直线3x+4y-10=0上两点,O为坐标原点,若∠MON=π/3,则ΔMON的周长最小值为______.解法1:如图1,作OH⊥MN于H,则OH=d=10/√32+42=2,设∠HOM=α,则∠HON=π/3-α,OM=2/cosα,ON=2/cos(π/3-α)HM=2tanα,HN=2tan(π/3-α),于是ΔOMN的周长l=2/cosα+2/cos(π/3-α)+2tanα+2tan(π/3-α). 相似文献
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本期问题初209已知x、y为满足x+y=1的正数.求证:1+2x2+1-1y2>2.初210如图1,过圆外一点P引该圆的图1两条割线PAB和PCD,分别交圆于点A、B、C、D,AD和BC相交于点Q,割线PEF经过点Q交圆于E、F,分别过点B、D作EF的平行线交圆于M、N.求证:BN、DM、EF三线共点.高209设α、β、γ∈0,2π,且tanα+tanβ+tanγ=1.求证:sin2α+sin2β+sin2γ≤59.高210给定质数p(p>3),定义S={n|∑p-1k=1kn≡0(modp3),n∈N}.证明:S为无穷集.上期问题解答初207如图2,在锐角△ABC中,CE⊥AB于点E,F为AC上一点,∠A<45°,∠BFC=45°,ED为∠BEC的平分线… 相似文献
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例1已知tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根,且α,β(-π2,2π),则α+β的值为A.π3B.-23π或3πC.-π3或23πD.-23π错解∵tanα+tanβ=-3√3,tanαtanβ=4,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13√-43=√3.又α,β(-π2,2π),∴α+β(-π,π).因此,α+β=-2π3或π3.选B.辨析错在忽视了tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两个负根这一隐含条件.正解∵tanα+tanβ=-3√3<0,tanαtanβ=4>0,∴tanα,tanβ为方程x2+3√3x+4=0的两个负根,即tanα<0,tanβ<0.又α,β(-π2,2π),∴α,β(-π2,0),α+β(-π,0).又tan(α+β)=tanα+tanβ1-t… 相似文献
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张定胜 《中学数学研究(江西师大)》2011,(10):27-28
定理1 弦AA′、BB′是椭圆b2x2＋a2y2=a2b2（a〉b〉0）的长轴与短轴,点P是椭圆上任意一点,若AA′、BB′对点P的张角分别为∠A′PA=α,∠B′PB=β,并∠A′BA=y,则有cot2α＋cot2β=cot2γ． 相似文献
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1应用均值不等式(a+b/2)≥ab~(1/2)(a>0,b>0)求最值例1过点A(1,4)的直线l在两坐标轴上的截距均为正数,则使两截距之和最小的直线l的方程?解析欲使直线l的两截距之和最小,即在x轴上截距为1+ta4nα,在y轴上截距为4+tanα,因而5+tanα+ta4nα最小,于是有5+tanα+ta4nα≥9.等号成立的条件:当且仅当tanα=tan4α,即tan2α=4,∴tanα=±2(舍去-2),∴k=tanβ=-tanα=-2,∴y=-2x+b.又直线l过(1,4)点,∴b=6.故所求直线l方程为2x+y-6=0.评注利用均值不等式一定要注意等号成立的条件及适用的范围.2利用数形结合求最值图1例2一束光线从A(1,-1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是多少?解析圆C的圆心坐标为(2,3)半径r=1,点A(-1,1)关于x轴的对成点A′的坐标为(-1,1),因A′在反射线上,所以最短的距离为│A′C│-r-│A′B│,直线A′C的方程为4x-3y+1=0,即B-14,0,如图1.│A′B│=-1+412+12=45,│A′C│=(2+1)2+(3+1)2=5... 相似文献
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文[1]中有如下一道习题:两定点的坐标分别是 A(-1,0),B(2,0),动点 M 满足条件∠MBA=2∠MAB,求动点M的轨迹方程.配套的教师教学用书提供的解答为:如图1,设∠MBA=α,∠MAB=β(α>0,β>0),点M的坐标为(x,y).∵α=2β, 相似文献
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题目 在锐角△ABC中 ,AD是∠BAC的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .( 2 0 0 3,IMO中国国家集训队选拔考试 )图 1证明 :如图1 ,作DG′⊥BE于G′ ,AM⊥BC于M ,连结FG′.记∠ABC =α ,∠ACB =β,则BM =AMcotα ,CM =AMcotβ.由已知得BF =DFcotα,CE =DEcotβ ,DE =DF ,AF =AE .故 BFCE=tanβtanα=BMCM.因此 ,BF·CM·AECE·BM·AF=1 .在△ABC中 ,由… 相似文献
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下面的题目建议你先自己独立完成,然后再仔细看错解及错因分析.例1已知-π/2<α<π/2,-π/2<β<π/2,且tanα,tanβ是方程x~2 6x 7=0的两个根,求α β的值.错解因tanα,tanβ是方程x~2 6x 7=0的两个根,由根与系数关系得tanα tanβ=-6,tanαtanβ=7, 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2008,(4)
1.已知0<α<π4,β为f(x)=cos2x π8的最小正周期,a=tanα 4β,-1,b=(cosα,2),且a·b=m,求2cosc2oαs αs-ins2i(nαα β)的值.(yuodaowei@163.com)解答:由β为f(x)=cos2x 8π的最小正周期,得β=π.因a·b=m,又a·b=cosα·tanα 4β-2,所以cosα·tanα 4β=m 2.因0<α<4π, 相似文献
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第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1 设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知… 相似文献
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第一试一、选择题(每小题7分,共4 2分)1 .已知点A( 2 ,1 ) ,在坐标轴上确定点P ,使得△AOP为等腰三角形.则满足这样条件的点有( )个.(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)多于82 .如图1 ,点D是△ABC的边BC上一图1点.若∠CAD =∠DAB =6 0°,AC=3,AB =6 ,那么,AD的长是( ) .(A) 32 (B) 2 (C) 43(D)以上答案都不对3.如图2 ,四边形ABCD ,A1B1BA ,…,A10 0 B10 0 B99A99都是边长为1的小正方形.已知∠ACB =α,∠A1CB1=α1,…,∠A10 0 CB10 0=α10 0 .则tanα·tanα1 tanα1·tanα2 … tanα99·tanα10 0 =( )… 相似文献
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伊波 《中学数学研究(江西师大)》2019,(3):11-12
人教A版数学必修4用三角函数线证明两角差的余弦公式 cos (α-β)= cosα cosβ+ sinα sinβ,叙述如下:我们先对简单的情况进行讨论.如图1,设角α、β为锐角,且β<α,角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠xOP=α-β.过点P作垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角α-β的余弦线.这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C,那么OA表示 cosβ,AP表示 sinβ,并且∠PAC=∠P1-1Ox=α.于是OM=OB+BM=OB+CP=OA cos α+AP sin α= cosβ cosα+ sinβ sinα.值得注意的是,以上结果是在α、β、α-β都是锐角,且β<α的情况下得到的.要说明此结果是否在角α、β为任意角时也成立,还要做不少推广工作,并且这个推广工作比较繁难,同学们可以自己动手试一试. 相似文献
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刘红昌 《中学生数理化(高中版)》2010,(6)
一、不可忽视求值的特殊性例1已知tanα,tanβ是方程x~2-5x+6=0的两个实数根,求2sin~2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)+cos~2(α+β)的值.分析:由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα·tanβ的值,进而可以求出tan(α+β)的值,再将所求 相似文献
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一、选择题(每小题6分,共36分)1.设函数f(x) =logax(a >0 ,a≠1) .若f(x1x2 …x2 0 0 3 ) =8,则f(x21) f(x22 ) … f(x22 0 0 3 )的值等于( ) .(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 2loga8图12 .如图1,S -ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥,O为底面ABC内一点.若∠OSA =α,∠OSB=β,∠OSC =γ,那么,tanα·tanβ·tanγ的取值范围是( ) .(A) [2 2 , ∞) (B) (0 ,2 2 )(C) [1,2 2 ](D) (1,2 2 )3.某水池装有编号为1,2 ,…,9的9个进出口水管,有的只进水,有的只出水.已知所开的水管号与水池灌满水所需的时间如表1.若9个水管一齐开… 相似文献