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本文将对以下两个与抛物线有关的命题进行探究．命题1在抛物线y2=2px(p>0)中,过顶点O作两直线交抛物线于A、B两点,若(OA|→). (DB|→)=0,则直线AB过x轴上一定点(2p,0)．命题2在抛物线y2=2px(p>0)中,过焦点F(p/2,0)作不过顶点O的一条直线交抛物线 相似文献
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周丽 《中国科教创新导刊》2012,(25):36-36,38
在直线x=-m(m＞0)上任取一点P作抛物线y2=2px(p＞0)的切线,切点为A、B,则直线AB过定点(m,0).过抛物线y2=2px(p＞0)的外任一点P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,弦AB的中点Q,则PQ平行于x轴;P与切点弦中点的连线恰好被抛物线平分. 相似文献
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<正>特性L:过圆上一点P作两条互相垂直的弦,则连接两弦的另一端点的弦经过定点(圆心)。探索一、那么在相同条件下,对于抛物线是否有特性L呢?问题1.过抛物线y2=2px(p>0)顶点作互相垂直的弦OA、OB交抛物线于A、B,如图1,求证:直线AB过定点M(2p,0). 相似文献
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正定理1已知AB是圆C:2 2 2x+y=r的直径,直线l与x轴垂直,过圆C上任意一点P(不同于A,B)作直线PA与PB分别交直线l于M,N两A P O B Q N M x y点,记线段MN的中点为Q,则直线PQ与圆相切.证明设点0 0P(x,y),直线l为x=m, 相似文献
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题目过抛物线y2=2px（p〉0）的顶点O作互相垂直的弦OA、OB,交抛物线于点A、B.（1）求弦AB中点P的轨迹方程;（2）证明直线AB与x轴交于定点M;（3）过点O作直线AB的垂线,垂足为点H,求点H的轨迹方程.解：（1）由条件知,直线OA、OB的斜率都存在,设直线OA的方程为y=kx（k≠0）, 相似文献
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《中学数学杂志》2005年第2期《新发现圆锥曲线的一个性质》一文(下称文[1])中,姜坤崇老师给出了抛物线的一个有趣性质.本文对文[1]的性质给予引申并提出过抛物线上一点的切线的一个新作法.为方便起见,先摘录文[1]的性质.性质1[1]给定抛物线C:y2=2px(p>0),O是顶点,过y轴上一点M(0,m)(m≠0)引直线交C于P、Q两点,记kOP,kOQ分别为直线OP、OQ的斜率,则kOP+kOQ为定值2mp.1该性质的几个引申引申1给定抛物线C:y2=2px(p>0),O是顶点,P、Q为抛物线上两点,记kOP,kOQ分别为直线OP、OQ的斜率.若kOP+kOQ为定值K(K≠0),则直线PQ必与y轴相交… 相似文献
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过原点O引抛物线22ypx=的两条互相垂直的弦OP、OQ,那么直线PQ必过一个定点.这是一道常见的解几题,下面我们把它推广到一般的情形: 命题过原点O作圆锥曲线22AxCy 0DxEy =的两条互相垂直的弦OP、OQ,(1)当0AC 故?直线PQ必过定点(,)DEGACAC-- ;(2)当0AC =时,直线PQ的方向一定. 证明 若PQ与x轴不垂直,可设其方程为(0)ykxmm= ?代入方程22AxCyDx 0Ey=,整理得 222()(2)ACkxCkmDEkxCm 0Em =. 设P、Q的坐标分别为11(,)xy、22(,)xy则1x、2x是上述方程的两根,所以 1222CkmDEkxxACk =- , 2122CmEmxxACk = . ∵,OPOQ^… 相似文献
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胡茂斌 《中学数学研究(江西师大)》2009,(1):42-45
题目 过抛物线y^2=2px（P〉0）的顶点O作互相垂直的弦OA、OB,交抛物线于点A、B．
（1）求弦AB中点P的轨迹方程;
（2）证明直线AB与x轴交于定点M;
（3）过点O作直线AB的垂线,垂足为H,求H点的轨迹方程． 相似文献
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直线和圆锥曲线相交的问题是解析几何中的重要内容之一,也是高考的热点内容.韦达定理在解决此类问题中起着重要作用,特别是在解决有关弦长、两条直线互相垂直、弦中点、对称、轨迹、定点问题时能化难为易,化繁为简. 1 韦达定理在圆锥曲线有关弦长方面的应用 例1 已知抛物线 24yx=的顶点为O, 点A(5,0)倾斜角为/4p 的直线l与线段OA相 交,但不过O,A两点,且 交抛物线与M,N两点, 求△AMN面积最大时,直线l的方程. x O y A N M 解 设直线l的方程为yxb= .联立方程yxb= 和24yx=,得22(24)0xbxb - =.由0D>,得1b<. 设1122(,),(,)MxyNxy,则 2121… 相似文献
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代学奎 《河北理科教学研究》2008,(4)
过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作一直线交抛物线于点P,Q,称线段PQ为抛物线的焦点弦,线段PF和QF分别为过点P,Q的焦半径,又过P,Q作准线l的垂线,垂足为A1,A2,又交y轴于点C,D,准线l与x轴交于点E,如图1. 相似文献
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2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=… 相似文献
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曹培国 《学生之友(初中版)》2009,(11):15-15
题目:过抛物线y~2=2px(p>0)的顶点O作互相垂直的弦OA、OB,交抛物线于点A、B;(1)求弦AB中点P的轨迹方程;(2)证明直线AB与X轴交于定点M;(3)过点O作直线AB的垂线,垂足为H,求H点的轨迹方程。解:(1)由条件知,直线OA、OB的斜率都存在,设直线OA的 相似文献
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黄洪飞 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):18-21
2012年全国高考数学福建卷文、理科解析几何试题分别是:
试题1 ,等边△OAB的边长为8√3,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p＞0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点. 相似文献
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中学数学教材中有这样一道习题:过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,经过P点和抛物线顶点的直线与准线交于点M,求证直线MQ平行于抛物线的对称轴.变题(2001年高考题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线 相似文献
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文[1]对高中数学(试验修订本·必修)第二册(上)P130例2:“直线y=x?2与抛物线y2=2x相交于点A、B,求证:OA⊥OB(如图1)”进行探究,得到如下结论:若直线l与抛物线y2=2px相交于点A、B,则OA⊥OB?直线l过定点(2p,0).文[2]在上述命题的基础上作了进一步的探究,得到如下的定理:定理若直线l与抛物线y2=2px相交于点A、B,C(x0,y0)为抛物线上不同于点A、B的一定点,若直线CA、CB的斜率存在且分别记为k CA、k CB,则k CA?k CB=d(d为定值)?直线l过定点200(2,)2y p yp?d?.(如上右图)本文在上述定理的基础上作进一步探究,对定理进行引申.1由“k CA… 相似文献
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最近文[2]对文[1]中关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件作了推广,得出椭圆和双曲线的弦对顶点张直角的几个充要条件.本文我们要探讨的问题是将圆锥曲线的顶点改为圆锥曲线上其它任意的一个定点时,若所张角依然为直角,那么弦会过定点吗?反之弦过此定点时,弦所张角会为直角吗?回答是肯定的,即有下面的:定理1设直线l交椭圆xa22+by22=1(a>b>0)于A,B两点,点M(x0,y0)是椭圆上不同于A,B两点的一个定点,则MA⊥MB的充要条件是直线l过定点Nx0(a2-b2)a2+b2,y0(ab22+-ba22).证明先证必要性:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ky+m,代入方程x2a2… 相似文献
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第二届中国东南地区数学奥林匹克 总被引：1，自引：0，他引：1
一、(1)设a∈R.求证:抛物线y=x2 (a 2)x-2a 1都经过一个定点,且顶点都落在一条抛物线上;(2)若关于x的方程x2 (a 2)x-2a 1=0有两个不等实根,求其较大根的取值范围.(吴伟朝供题)二、⊙O与直线l相离,作OP⊥l,P为垂足.设点Q是l上任意一点(不与点P重合),过点Q作⊙O的两条切线QA、QB, 相似文献
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2004年数学科高考北京卷中有如下一道解析几何试题:y P如图,过抛物线xy2=2px(p>0)上O一定点P(xo,yo)(yo A>0),作两条直线分B别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).(I)求该抛物线上纵坐标为p/2的点到其焦点F的距离;(II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求(y1 y2)/yo的值,并证明直线A 相似文献